3 5 厄米算符的本征值與本征函數 1 厄米算符的平均值厄米算符的平均值 定理定理 I 體系任何狀態 下 其厄米算符的平均值必為實數 證明 逆定理 逆定理 在任何狀態下 平均值均為實數的算符必為厄米算符 證明 推論 推論 設 為厄米算符 則在任意態 之下 2 2 AdA dAA 0 2 厄米算符的本征方程厄米算符的本征方程 1 漲落 漲落定義為 2 A 2 AA 證明證明 2 A 2 0 AA 2 力學量的本征方程 若體系處于一種特殊狀態 在此狀態下測量 A 所得結果是唯一確定的 即 2 0A 則稱這種狀態為力學量 A 的本征態 AA 0 或 A 常數 可把常數記為An 把狀態記為 n 于是得 nn AA n 1 其中An n分別稱為算符 的本征值和相應的本征態 式 1 即算符 的本征方程 定理定理 II 厄米算符的本征值必為實 證明 3 量子力學中的力學量用線性厄米算符表示量子力學中的力學量用線性厄米算符表示 1 表示力學量的算符必為線性算符 2 表示力學量的算符必為厄密算符 例 1 dxxdxx xQ為實數 例 2 xx pdxpdx 例 3 證明 2 2 x p HV m x為厄密算符 綜上所述綜上所述 表示力學量的算符必為線性 厄密算符 線性厄密算符不一定是力學量算符 1 3 力學量算符和力學量之間的關系 測量力學量A時所有可能出現的值 都對應于線性厄米算符 的本征值An 即測量值是本征值之 一 該本征值由力學量算符 的本征方程 nn AA n 1 2 n L 當體系處于 的本征態 n時 則每次測量所得結果都是完全確定的 即An 4 厄米算符的本征函數的正交性厄米算符的本征函數的正交性 1 正交性的定義 如果兩函數 1和 2滿足關系式 則稱 0 2 1 d 1和 2相互正交 2 定理定理 III 厄米算符屬于不同本征值的本征函數彼此正交 證明證明 mnmmn AdAd mnmn AdAd nmn Ad 3 分立譜 連續譜正交歸一表示式 分立譜正交歸一條件分別為 1 nnd 歸一化條件 0 mnd mn 正交性 引用 mn稱為克朗內克 Kronecker 符號 它具有如下性質 0 1 mn mn mn 把 3 與 4 式合寫為 mnmn d 連續譜正交歸一條件表示為 d 正交歸一系 滿足上式的函數系 n或 稱為正交歸一 函數 系 5 簡并情況簡并情況 如果 的本征值An是fn度簡并的 則屬于本征值An的本征態有fn個 n 1 2 fn 滿足本征方程 2 nn AA n 1 2 n f L 一般說來 這些函數并不一定正交 但是可以證明由這 fn 個函數可以線性組合成fn 個獨立的新函 數 它們仍屬于本征值An且滿足正交歸一化條件 算符 本征值An簡并的本質是 當An確定后還不能唯一的確定狀態 要想唯一的確定狀態還得尋 找另外一個或幾個力學量算符 算符與這些算符兩兩對易 其本征值與An一起共同確定狀態 綜合上述討論可得如下結論 既然厄米算符本征函數總可以取為正交歸一化的 所以以后凡是 提到厄米算符的本征函數時 都是正交歸一化的 即組成正交歸一系 6 實例實例 1 動量本征函數組成正交歸一系 pprdrr pp vvvvv vv 當pp vv 時 0 rdrr pp vvv vv 即屬于動量算符不同本征值的兩個本征函數與 p v p v 相互正交 這是所有厄密算符的本征函數所共 有的 2 線性諧振子能量本征函數組成正交歸一系 線性諧振子的能量本征函數 22 2 1 xHeN n x nn 組成正交歸一系 nnnn dx 3 角動量本征函數組成正交歸一系 lz 本征函數 角動量算符的本征函數 z l 1 2 im m e 2 1 0 K m 組成正交歸一系 2 0 mmm d m 7 本征函數 2 l 3 角動量平方算符屬于本征值的本征函數 2 l 2 1 h ll lm Y im m ll