畢業論文（設計） 阜 陽 師 范 學 院 數學 專業畢業論文 題目： 微積分對現代科學的影響 姓 名： 陳亮 2013年 04月 01日 微積分對現代科學的影響 摘要 ： 從微積分的發展歷史及各發展階段數學家對微積分所引起的不同爭論 ,來闡述微積分的發展對整個自然科學的發展所起的影響。 關鍵字 ： 微積分 ；牛頓 ；萊布尼茲 ；極限 1. 數學是自然科學 的 基礎 數學是自然科學的基礎學科 , 自然科學的發展離不開數學的發展。尤其是數學中的微積分理論 ,對整個自然科學的發展起了極大的推動作用 ,為自然科學中一些現象的解釋提供了堅實的理論基礎 ,使有限和無限、連續和離散、代數和幾何形成了有機的結合與統一。在數學的眾多學科分支中 ,就嚴謹性、應用性和簡潔性而言 ,微積分應是最具代表性的學科之一。微積分以簡潔、優美的形式把運動學問題、磁場問題、幾何中曲線的切線問 題、函數中最值問題、曲線長度及曲面面積和立體體積問題總結于一個高度統一的理論體系之中。因而 ,這一理論的 產生被譽為數學史上乃至人類文明史上的偉大創造 ,受到歷代數學家、物理學家、哲學家的盛贊。如果我們對其歷史和現狀作一番認真的考究 ,追溯這 一理論產生的歷史 ,將會使我們更深刻的認識到數學對自然科學發展所起的深刻影響。于此 ,微積分提出之后 ,遭到了許多人的猛烈抨擊 ,其中也包括一些著名的數學家。 牛頓繼承和總結了先輩們的思想 ,作出了自己獨到的 建樹。他把自己的發現稱為“流數術” ,稱連續變化的量為流動量 ,無限小的時間間隔為瞬 ,而流量的速度稱為流動率或流數。牛頓的“流數術”就是以流量、流數和瞬為基本概 念的微分學主觀唯心論哲學家貝克萊 G. Berkeley是抨擊微積分理論最強有力的人物。他憤恨牛頓的微積分理論給唯物論以支持 ,于是向流數術展 開了猛烈的攻擊。 1734 年 ,貝克萊 出版了一本書 :分析學家 :或一答致不信神數學家的論文 ,其中審查一下近代分析學的對象、原則及論斷是不是比宗教的神秘 ,教義的主旨有更清晰的陳述 ,或更明確的推理在這本書里 ,他嘲笑無窮小量是已死量的幽靈。他說如果取 x 的一個增量 i ,這里 i代表某一個不為零的量 ,則 xn 的增量被 i 除便是 nxn- 1+ n (n - 1) xn - 2i + + in - 1,現令 i = 0 2. 關于微積分的 思想的建立與發展 2 1 微積分使極限理論更加成熟 我們 知道微積分的基礎是極限論 ,而牛頓、萊布尼茲的極限觀念是十分模糊的 ,牛頓的瞬和流數 ,萊布尼茲的 dx 和 dy 究竟是什么含義 ? 在他們各自的著述中沒有給出明確和一貫的定義 ,在運用時也顯得前后不一。牛頓和萊布尼茲在使用無限小量時 ,有時視瞬或 dx 為無限小增量 ,而有 時視之為一個有限量加以運算 ,甚至把它作為零而忽略不計 ,這就在邏輯上造成明顯的矛盾。牛頓曾用有限差值的 最初比和最終比 一種萌芽狀態的極限概念來說明流數的意義。但是當差值還未達到零時 ,其比值不是最終的 ,而 當差值達到零時 ,它們比是 0 。怎樣理解這樣的最終比 ,牛頓也承認自己的方法只作出“簡略的說明 ,而不是正確的論證。”而萊布尼茲的微積分論文發表以后 ,連當時在數學上頗有造詣的數學家 象 Bernoulli 兄弟 也頗感費解 :“與其說有一種說明 ,還不如說是一個謎。”究竟極限是什么 ? 無窮小是什么 ? 在今天很容易理 解。但在十九世紀以前還是一個數學上本質性的難題。基極限思想在當時也散見于各個時代著作中 ,如中國莊子 天下篇中“一尺之棰”、 Zeno 悖論、 Endoxus 的“窮竭法”、劉微的“割圓術”等和極限思想有直接關系 ,但這些都 只能說是對極限有些模糊認識而已。十八世紀 ,許多數學家為維護微積分的應用價值和美學價值 ,在回擊來自數學界內外的攻擊同時 ,竭盡所能使微積分在理論上嚴密化、邏輯化 ,在形式更趨完美。在十八世紀前期 ,許多數學家 ,尤其是英國數學家總是企圖使微積分與歐幾里得幾何結合起來 ,他們試圖借助于幾何學中論證之嚴謹體系去完善微積分。但這一努力是失敗的 ,打破這 一僵局的大數學家歐拉 ,他以代數方式研究微積分 ,力圖用形式演算方式代替累贅的幾何語言 ,使微積分建立在算術 和代數基礎上。達朗貝爾把牛頓的“最終比”發展為一種極 限概念 ,并試圖用極限加以定義和說明。他認為應以極限 理論作為微積分的理論基礎 ,這一思想在數學界產生了極其深遠的影響。直到 1821 年以后 ,柯西出版他的分析教 程、無窮小計算講義、無窮小計算在幾何中應用這幾部具劃時代意義的名著之后 ,微積分一系列基礎概念及理正式明確地確定下來。自此以后 ,連續、導數、微分、積分、無窮級數的和概念也建立較堅實的理論基礎之上 極限理論。我們現在所謂的極限的柯西定義或 年之后半個世紀經過維爾斯特拉斯的加工才完成的。柯西把整個極限過程用不等式來刻畫 ,使無窮的 運算化為一系 列不等式的推導。維爾斯特拉斯將柯西的完成了現今的 - 方法 ,形成了微積分的嚴謹之美。 2 2 微積分 狀態與過程的統一 微積分是十七世紀數學所達到的最高成就。微積分出 現以后 ,逐漸顯示出它非凡的威力 ,過去許多數學家束手無策的問題 ,至此迎刃而解。恩格斯指出 :“只有微分學才能使自然科學有可能用數學來不僅表明狀態 ,并且也表明過程 :運動。” 然而 ,在十九世紀以前 ,微積分理論歷史發展始終包含著矛盾 :一方面純粹分析及其應用領域中呈現出一個接一個的偉大發現與成就 ；另一方面則是基 礎理論的含糊性。事實上 ,無論是牛頓還是萊布尼茲 ,他們對微積分所作的論 證都是不很嚴謹的和不清楚的。 在歐洲大陸方面 ,萊布尼茲的含糊也招致了尼文 Nieuwentijt ,荷蘭哲學家 的反對。荷蘭的物理學家和幾何學家紐文 B.Nieuwentydt 也就一系列問題公開提出質問 :無限小量與零怎樣區別 ? 無限個無限小量之和為什么能夠是 有限量 ? 在推理過程中為什么能舍棄無限小量 ? 包括一大 批數學家也群起而攻之。盡管他們承認微積分的效用 ,欣賞微積分的美學價值 ,但卻不能容忍這種方法的理論本身如此含糊甚 至令人感到荒謬。法國數學家羅爾 M. Rolle微積分為 :“巧妙的謬論的匯集。”法國思想家伏爾泰則說微積分是一種“精確的計算和度量其存在無從想象的東西的藝術”。貝克萊和尼文太對微積分的攻擊純粹是消極的 ,他們不能給微積分以嚴格的基礎 ,但他們的論點都有一定道理 ,在一定程度上它激勵了微積分進一步的建設性工作。例如突變函數論、非 線性泛函分析等學科的建立。因此 ,人們追求數學美 ,以達到精神上的愉悅 ,而這一點正是通過數學家經由數學的“神秘美”、“奇異美”和“朦朧美” ,而最終達到 完備的“統一美”和“和諧美”。 2.3微積分 分析與幾何的統一 微積分的本原問題是指它同現實世界的關系問題，即它是產生于存在還是產生于純思維的問題。唯物主義與唯心主義有著根本不同的看法。唯心主義認為純數學產生于純思維。它可以先驗地，不需利用外部世界給我們提供的經驗，而從頭腦中創造出來。杜林、康德、貝克萊等唯心主義者就是這種觀點的代表。牛頓、萊布尼茨是微積分的創立者。他們分別在研究質點運動和曲線的性質中，不自覺地把客觀世界中的運動問題引進了數學。各自獨立地創立了微積分。這個功勞是應該肯定的。但是，他們沒有很好注意到微積分同現實世界 的親緣關系。其運算出發點是先驗的。所以，馬克思把牛、萊的微積分稱為 “神秘的微分學 ”唯物主義認為，微積分同所有的科學一樣，它起源經驗，然后又脫離外部世界，具有高度抽象性和相對獨立性的一門嶄新的科學恩格斯指出： “數學是從人的需要中產生的 ”微積分是從生產斗爭和科學實驗的需要中產生的。生產實踐對微積分的創立起著決定的作用。從十五世紀開始，資本主義在西歐封建社會內部逐漸形成。到十七世紀，資本主義生產方式有了巨大發展。隨著生產發展，自然科學技術也雨后春筍般地發展起來了。它們跑出來向數學敲門，提出了大量研究新課題。微積分 的創立就是為了處理十六、十七世紀在生產實踐和科學實驗中所遇到的一系列新問題。這些問題歸納起來大致分為四類：一是已知物體運動的路程與時間的函數關系，求速度和加速度；反過來，已知物體運動的速度和加速度與時間的函數關系，求路程。二是求曲線的切線。三是求函數的極大值、極小值。四是求曲線的弧長，求曲線所圍成的面積，曲面所圍成的體積等求積問題上述四類問題，形式各不相同，但有著共同的本質，即都是反映客觀事物的矛盾運動過程。其中的量都在不斷變化著。因此，研究常量的初等數學無法解決這些問題。生產和科研的需要，促使數學由研究常 量向研究變量轉化。于是微積分在傳統代數學的長期孕育中，經解釋幾何這個 “助產婆 ”的接生 “而分娩了 ”。所以，恩格斯說： “數學的轉折點是笛卡爾的變數。有了變數，運動進入了數學。有了變數，辯證法進入了數學。有了變數，微分學和積分學也就立刻成了必要的了 ”。 3.牛頓 萊布尼茨公式 聯結微分與積分的橋梁 唯物辯證法是關于普遍聯系的科學。微分與積分是一對矛盾的兩個方面。它們之間的聯系集中表現在互逆關系上。微分是已知原函數求導數（微商）；積分則是已知導數求原函數。微分與積分的互逆關系，揭示了導數與原函數的對立統一關 系。原函數經過微分轉化為導數。導數在積分過程中又還原為原函數。微分與積分相互轉化的辯證過程普遍存在于自然界中。前面 說過，水分子的蒸發與凝聚的過程就是微分與積分矛盾轉化的過程；在幾何學中長與寬、面積與體積的相互轉化；在物理學中路程與速度、速度與加速度的相互轉化，都可以用微分與積分相互轉化來描述。微分與積分這種相互聯系、相互轉化的辯證內容盡管在現實世界早已存在。但在數學領域里，這種互逆關系在 “牛頓 萊布尼茨公式 ”誕生前一直被隱藏，未被人們所認識。這是因為微分與積分在發展歷史上各有淵源。在幾何學中，前者和計算切線的斜率有關。后者則和計算曲邊形的面積相聯系。牛頓、萊布尼茨之所被認為是微積分的創立者，主要是他們發現了微分與積分的互逆關系，找到了根據導數求原函數的一種簡便方法，從而把表面上互不相干的兩種運算統一起來了，使微分與積分成為一種普遍意義的強有力的數學方法，為數學的發展開發開辟了一條新的康莊大道。 牛頓 萊布尼茨公式是微積分的基本原理。它表述為設函數 （ x)在（ ab)上連續。如果函數 F（ x)是函數 （ x)的一個原函數，則有： b （ x)dx F（ b)-F（ a) a 這個公式左邊是一個定積分，右邊是原函數在（ ab）兩端值的差。它把數軸在一個區間的定積分同這個區間端點的原函數聯系起來了，揭示了微分與積分的對立統一關系 。為了說明這個問題，我們從分析具體問題入手，先來考察質點在直線上的變速運動。設時刻 t 時質點在直線上的位置是 s（ t)，那么從時刻 t a 到時刻 t b 這一區間，質點運動的路程為 s（ b)-s（ a)。這是質點運動的一個方面。 再從另一個方面看。設已知質點在時刻 t 內的瞬時速度為 u(t)，我們用另一種方法可從 u（ t)計算出質點所走過的路程為： b u（ t)dta 由于這兩個表達式都是表示同一質點在同一時間內所走過的路程，因而應該是相等的，即 b u（ t)dt S(b)-S（ a) a 從微分角度看，路程函數 S(t)的微商是速度函數 u(t)dS(t) u(t) 或 dS（ t) u（ t)dt dt b 從積分角度看，速度函數 u（ t)的積分值 u（ t)dt a 表達了路程函數 S(t)的兩點值之差 S（ b)-S(a)。這里的 b 是任意固定的，有一個 b就有一個 S（ b)與之對應。這樣當我們深入一步，從運動的角度看公式時，即把 b 視為變量 t，它給出了用定積分表達路程函數的方法： t u(t)dt S（ t)-S（ a) a t 這就用變上限的積分 u(t)dt表達了路程函數 S（ t)。因而 a dF（ x) (x)dx在區間（ ab）上的無限積累。微分與積分的同一性與差異性都包函在牛 萊公式之中。其同一性的一面是微分與積分共處于牛 萊公式之中，互相依存，互相貫通，在一定的條件下相互轉化。原函數在微分條件下轉化為導函數；導函數在積分條件下轉化為原函數。微分把 “有限 ”轉化 為 “無限 ”，而積分又把 “無限 ”轉化 為 “有限 ”。牛 萊公式就是在這種 “有限 無限 有限 ”的轉化 中，把定積分計算變為不定積分計算，把繁雜的極限計算轉化為原函數兩點值之差的運算。從而找到了計算定積分的捷徑。然而，牛 萊公式的兩邊不是絕對 的同一，絕對的統一，絕對的轉化，而的有差別的同一，對立的統一，有條件的轉化。公式的兩邊僅僅是數量上的同一，兩邊各自的性質、地位與作用并不相同。這個不同正是微分與積分的差異性，即互逆關系的表現。歸納起有三個方面：其一，兩者所反映的事物性質不同。在物理學中微分所描述的是物體運動的路程向速度轉化以及速度向加速度轉化的過程；而積分卻反其道而行之，它描寫的是加速度轉化為速度，速度轉化為路程的過程。在幾何學中微分就是求曲線的切線；而積分是求弧長，求曲線所圍成的面積，曲面所圍成的體積。一般地講，微分就是已知函數求函數的變 化率；而積分是根據函數的變化率求函數。其二、兩者所處的地位不同。在微分與積分這對矛盾中，一般地說微分是矛盾的主要方面，居于支配地位；積分是矛盾的次要方面，居于被支配地位。微分是積分運算的前提和基礎。進行積分運算，首先要 “化整為零 ”，進行無限分割，即微分。無微分就不可能進行積分。但是積分又不是消極被動的。在導函數向原函數轉化過程中，最后是由積分來完成的。沒有積分就無法完成這一轉化。其三、各自的作用不同。微分是把整體分成無限多個無窮小量，完成以 “直 ”代 “曲 ”的轉化；而積分又把無窮多的無限小量累積起來，實現以 “以 曲代直 ”。微積分的 “曲 ”與 “直 ”、 “有限 ”與 “無限 ”的相互轉化 正是在微分與積分的相互作用、相互制約下實現的。它推動微積分的基本矛盾 “直 ”與 “曲 ”， “勻 ”與 “不勻 “的矛盾運動，解決了初等數學無法解決的矛盾。 4 實際問題思想的具體表現 說明 連續、可導、可微問題 微積分中對于無窮大與無界、極大 (小 )值與最大 (小 )值以及可導與連續等容易混淆的概念之間的關系，可以通過運用適當的反例進行準確理解把握。同時也能培養與提高學生的辯證思維能力。 情形 1 若函數 f（ x）在 a 連續， 則函數 f（ x）在 a 也連續， 但其逆命題不成立。 反例：函數 f（ x） =1， x?叟 0-1， x0，總存在 x=n，當 n時，有 f（ x） =n cosn =n G 然而，當 x時，若取 x=n +此時 f（ x） =n +cosn +=0。即 f（ x）并不趨于。 4 函數的極大 (小 )值與最大 (小 )值問題 情形 94可導函數的極值點一定是函數的駐點，但駐點不一定是函數的極值點。 反例： x=0 是函數 f（ x） =x3 的駐點，但不是其極值點。 情形 10 函數 f（ x） 的極大 (小 )值不一定就是最大 (小 )值。 反例：函數 f（ x） =x-4x+3x+1， x -1， 3，由于 f（ x） =4x-8x+3=4（ x-1） -1，易見 x=或 x=為 f（ x）的穩定點