3.2.1 函數模型及其應用課堂導學三點剖析一、常見函數模型【例1】 (一次函數模型)某商店出售茶壺和茶杯,茶壺每個定價20元,茶杯每個定價5元,該店推出兩種優惠辦法:(1)買一個茶壺贈送一個茶杯;(2)按總價的92%付款.某顧客需購茶壺4個,茶杯若干(不少于4個),若需茶杯x個,付款數為y(元),試分別建立兩種優惠辦法中y與x的函數關系,并討論顧客選擇哪種優惠方法更合算.思路分析:本題考查的是建立一次函數模型,并應用一次函數模型解決實際問題的能力.第一種優惠方法中,實際付款是4個茶壺的錢和(x-4)個茶杯的錢.第二種優惠方法只需將貨款總數乘以92%,而后再作差比較二者的大小即可.解:由優惠辦法(1)可得函數關系式:y1=204+5(x-4)=5x+60(x4), 由優惠辦法(2)可得函數關系式: y2=(5x+420)92%=4.6x+73.6. 比較:y1-y2=0.4x-13.6(x4). 當0.4x-13.60,即x34時,y1y2, 即當購買茶杯個數大于34時,優惠辦法(2)合算. 當0.4x-13.6=0,即x=34時,兩種優惠辦法一樣合算. 當0.4x-13.60,即4x34時,y1y2.優惠辦法(1)合算.溫馨提示 1.建立函數模型后,如果結論不能確定,應注意對其進行分類討論. 2.用數學思想、方法、知識解決實際問題的過程叫作數學建模.函數模型是應用最廣泛的數學模型之一.許多實際問題一旦認定是函數關系，就可以通過研究函數的性質把握問題并解決問題.讀題是解決實際問題的重要環節.一般的實際問題的敘述都比較長，需要逐字逐句地把問題看懂，這是建立數學模型的前提.二、利用函數模型分析問題【例2】 (指數函數模型)按復利計算利息的一種儲蓄,設本金為a元,每期利率為r,存期為x,寫出本金和利息總和y(元)與x的函數表達式.如果存入本金10 000元,每期1.98%,試計算5期后,本息總和是多少?思路分析:本題考查的是與我們生活中息息相關的儲蓄問題,其數學模型是指數函數.由題意知,每期到期后,其本利總和是前一期的(1+r)倍,所以可從第一期開始以此類推.解:本金為a元, 1期后本息和為a+ar=a(1+r); 2期后本息和為a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2; 3期后本息和為a(1+r)2+a(1+r)2r=a(1+r)3; x期后本息和為y=a(1+r)x. 將a=10 000,x=5,r=1.98%代入上式得， y=10 000(1+1.98%)5=11 029.99(元).溫馨提示 在實際問題中,常遇到有關平均增長率的問題,若基數為a,平均增長率為p,則總量y與時間x的關系式為y=a(1+p)x,此為指數型函數.各個擊破類題演練1(二次函數模型)某旅店有客房300間,每間日房租為20元,每天客滿.旅店欲提高檔次,并提高租金,如果每間客房每日增加2元,客房出租數就會減少10間.若不考慮其他因素,旅店將租金定為多少時,每天客房的總收入最高?解析：設定租金x元，總收入最高，則總收入y=x(300-10)=-5(x-40)2-1 600， 當x=40時，y最大且最大值為51 600=8 000(元).答案：40元變式提升1某工廠生產某種產品，固定成本為20 000元，每生產一件產品成本增加100元，已知總收益r（總收益指工廠出售產品的全部收入，它是成本與總利潤的和，單位：元）是年產量（單位：件）的函數.滿足關系式：r=f(q)=（1）將總利潤l（單位：元）表示為q 的函數;（2）求每生產多少件產品時、總利潤最大？此時總利潤是多少？解析：（1）根據題意，總成本應為c=g(q)=20 000+100q, 從而可得總利潤函數為l=(q)= 即l= （2）當0q400時, l=-（q-300）2-20 000+45 000=-（q-300）2+25 000. 此時當q=300時，l最大=25 000； 當q400時，l=60 000-100q60 000-100400=20 00025 000； 所以，當q=300時，l最大=25 000. 答：每年生產300件產品時，總利潤最大，最大利潤為25 000元.類題演練2某企業計劃發行企業債券，每張債券現值500元，按年利率6.5%的復利計息，問多少年后每張債券一次償還本利和1 000元？（參考lg2=0.301 0,lg1.065=0.027 4）.解析：設n年后每張債券一次償還本利和1 000元，由1 000=500（1+6.5%）n，解得n=lg2/lg1.06511. 答：11年后每張債券應一次償還本利和1 000元.變式提升2某城市現有人口總數為100萬人，如果年自然增長率為1.2%,試解答下列問題：（1）寫出該城市人口總數y（萬人）與年份x（年）的函數關系；（2）計算10年以后該城市人口總數（精確到0.1萬人）.解析：（1）1年后該城市人口總數為 y=100+1001.2%=100(1+1.2%). 2年后該城市人口總數為 y=100（1+1.2%）+100（1+1.2%）1.2%=100（1+1.2%）2. 3年后該城市人口總數為 y=