2015-2016學年湖北省荊門市龍泉中學高三（上）8月月考數學試卷（理科）一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的請將正確的答案填涂在答題卡上）1已知命題p：x0r+，log2x0=1，則p是（）ax0r+，log2x01bx0r+，log2x01cx0r+，log2x01dx0r+，log2x012在一次射擊訓練中，甲、乙兩名運動員各射擊一次設命題p是“甲運動員命中10環”，q是“乙運動員命中10環”，則命題“至少有一名運動員沒有命中10環”可表示為（）apqb（p）（q）c（p）（q）dp（q）3設全集u=r，集合m=x|y=lg（x21），n=x|0x2，則n（um）=（）ax|2x1bx|0x1cx|1x1dx|x14當0x1時，則下列大小關系正確的是（）ax33xlog3xb3xx3log3xclog3xx33xdlog3x3xx35已知函數f（x）=，則ff（2）=（）abc2d46函數f（x）=sinxln（x2+1）的部分圖象可能是（）abcd7已知a1，a2，b1，b2均為非零實數，集合a=x|a1x+b10，b=x|a2x+b20，則“”是“a=b”的（）a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件8已知函數f（x）=e|x|+x2，（e為自然對數的底數），且f（3a2）f（a1），則實數a的取值范圍是（）abcd9設集合a=x|x2+2x30，集合b=x|x22ax10，a0若ab中恰含有一個整數，則實數a的取值范圍是（）abcd（1，+）10已知f（x）=x33x+2m，在區間上任取三個數a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）為邊長的三角形，則m的取值范圍是（）am6bm9cm11dm1211已知函數，若f（m）+f（n）=1，則f（mn）的最小值為（）abcd12定義在r上的奇函數y=f（x）滿足f（3）=0，且當x0時，不等式f（x）xf（x）恒成立，則函數g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零點的個數為（）a1b2c3d4二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13若冪函數f（x）=xa的圖象經過點a（4，2），則它在a點處的切線方程為14函數f（x）=的定義域為15已知f（x）為r上增函數，且對任意xr，都有ff（x）3x=4，則f（log35）=16已知函數f（x）=g（x）=asin（x+）2a+2（a0），給出下列結論：函數f（x）的值域為0，；函數g（x）在0，1上是增函數；對任意a0，方程f（x）=g（x）在0，1內恒有解；若存在x1，x20，1，使得f（x1）=g（x2）成立，則實數a的取值范圍是，其中所有正確結論的序號是三、解答題：（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17已知曲線c1的參數方程為（為參數）在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線c2的極坐標方程為cos（+）=2（）把c1的參數方程化為極坐標方程；（）求c1與c2交點的極坐標（0，02）18已知命題p：方程（ax+2）（ax1）=0在1，1上有解； 命題q：x1，x2是方程x2mx2=0的兩個實根，不等式a25a3|x1x2|對任意實數m1，1恒成立若命題p是真命題，命題q為假命題，求實數a的取值范圍19已知a0且a1，函數f（x）=loga（x+1），記f（x）=2f（x）+g（x）（1）求函數f（x）的定義域d及其零點；（2）若關于x的方程f（x）m=0在區間0，1）內有解，求實數m的取值范圍20某企業有一條價值為m萬元的生產流水線，要提高其生產能力，提高產品的產值，就要對該流水線進行技術改造，假設產值y萬元與投入的改造費用x萬元之間的關系滿足：y與（mx）x2成正比；當時，；，其中a為常數，且a0，2（1）設y=f（x），求出f（x）的表達式；（2）求產值y的最大值，并求出此時x的值21設拋物線的頂點在坐標原點，焦點f在y軸正半軸上，過點f的直線交拋物線于a，b兩點，線段ab的長是8，ab的中點到x軸的距離是3（）求拋物線的標準方程；（）在拋物線上是否存在不與原點重合的點p，使得過點p的直線交拋物線于另一點q，滿足pfqf，且直線pq與拋物線在點p處的切線垂直？并請說明理由22已知函數f（x）=alnx，g（x）=ex（其中e為自然對數的底數）（1）若函數f（x）在區間（0，1）內是增函數，求實數a的取值范圍；（2）當b0時，函數g（x）的圖象c上有兩點p（b，eb）、q（b，eb），過點p、q作圖象c的切線分別記為l1、l2，設l1與l2的交點為m（x0，y0），證明：x002015-2016學年湖北省荊門市龍泉中學高三（上）8月月考數學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的請將正確的答案填涂在答題卡上）1已知命題p：x0r+，log2x0=1，則p是（）ax0r+，log2x01bx0r+，log2x01cx0r+，log2x01dx0r+，log2x01【考點】特稱命題；命題的否定 【分析】將命題p中的“”換為“”，同時將結論“log2x0=1”否定，則得到p【解答】解：命題p：x0r+，log2x0=1，則p是x0r+，log2x01故選a【點評】本題考查含量詞的命題的否定規則：將命題中的量詞交換同時結論否定即可，屬于基礎題2在一次射擊訓練中，甲、乙兩名運動員各射擊一次設命題p是“甲運動員命中10環”，q是“乙運動員命中10環”，則命題“至少有一名運動員沒有命中10環”可表示為（）apqb（p）（q）c（p）（q）dp（q）【考點】復合命題的真假 【專題】簡易邏輯【分析】先求出命題p和q，從而求出其復合命題即可【解答】解：命題p：甲沒射中目標，q：乙沒射中目標；“至少有一位運動員沒有射中目標”就是“甲沒射中目標，或乙沒射中目標”；所以可表示為（p）（q）故選：c【點評】本題考查了復合命題的表示，考查命題的否定，是一道基礎題3設全集u=r，集合m=x|y=lg（x21），n=x|0x2，則n（um）=（）ax|2x1bx|0x1cx|1x1dx|x1【考點】交集及其運算 【專題】函數的性質及應用【分析】由全集u=r，集合m=x|y=lg（x21）=x|x1或x1，先求出cum，再由集合n能夠求出n（um）【解答】解：全集u=r，集合m=x|y=lg（x21）=x|x1或x1，cum=x|1x1，集合n=x|0x2，n（um）=x|0x1故選b【點評】本題考查集合的交、并、補集的混合運算，是基礎題解題時要認真審題，仔細解答4當0x1時，則下列大小關系正確的是（）ax33xlog3xb3xx3log3xclog3xx33xdlog3x3xx3【考點】不等關系與不等式；對數值大小的比較 【專題】函數的性質及應用【分析】因為0x1，所以可選取中間數0，1，利用對數函數、冪函數、指數函數的單調性即可比較出其大小【解答】解：0x1，log3xlog31=0，0x31，1=303x，故選c【點評】掌握對數函數、指數函數、冪函數的單調性是解題的前提5已知函數f（x）=，則ff（2）=（）abc2d4【考點】分段函數的應用 【專題】函數的性質及應用【分析】直接利用分段函數的解析式，由里及外逐步求解函數在即可【解答】解：函數f（x）=，則f（2）=ff（2）=f（）=故選：a【點評】本題考查分段函數的應用，函數值的求法，考查計算能力6函數f（x）=sinxln（x2+1）的部分圖象可能是（）abcd【考點】函數的圖象 【專題】函數的性質及應用【分析】首先判斷出函數為奇函數，再根據零點的個數判斷，問題得以解決【解答】解：f（x）=sin（x）ln（x2+1）=（sinxln（x2+1）=f（x），函數f（x）為奇函數，圖象關于原點對稱，sinx存在多個零點，f（x）存在多個零點，故f（x）的圖象應為含有多個零點的奇函數圖象故選b【點評】本題通過圖象考查函數的奇偶性以及單調性，屬于基礎題7已知a1，a2，b1，b2均為非零實數，集合a=x|a1x+b10，b=x|a2x+b20，則“”是“a=b”的（）a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件【考點】充要條件 【專題】分類討論【分析】先根據，進行賦值說明此時ab，然后根據“mn，m是n的充分不必要條件，n是m的必要不充分條件”，進行判定即可【解答】解：取a1=1，a2=1，b1=1，b2=1，ab而a=b“”是“a=b”的必要不充分條件故選b【點評】本題主要考查了以不等式為載體考查兩集合相等的充要條件，以及賦值法的運用，屬于基礎題8已知函數f（x）=e|x|+x2，（e為自然對數的底數），且f（3a2）f（a1），則實數a的取值范圍是（）abcd【考點】函數單調性的性質 【專題】計算題【分析】先判定函數的奇偶性和單調性，然后將f（3a2）f（a1）轉化成f（|3a2|）f（|a1|），根據單調性建立不等關系，解之即可【解答】解：f（x）=e|x|+x2，f（x）=e|x|+（x）2=e|x|+x2=f（x）則函數f（x）為偶函數且在0，+）上單調遞增f（x）=f（x）=f（|x|）f（3a2）=f（|3a2|）f（a1）=f（|a1|），即|3a2|a1|兩邊平方得：8a210a+30解得a或a故選a【點評】本題主要考查了函數的單調性和奇偶性的綜合應用，絕對值不等式的解法，同時考查了轉化的思想和計算能力，屬于屬于基礎題9設集合a=x|x2+2x30，集合b=x|x22ax10，a0若ab中恰含有一個整數，則實數a的取值范圍是（）abcd（1，+）【考點】交集及其運算 【專題】計算題【分析】先求解一元二次不等式化簡集合a，b，然后分析集合b的左端點的大致位置，結合ab中恰含有一個整數得集合b的右端點的范圍，列出無理不等式組后進行求解【解答】解：由x2+2x30，得：x3或x1由x22ax10，得：所以，a=x|x2+2x30=x|x3或x1，b=x|x22ax10，a0=x|因為a0，所以a+1，則且小于0由ab中恰含有一個整數，所以即，也就是解得：a，解得：a所以，滿足ab中恰含有一個整數的實數a的取值范圍是故選b【點評】本題考查了交集及其運算，考查了數學轉化思想，訓練了無理不等式的解法，求解無理不等式是該題的一個難點此題屬中檔題10已知f（x）=x33x+2m，在區間上任取三個數a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）為邊長的三角形，則m的取值范圍是（）am6bm9cm11dm12【考點】利用導數研究函數的單調性 【專題】計算題；規律型；轉化思想；導數的綜合應用【分析】三角形的邊長為正數，而且任意兩邊之和大于第三邊才能構成三角形，故只需求出函數在區間上的最小值與最大值，從而可得不等式，即可求解【解答】解：由f（x）=3x23=3（x+1）（x1）=0得到x1=1，x2=1（舍去）函數的定義域為，函數在（，1）上f（x）0，（1，3）上f（x）0，函數f（x）在區間（，1）單調遞減，在區間（1，3）單調遞增，則f（x）min=f（1）=2m2，f（3）=2m+18，f（）=2m，f（3）f（），f（x）max=f（3）=2m+18由題意知，f（1）=2m20 ；f（1）+f（1）f（3），即4+4m18+2m由得到m11為所求故選：c【點評】本題以函數為載體，考查構成三角形的條件，解題的關鍵是求出函數在區間，3上的最小值與最大值，考查導數的綜合應用11已知函數，若f（m）+f（n）=1，則f（mn）的最小值為（）abcd【考點】函數的最值及其幾何意義 【專題】計算題；壓軸題【分析】先根據函數f（x）的解析式和f（m）+f（n）=1用lnn表示出lnm，然后代入到f（mn）的表達式，最后由基本不等式可得答案【解答】解：f（x）=f（m）+f（n）=2=1lnm+1=f（mn）=1=1=1=1=11=（當且僅當 ，即n=m=e3時等號取到）故選b【點評】本題主要考查基本不等式的應用，屬中檔題，使用基本不等式時注意等號成立的條件12定義在r上的奇函數y=f（x）滿足f（3）=0，且當x0時，不等式f（x）xf（x）恒成立，則函數g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零點的個數為（）a1b2c3d4【考點】函數的單調性與導數的關系 【專題】數形結合；函數的性質及應用；導數的綜合應用【分析】由不等式f（x）xf（x）在（0，+）上恒成立，得到函數h（x）=xf（x）在x0時是增函數，再由函數y=f（x）是定義在r上的奇函數得到h（x）=xf（x）為偶函數，結合f（0）=f（3）=f（3）=0，作出兩個函數y1=xf（x）與y2=lg|x+1|的大致圖象，即可得出答案【解答】解：定義在r的奇函數f（x）滿足：f（0）=0=f（3）=f（3），且f（x）=f（x），又x0時，f（x）xf（x），即f（x）+xf（x）0，xf（x）0，函數h（x）=xf（x）在x0時是增函數，又h（x）=xf（x）=xf（x），h（x）=xf（x）是偶函數；x0時，h（x）是減函數，結合函數的定義域為r，且f（0）=f（3）=f（3）=0，可得函數y1=xf（x）與y2=lg|x+1|的大致圖象如圖所示，由圖象知，函數g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零點的個數為3個故選：c【點評】本題考查了函數的單調性與導數之間的應用問題，也考查了函數零點個數的判斷問題，是中檔題目二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13若冪函數f（x）=xa的圖象經過點a（4，2），則它在a點處的切線方程為x4y+4=0【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程 【專題】計算題【分析】先設出冪函數的解析式，然后根據題意求出解析式，根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=4處的導數，從而求出切線的斜率，再用點斜式寫出切線方程，化成一般式即可【解答】解：f（x）是冪函數，設f（x）=x圖象經過點（4，2），2=4=f（x）=f（x）=它在a點處的切線方程的斜率為f（4）=，又過點a（4，2）所以在a點處的切線方程為x4y+4=0故答案為：x4y+4=0【點評】本小題主要考查冪函數的定義和導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題14函數f（x）=的定義域為（0，）（2，+）【考點】對數函數的定義域 【專題】函數的性質及應用【分析】根據偶次根號下的被開方數大于等于零，分母不為0，對數的真數大于零，列出不等式組，進行求解再用集合或區間的形式表示出來【解答】解：要使函數有意義，則log2x1或log2x1解得：x2或x所以不等式的解集為：0x或x2則函數的定義域是（0，）（2，+）故答案為：（0，）（2，+）【點評】本題考查了函數定義域的求法，即根據函數解析式列出使它有意義的不等式組，最后注意要用集合或區間的形式表示出來，這是易錯的地方15已知f（x）為r上增函數，且對任意xr，都有ff（x）3x=4，則f（log35）=6【考點】函數的零點 【專題】計算題；函數的性質及應用【分析】因為f（x）是r上的增函數，所以若f（x）3x不是常數，則ff（x）3x便不是常數而已知ff（x）3x=4，所以f（x）3x是常數，設f（x）3x=m，所以f（m）=4，f（x）=3x+m，所以f（m）=3m+m=4，容易知道該方程有唯一解，m=1，所以f（x）=3x+1，所以便可求出f（log35）【解答】解：根據題意得，f（x）3x為常數，設f（x）3x=m，則f（m）=4，f（x）=3x+m；3m+m=4，易知該方程有唯一解，m=1；f（x）=3x+1；f（log35）=5+1=6故答案為：6【點評】對于單調函數，當自變量的值是變量時，函數值也是變量，考查單調函數零點的情況16已知函數f（x）=g（x）=asin（x+）2a+2（a0），給出下列結論：函數f（x）的值域為0，；函數g（x）在0，1上是增函數；對任意a0，方程f（x）=g（x）在0，1內恒有解；若存在x1，x20，1，使得f（x1）=g（x2）成立，則實數a的取值范圍是，其中所有正確結論的序號是【考點】分段函數的應用 【專題】閱讀型；函數的性質及應用【分析】求得f（x）的各段的值域，再求并集，即可判斷；化簡g（x），判斷g（x）的單調性即可判斷；求出g（x）在0，1的值域，求出方程f（x）=g（x）在0，1內無解的a的范圍，即可判斷；由得，有解的條件為：g（x）的最小值不大于f（x）的最大值且g（x）的最大值不小于f（x）的最小值，解出a的范圍，即可判斷【解答】解：當x0，時，f（x）=x是遞減函數，則f（x）0，當x（，1時，f（x）=2（x+2）+8，f（x）=20，則f（x）在（，1上遞增，則f（x）（，則x0，1時，f（x）0，故正確；當x0，1時，g（x）=asin（x+）2a+2（a0）=acosx2a+2，由a0，0x，則g（x）在0，1上是遞增函數，故正確；由知，a0，x0，1時g（x）23a，2，若23a或20，即0a或a，方程f（x）=g（x）在0，1內無解，故錯；故存在x1，x20，1，使得f（x1）=g（x2）成立，則解得a故正確故答案為：【點評】本題考查分段函數的運用，考查函數的值域和單調性及運用，考查存在性命題成立的條件，轉化為最值之間的關系，屬于易錯題和中檔題三、解答題：（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17已知曲線c1的參數方程為（為參數）在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線c2的極坐標方程為cos（+）=2（）把c1的參數方程化為極坐標方程；（）求c1與c2交點的極坐標（0，02）【考點】簡單曲線的極坐標方程 【專題】坐標系和參數方程【分析】（）利用cos2+sin2=1將曲線c1的參數方程消去參數，即可得出c1的普通方程將代入上述方程即可得出極坐標方程（）由曲線c2的極坐標方程cos（+）=2，展開為=2，即可得直角坐標方程，與圓的方程聯立即可得出交點坐標【解答】解：（）將曲線c1的參數方程（為參數）消去參數，得（x2）2+y2=4，c1的普通方程為：x2+y24x=0將代入上述方程可得24cos=0，c1的極坐標方程為=4cos（）由曲線c2的極坐標方程cos（+）=2，展開為=2，可得直角坐標方程得：xy4=0由，解得或c1與c2交點的直角坐標分別為（4，0），（2，2）可得極坐標分別為（4，0）或【點評】本小題主要考查參數方程、極坐標方程、直角坐標方程等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，屬于基礎題18已知命題p：方程（ax+2）（ax1）=0在1，1上有解； 命題q：x1，x2是方程x2mx2=0的兩個實根，不等式a25a3|x1x2|對任意實數m1，1恒成立若命題p是真命題，命題q為假命題，求實數a的取值范圍【考點】命題的真假判斷與應用 【專題】簡易邏輯【分析】若命題p為真，推出a|1即a1或a1，對于命題q，推出|x1x2|的最大值等于3利用a25a33解得 a6或a1，利用命題p是真命題，命題q為假命題，求解即可【解答】解：若命題p為真，可知（ax+2）（ax1）=0，顯然a0，或x1，1故有或，|a|1即a1或a1對于命題q，x1，x2是方程x2mx2=0的兩個實根，x1+x2=m，x1x2=2，又m1，1，故|x1x2|的最大值等于3由題意得：a25a33解得 a6或a1故命題q為真，a6或a1命題p是真命題，命題q為假命題，則，實數a的取值范圍為 1a6【點評】本題考查命題的真假的判斷與應用，函數恒成立的應用，考查分析問題解決問題的能力19已知a0且a1，函數f（x）=loga（x+1），記f（x）=2f（x）+g（x）（1）求函數f（x）的定義域d及其零點；（2）若關于x的方程f（x）m=0在區間0，1）內有解，求實數m的取值范圍【考點】函數的零點與方程根的關系；根的存在性及根的個數判斷 【專題】函數的性質及應用【分析】（1）可得f（x）的解析式，由可得定義域，令f（x）=0，由對數函數的性質可解得x的值，注意驗證即可；（2）方程可化為，設1x=t（0，1，構造函數，可得單調性和最值，進而可得嗎的范圍【解答】解：（1）f（x）=2f（x）+g（x）=（a0且a1）由，可解得1x1，所以函數f（x）的定義域為（1，1）令f（x）=0，則（*） 方程變為，即（x+1）2=1x，即x2+3x=0解得x1=0，x2=3，經檢驗x=3是（*）的增根，所以方程（*）的解為x=0即函數f（x）的零點為0（2）方程可化為=，故，設1x=t（0，1函數在區間（0，1上是減函數當t=1時，此時x=0，ymin=5，所以am1若a1，由am1可解得m0，若0a1，由am1可解得m0，故當a1時，實數m的取值范圍為：m0，當0a1時，實數m的取值范圍為：m0【點評】本題考查函數的零點與方程的跟的關系，屬中檔題20某企業有一條價值為m萬元的生產流水線，要提高其生產能力，提高產品的產值，就要對該流水線進行技術改造，假設產值y萬元與投入的改造費用x萬元之間的關系滿足：y與（mx）x2成正比；當時，；，其中a為常數，且a0，2（1）設y=f（x），求出f（x）的表達式；（2）求產值y的最大值，并求出此時x的值【考點】利用導數研究函數的單調性；函數解析式的求解及常用方法；利用導數求閉區間上函數的最值 【專題】計算題【分析】（1）根據y與（mx）x2成正比，建立關系式，再根據求出比例系數，得到函數f（x）的表達式，再求函數的定義域時，要注意條件的限制性（2）本題為含參數的三次函數在特定區間上求最值，利用導數研究函數在給定區間上的單調性即可求出最大值，注意分類討論【解答】解：（1）y與（mx）x2成正比，設y=f（x）=k（mx）x2，又時，解得k=4，從而有y=4（mx）x2由解得故f（x）=4（mx）x2（2）f（x）=4mx24x3，f（x）=4x（2m3x）令f（x）=0解得x1=0，（） 若，即，當x（0，時，f（x）0所以f（x）在0，上單調遞增；當時，f（x）0，由于f（x）在，上單調遞減，故當時，f（x）取得最大值（） 若，即時，當x（0，時，由于f（x）0，f（x）在0，上單調遞增，故綜上可知：時，產值y的最大值為，此時投入的技術改造費用為；當時，產值y的最大值為，此時投入的技術改造費用為【點評】本題考查函數的應用問題，函數的解析式、利用導數研究三次函數的最值及分類討論思想，屬于中檔題21設拋物線的頂點在坐標原點，焦點f在y軸正半軸上，過點f的直線交拋物線于a，b兩點，線段ab的長是8，ab的中點到x軸的距離是3（）求拋物線的標準方程；（）在拋物線上是否存在不與原點重合的點p，使得過點p的直線交拋物線于另一點q，滿足pfqf，且直線pq與拋物線在點p處的切線垂直？并請說明理由【考點】直線與圓錐曲線的關系；拋物線的標準方程 【專題】圓錐曲線的定義、性質與方程【分析】（）設拋物線的方程為x2=2py，由拋物線的定義和已知條件可得p的方程，解p可得；（）設p（x1，y1），x10，q（x2，y2），由切線和垂直關系以及韋達定理可得y1的方程，解y1進而可得x1，可得符合題意的點p【解答】解：（）設拋物線的方程為x2=2py（p0），設a（xa，ya），b（xb，y