第8節函數與方程,.結合二次函數的圖象，了解函數的零點與方程根的聯系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數.根據具體函數的圖象，能夠用二分法求相應方程的近似解,整合主干知識,1函數的零點,質疑探究：當函數yf(x)在(a，b)內有零點時，是否一定有f(a)f(b)0.,2二次函數yax2bxc(a0)的圖象與零點的關系,1函數f(x)2x3x的零點所在的一個區間是()A(2，1)B(1,0)C(0,1)D(1,2)解析：易知f(x)2x3x在R上是增函數而f(2)2260，f(1)f(0)0，故函數f(x)在區間(1,0)上有零點故選B.答案：B,答案：B,3給出下列命題：函數f(x)x21的零點是(1,0)和(1,0)；函數yf(x)在區間(a，b)內有零點(函數圖象連續不斷)，則一定有f(a)f(b)0；二次函數yax2bxc(a0)在b24ac0時沒有零點；若函數f(x)在(a，b)上單調且f(a)f(b)0.正確當b24ac0時，二次函數圖象與x軸無交點，從而二次函數沒有零點正確由已知條件，數形結合可得f(x)與x軸在區間a，b上有且僅有一個交點.故選C.答案：C,4用二分法求函數f(x)3xx4的一個零點，其參考數據如下：據此數據，可得f(x)3xx4的一個零點的近似值(保留三位有效數字)為_解析：由題意知，函數零點在區間(1.5562,1.5625)內，又零點近似值保留三位有效數字，故零點近似值為1.56.答案：1.56,5(2015北京朝陽區一模)函數f(x)是定義在R上的偶函數，且滿足f(x2)f(x)當x0,1時，f(x)2x.若在區間2,3上方程ax2af(x)0恰有四個不相等的實數根，則實數a的取值范圍是_,解析：由f(x2)f(x)知函數f(x)是以2為周期的周期函數，又f(x)為偶函數，故函數在2,3上的圖象如圖所示,聚集熱點題型,函數零點的個數問題,解析(1)因為f(x)為偶函數，所以當x1，0時，x0,1，所以f(x)x2，即f(x)x2.,yf(x)k的圖象與x軸恰有兩個公共點，即yf(x)的圖象與yk的圖象恰有兩個公共點由圖知當且僅當1k0時，yf(x)的圖象與yk的圖象恰有兩個公共點故所求k的取值范圍是(1,0答案(1)C(2)(1,0,答案：0,名師講壇1判斷函數yf(x)零點個數的常用方法：(1)直接法令f(x)0，則方程實根的個數就是函數零點的個數,(2)零點存在性定理法判斷函數在區間a，b上是連續不斷的曲線，且f(a)f(b)0，再結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性、周期性、對稱性)可確定函數的零點個數(3)數形結合法轉化為兩個函數的圖象的交點個數問題(畫出兩個函數的圖象，其交點的個數就是函數零點的個數),2由函數的零點或方程的根的存在情況求參數的取值范圍常用的方法(1)直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍(2)分離參數法：先將參數分離得af(x)，再轉化成求函數f(x)值域問題加以解決(3)數形結合法：先對解析式變形，再在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，然后數形結合求解,(2)由于|f(x)|0，故必須k0，即k0，顯然k0時兩個函數圖象只有一個公共點，所以k0，要使y|f(x)|與yk的圖象有三個公共點(如圖所示)，只要k2，即k2即可故選D.答案：(1)C(2)D,確定函數零點所在的區間,答案(1)D(2)(1,2),(1)利用函數零點的存在性定理：首先看函數yf(x)在區間a，b上的圖象是否連續，再看是否有f(a)f(b)0.若有，則函數yf(x)在區間(a，b)內必有零點(2)數形結合法：通過畫函數圖象，觀察圖象與x軸在給定區間上是否有交點來判斷提醒：在一個區間上單調的函數在該區間內至多只有一個零點，在確定函數零點的唯一性時往往要利用函數的單調性,名師講壇確定函數f(x)的零點所在區間的常用方法,A(1,0)B(0,1)C(1,2)D(2,3)解析：(1)因為f(x)在(0，)上為單調增函數，且f(1)ln220，所以函數的零點所在的大致區間是(1,2)中間，故選B.,答案：(1)B(2)B,典例賞析3(1)(2015廣州一模)已知e是自然對數的底數，函數f(x)exx2的零點為a，函數g(x)lnxx2的零點為b，則下列不等式成立的是()Af(a)f(1)f(b)Bf(a)f(b)f(1)Cf(1)f(a)f(b)Df(b)f(1)f(a),函數零點與其他問題的綜合,解析(1)函數f(x)，g(x)均為定義域上的單調遞增函數，且f(0)10，g(1)10，所以a(0,1)，b(1，e)，即a1b，所以f(a)f(1)0和k1或k0時，沒有交點，故當0k1時滿足題意答案：k|0k1,1一個口訣用二分法求函數零點的方法用二分法求零點近似值的口訣為：定區間，找中點，中值計算兩邊看；同號去，異號算，零點落在異號間；周而復始怎么辦？精確度上來判斷2二個防范函數零點的兩個易錯點(1)函數的零點不是點，是方程f(x)0的實根(2)函數零點的存在性定理只能判斷函數在某個區間上的變號零點，而不能判斷函數的不變號零點，而且連續函數在一個區間的端點處函數值異號是這個函數在這個區間上存在零點的充分不必要條件,3三種方法判斷函數零點個數的方法(1)直接求零點；(2)零點的存在性定理；(3)利用圖象交點的個數(內容見例2的方法規