專題06 三角函數的圖像與性質1為了得到函數ysin的圖象，只需把函數ysin2x的圖象上所有的點()A向左平行移動個單位長度B向右平行移動個單位長度C向左平行移動個單位長度D向右平行移動個單位長度答案D解析由題意可知，ysinsin，則只需把ysin 2x的圖象向右平移個單位，故選D.2若將函數y2sin2x的圖象向左平移個單位長度，則平移后圖象的對稱軸為()Ax(kZ) Bx(kZ)Cx(kZ) Dx(kZ)答案B3已知函數f(x)sin(x)，x為f(x)的零點，x為yf(x)圖象的對稱軸，且f(x)在上單調，則的最大值為()A11B9C7D5答案B解析因為x為f(x)的零點，x為f(x)的圖象的對稱軸，所以kT，即T，所以4k1(kN)，又因為f(x)在上單調，所以，即12，由此得的最大值為9，故選B.4已知函數f(x)sin(xR，0)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為.為了得到函數g(x)cosx的圖象，只要將yf(x)的圖象()A向左平移個單位長度B向右平移個單位長度C向左平移個單位長度D向右平移個單位長度答案A5如圖，函數f(x)Asin(x)(其中A0，0，|)與坐標軸的三個交點P、Q、R滿足P(2,0)，PQR，M為QR的中點，PM2，則A的值為()A.B.C8D16答案B解析由題意設Q(a,0)，R(0，a)(a0)則M(，)，由兩點間距離公式得，PM2，解得a18，a24(舍去)，由此得，826，即T12，故，由P(2,0)得，代入f(x)Asin(x)得，f(x)Asin(x)，從而f(0)Asin()8，得A.6義在區間0,3上的函數ysin2x的圖象與ycosx的圖象的交點個數是_答案7解析在區間0,3上分別作出ysin2x和ycosx的簡圖如下：由圖象可得兩圖象有7個交點7已知函數f(x)2asinxcosx2cos2x (a0，0)的最大值為2，x1，x2是集合MxR|f(x)0中的任意兩個元素，且|x1x2|的最小值為6.(1)求函數f(x)的解析式及其圖象的對稱軸方程；(2)將函數yf(x)的圖象向右平移2個單位后得到函數yg(x)的圖象，當x(1,2時，求函數h(x)f(x)g(x)的值域解(1)f(x)2asinxcosx2cos2xasin2xcos2x.由題意知f(x)的最小正周期為12，則12，得.由f(x)的最大值為2，得2，又a0，所以a1.于是所求函數的解析式為f(x)sinxcosx2sin，令xk(kZ)，解得x16k(kZ)，即函數f(x)圖象的對稱軸方程為x16k(kZ)易錯起源1、三角函數的概念、誘導公式及同角關系式例1、(1)點P從(1,0)出發，沿單位圓x2y21逆時針方向運動弧長到達Q點，則Q點的坐標為()A(，) B(，)C(，) D(，)(2)已知sin2cos0，則2sincoscos2的值是_答案(1)A(2)1解析(1)設Q點的坐標為(x，y)，則xcos，ysin.Q點的坐標為(，)(2)sin2cos0，sin2cos，tan2，又2sincoscos2，原式1.【變式探究】(1)已知點P落在角的終邊上，且0,2)，則的值為()A.B.C.D.(2)如圖，以Ox為始邊作角 (00，cos0，0，0)的圖象如圖所示，則f()的值為_答案(1)B(2)1解析(1)ysinsin，要得到ysin的圖象，只需將函數ysin4x的圖象向右平移個單位(2)根據圖象可知，A2，所以周期T，由2.又函數過點(，2)，所以有sin(2)1，而00)的最小正周期為，為了得到函數g(x)cosx的圖象，只要將yf(x)的圖象()A向左平移個單位長度B向右平移個單位長度C向左平移個單位長度D向右平移個單位長度(2)如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數y3sink，據此函數可知，這段時間水深(單位：m)的最大值為()A5B6C8D10答案(1)A(2)C【名師點睛】(1)已知函數yAsin(x)(A0，0)的圖象求解析式時，常采用待定系數法，由圖中的最高點、最低點或特殊點求A；由函數的周期確定；確定常根據“五點法”中的五個點求解，其中一般把第一個零點作為突破口，可以從圖象的升降找準第一個零點的位置(2)在圖象變換過程中務必分清是先相位變換，還是先周期變換變換只是相對于其中的自變量x而言的，如果x的系數不是1，就要把這個系數提取后再確定變換的單位長度和方向【錦囊妙計，戰勝自我】函數yAsin(x)的圖象(1)“五點法”作圖：設zx，令z0，2，求出x的值與相應的y的值，描點、連線可得(2)圖象變換：ysinxysin(x)yAsin(x)易錯起源3、三角函數的性質例3、已知函數f(x)sinsinxcos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)討論f(x)在上的單調性解(1)f(x)sinsinxcos2xcosxsinx(1cos2x)sin2xcos2xsin，因此f(x)的最小正周期為，最大值為.(2)當x時，02x，從而當02x，即x時，f(x)單調遞增，當2x，即x時，f(x)單調遞減綜上可知，f(x)在上單調遞增；在上單調遞減【變式探究】設函數f(x)2cos2xsin2xa(aR)(1)求函數f(x)的最小正周期和單調遞增區間；(2)當x0，時，f(x)的最大值為2，求a的值，并求出yf(x)(xR)的對稱軸方程解(1)f(x)2cos2xsin2xa1cos2xsin2xasin(2x)1a，則f(x)的最小正周期T，且當2k2x2k(kZ)，即kxk(kZ)時，f(x)單調遞增所以k，k(kZ)為f(x)的單調遞增區間【名師點睛】函數yAsin(x)的性質及應用的求解思路第一步：先借助三角恒等變換及相應三角函數公式把待求函數化成yAsin(x)B的形式；第二步：把“x”視為一個整體，借助復合函數性質求yAsin(x)B的單調性及奇偶性、最值、對稱性等問題【錦囊妙計，戰勝自我】1三角函數的單調區間：ysinx的單調遞增區間是2k，2k(kZ)，單調遞減區間是2k，2k(kZ)；ycosx的單調遞增區間是2k，2k(kZ)，單調遞減區間是2k，2k(kZ)；ytanx的遞增區間是(k，k)(kZ)2yAsin(x)，當k(kZ)時為奇函數；當k(kZ)時為偶函數；對稱軸方程可由xk(kZ)求得yAcos(x)，當k(kZ)時為奇函數；當k(kZ)時為偶函數；對稱軸方程可由xk(kZ)求得yAtan(x)，當k(kZ)時為奇函數1若0sin，且2，0，則的取值范圍是()A.B.(kZ)C.D.(kZ)答案A解析根據題意并結合正弦線可知，滿足(kZ)，2，0，的取值范圍是.故選A.2函數f(x)cos的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象對應的函數為()AycosBysinCycosDysin答案C解析函數f(x)cos的圖象向左平移個單位長度后所得圖象的解析式為ycos3(x)cos(3x)，故選C.3已知tan3，則的值為()AB3C.D3答案A解析.4已知角的終邊經過點A(，a)，若點A在拋物線yx2的準線上，則sin等于()AB.CD.答案D解析由條件，得拋物線的準線方程為y1，因為點A(，a)在拋物線yx2的準線上，所以a1，所以點A(，1)，所以sin.5.函數f(x)Asinx(A0，0)的部分圖象如圖所示，則f(1)f(2)f(3)f(2015)的值為()A0B3C6D答案A解析由圖可得，A2，T8，8，f(x)2sinx，f(1)，f(2)2，f(3)，f(4)0，f(5)，f(6)2，f(7)，f(8)0，而201582517，f(1)f(2)f(2015)0.6函數y2sin()(0x9)的最大值與最小值之差為_答案2解析因為0x9，所以，因此當時，函數y2sin()取得最大值，即ymax212.當時，函數y2sin()取得最小值，即ymin2sin()，因此y2sin()(0x9)的最大值與最小值之差為2.7已知函數f(x)3sin(x)(0)和g(x)3cos(2x)的圖象的對稱中心完全相同，若x0，則f(x)的取值范圍是_答案，38已知是三角形的內角，若sincos，則tan_.答案解析方法一由解得或因為(0，)，所以sin0，所以所以tan.方法二由已知得(sincos)2，化簡得2sincos，則可知角是第二象限角，且(sincos)212sincos，由于sincos0，所以sincos，將該式與sincos聯立，解得所以tan.9已知函數f(x)cos.(1)若f()，其中，求sin的值；(2)設g(x)f(x)f，求函數g(x)在區間上的最大值和最小值解(1)因為f()cos，且00，函數f(x)2asin2ab，當x時，5f(x)1.(1)求常數a，b的值；(2)設g(x)f且lgg(x)0，求g(x)的單調區間 (2)由(1)得，f(x)4sin1，g(x)f4sin14sin1，又由lgg(x)0，得g(x)1，4sin11，sin，2k2x2k，kZ，其中當2k2x2k，kZ時，g(x)單調遞增，即kxk，kZ，g(x)的單調增區間為，kZ.又當2k2x2k，kZ時，g(x)單調遞減，即kx0)的部分圖象如圖所示，點A，B是最高點，點C是最低點，若ABC是直角三角形，則f()_.答案12已知函數f(x)Asin(x)(A0，0)，g(x)tanx，它們的最小正周期之積為22，f(x)的最大值為2g()(1)求f(x)的單調遞增區間；(2)設h(x)f2(x)2cos2x.當xa，)時，h(x)有最小值為3，求a的值解(1)由題意，得22，所