2.3 二次函數與冪函數,高考數學 (江蘇省專用),考點一 二次函數,五年高考,統一命題、省(區、市)卷題組,1.(2019浙江,16,4分)已知aR,函數f(x)=ax3-x.若存在tR,使得|f(t+2)-f(t)| ,則實數a的最大 值是 .,答案,解析 本題考查絕對值不等式的解法及二次函數的最值等相關知識;以三次函數為背景,對不 等式化簡變形,考查學生運算求解能力,將不等式有解問題轉化為函數值域(最值)問題,考查學 生的化歸與轉化思想、數形結合思想;突出考查了數學運算的核心素養. |f(t+2)-f(t)| |a(t+2)3-(t+2)-(at3-t)| |6at2+12at+8a-2| |3at2+6at+4a-1| - 3at 2+6at+4a-1 a(3t2+6t+4) , 3t2+6t+4=3(t+1)2+11, 若存在tR,使不等式成立,則需a0, 故a(3t2+6t+4)a,+), 只需a,+) 即可,0a , 故a的最大值為 .,疑難突破 能夠將原絕對值不等式化繁為簡,將問題簡化為一元二次不等式有解問題,再進一 步轉化為值域交集非空是求解本題的關鍵.,2.(2017浙江改編,5,4分)若函數f(x)=x2+ax+b在區間0,1上的最大值是M,最小值是m,則M-m . (1)與a有關,且與b有關 (2)與a有關,但與b無關 (3)與a無關,且與b無關 (4)與a無關,但與b有關,答案 (2),解析 本題考查二次函數在閉區間上的最值,二次函數的圖象,考查數形結合思想和分類討論 思想. 解法一:令g(x)=x2+ax,則M-m=g(x)max-g(x)min. 故M-m與b無關. 又a=1時,g(x)max-g(x)min=2, a=2時,g(x)max-g(x)min=3, 故M-m與a有關.故填(2). 解法二:(1)當- 1,即a-2時, f(x)在0,1上為減函數,M-m=f(0)-f(1)=-a-1. (2)當 - 1,即-2a-1時,M=f(0),m=f ,從而M-m=f(0)-f =b- = a2. (3)當0- ,即-1a0時,M=f(1),m=f ,從而M-m=f(1)-f = a2+a+1. (4)當- 0,即a0時, f(x)在0,1上為增函數, M-m=f(1)-f(0)=a+1.,即有M-m= M-m與a有關,與b無關.故填(2).,3.(2017北京文改編,11,5分)已知x0,y0,且x+y=1,則x2+y2的取值范圍是 .,答案,解析 由題意知,y=1-x, y0,x0,0x1, 則x2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1=2 + . 當x= 時,x2+y2取最小值 , 當x=0或x=1時,x2+y2取最大值1, x2+y2 .,4.(2015浙江文,20,15分)設函數f(x)=x2+ax+b(a,bR). (1)當b= +1時,求函數f(x)在-1,1上的最小值g(a)的表達式; (2)已知函數f(x)在-1,1上存在零點,0b-2a1,求b的取值范圍.,解析 (1)當b= +1時, f(x)= +1, 故f(x)圖象的對稱軸為直線x=- . 當a-2時,g(a)=f(1)= +a+2. 當-22時,g(a)=f(-1)= -a+2. 綜上,g(a)= (2)設s,t為方程f(x)=0的解,且-1t1,則 由于0b-2a1,因此 s (-1t1). 當0t1時, st ,由于- 0和- 9-4 , 所以- b9-4 . 當-1t0時, st , 由于-2 0和-3 0, 所以-3b0. 故b的取值范圍是-3,9-4 .,考點二 冪函數 (2018上海,7,5分)已知 .若冪函數f(x)=x為奇函數,且在(0,+)上遞減,則 = .,答案 -1,解析 本題主要考查冪函數的性質.冪函數f(x)=x為奇函數,可取-1,1,3,又f(x)=x在(0,+ )上遞減,0,故=-1.,規律方法 冪函數y=x(R)的性質及圖象特征: 所有的冪函數在(0,+)上都有定義,并且圖象都過點(1,1); 如果0,則冪函數的圖象過原點,并且在區間0,+)上為增函數; 如果0,則冪函數的圖象在區間(0,+)上為減函數; 當為奇數時,冪函數為奇函數;當為偶數時,冪函數為偶函數.,教師專用題組 考點一 二次函數,1.(2017山東理改編,10,5分)已知當x0,1時,函數y=(mx-1)2的圖象與y= +m的圖象有且只有 一個交點,則正實數m的取值范圍是 .,答案 (0,13,+),解析 當01時,在同一平面直角坐標系中作出函數y=(mx-1)2與y= +m的圖象,如圖. 要滿足題意,則(m-1)21+m,解得m3或m0(舍去),m3. 綜上,正實數m的取值范圍為(0,13,+).,方法總結 已知函數有零點(方程有根或圖象有交點)求參數的值或取值范圍常用的方法: 直接法:直接根據題設條件構建關于參數的方程或不等式,再通過解方程或不等式確定參數 的值或取值范圍. 分離參數法:先將參數分離,轉化成求函數最值問題加以解決. 數形結合法:在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象,然后數形結合求解.,2.(2015四川改編,9,5分)如果函數f(x)= (m-2)x2+(n-8)x+1(m0,n0)在區間 上單調遞減, 那么mn的最大值為 .,答案 18,解析 當m=2時, f(x)=(n-8)x+1在區間 上單調遞減,則n-82時, f(x)的圖象開口向上且過點(0,1),要使f(x)在區間 上單調遞減,需- 2,即2m +n12,而2m+n2 ,所以mn18,當且僅當 即 時,取“=”,此時滿足m 2.故(mn)max=18. 綜上可得,(mn)max=18.,評析 本題考查了二次函數的圖象與性質、基本不等式.考查學生分析問題與解決問題的能 力.考查轉化與化歸的數學思想.,3.(2015陜西改編,12,5分)對二次函數f(x)=ax2+bx+c(a為非零 ),四位同學分別給出下列結論, 其中有且只有一個結論是錯誤的,則錯誤的結論是 . (1)-1是f(x)的零點 (2)1是f(x)的極值點 (3)3是f(x)的極值 (4)點(2,8)在曲線y=f(x)上,答案 (1),解析 (1)由已知得, f (x)=2ax+b,則f(x)只有一個極值點,若(1)、(2)正確,則有 解得b =-2a,c=-3a, 則f(x)=ax2-2ax-3a. 由于a為非零整數,所以f(1)=-4a3,則C錯. 而f(2)=-3a8,則D也錯,與題意不符,故A、B中有一個錯誤,C、D都正確. 若A、C、D正確,則有 由得 代入中并整理得9a2-4a+ =0, 又a為非零整數,則9a2-4a為整數,故方程9a2-4a+ =0無整數解,故(1)錯.,若(2)(3)(4)正確,則有 解得a=5,b=-10,c=8,則f(x)=5x2-10x+8, 此時f(-1)=230,符合題意.,4.(2014大綱全國,16,5分)若函數f(x)=cos 2x+asin x在區間 是減函數,則a的取值范圍是 .,答案 (-,2,解析 f(x)=cos 2x+asin x=1-2sin2x+asin x, 令t=sin x,x ,則t ,則函數y=-2t2+at+1在 上是減函數,則 ,所以a2.,解題關鍵 本題的解題關鍵在于通過換元,將原函數轉化為二次函數,再結合復合函數單調性 即可求解.考查轉化能力、數形結合思想.,5.(2014遼寧,16,5分)對于c0,當非零實數a,b滿足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大時, - + 的 最小值為 .,答案 -2,解析 設2a+b=t,則2a=t-b,由已知得關于b的方程(t-b)2-b(t-b)+4b2-c=0有解,即6b2-3tb+t2-c=0有 解. 故=9t2-24(t2-c)0, 所以t2 c, 所以|t|max= ,此時c= t2,b= t,2a=t-b= , 所以a= . 故 - + = - + =8 =8 -2-2.,6.(2013課標全國,16,5分)若函數f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖象關于直線x=-2對稱,則f(x)的最大 值為 .,答案 16,解析 由f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖象關于直線x=-2對稱,有 即 解得a=8,b=15, f(x)=(1-x2)(x2+8x+15)=(1-x2)(x+4)2-1, 令x+2=t,則x=t-2,tR. y=g(t)=1-(t-2)2(t-2)2+8(t-2)+15=(4t-t2-3)(4t+t2+3)=16t2-(t2+3)2=16t2-t4-6t2-9=16-(t2-5)2, 當t2=5時,ymax=16.,考點二 冪函數 (2014上海,9,4分)若f(x)= - ,則滿足f(x)0的x的取值范圍是 .,答案 (0,1),解析 令y1= ,y2= ,則f(x)0即為y1y2.函數y1= ,y2= 的圖象如圖所示,由圖象知:當0x1 時,y1y2,所以滿足f(x)0的x的取值范圍是(0,1).,三年模擬,A組 20172019年高考模擬考點基礎題組,考點一 二次函數,1.(2018蘇錫常鎮四市教學情況調研(一),14)若二次函數f(x)=ax2+bx+c(a0)在區間1,2上有兩 個不同的零點,則 的取值范圍為 .,答案 0,1),解析 設f(x)在區間1,2上的兩個不同零點分別為x1,x2, 則f(x)=a(x-x1)(x-x2),a0,x1,x21,2, = =(1-x1)(1-x2)0,1).,評析 本題主要考查二次函數的不同表示形式,巧設f(x)=a(x-x1)(x-x2)(其中x1,x2是函數f(x)的零 點)是求解本題的關鍵,解題時要注意這種設法的應用.,2.(2019揚州檢測,11)若函數f(x)在定義域D內某區間H上是增函數,且 在H上是減函數,則稱 y=f(x)在H上是“弱增函數”.已知函數g(x)=x2+(4-m)x+m在(0,2上是“弱增函數”,則實數m的 值為 .,答案 4,解析 由題意可知g(x)=x2+(4-m)x+m在(0,2上是增函數, 0,即m4. 令h(x)= =x+ +4-m,則h(x)在(0,2上是減函數. (1)當m0時,h(x)在(0,2上為增函數,不符合題意; (2)當m0時,由對勾函數性質可知h(x)在(0, )上單調遞減, 2,即m4,又m4,故m=4.,評析 理解題目中弱增函數的概念,然后將具體問題用題目中的定義表達,就能解決問題.,3.(2019蘇北三市(徐州、連云港、淮安)期末,14)已知x0,y0,z0,且x+ y+z=6,則x3+y2+3z的 最小值為 .,答案,解析 x3+y2+3z=x3+y2+3(6-x- y)=x3-3x+ + , 令f(x)=x3-3x,g(y)= + , f (x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),x0, 易知f(x)在(0,1)上遞減,在(1,+)上遞增, 所以f(x)min=f(1)=-2. 當y= 時,g(y)有最小值,g(y)min= , 所以x3+y2+3z的最小值為-2+ = .,評析 本題考查函數的導數及其應用,二次函數的性質.根據變量間的關系,減少變量,轉化為 三次函數與二次函數的最小值,其中三次函數最值利用求導法求解,二次函數最值利用配方法 求解.,4.(2018泰州中學二模,10)設函數f(x)=x2-2ax+15-2a的兩個零點分別為x1,x2(x1x2),且在區間(x1,x2) 上恰好有兩個正整數,則實數a的取值范圍是 .,答案,解析 令f(x)=0,可得x2+15=2a(x+1),即 =2a, 由題意可得 =2a有兩個解x1,x2(x1x2),且在區間(x1,x2)上恰有兩個正整數, 故函數y= 的圖象和直線y=2a有兩個交點,且這兩個交點的橫坐標分別為x1,x2, 令x+1=t,則y= =t+ -2, 令m(t)=t+ ,則m(t)的圖象和直線y=2a+2有兩個交點,且這兩個交點的橫坐標分別為t1,t2,在區 間(t1,t2)上恰有兩個正整數,而這兩個正整數應為4和5. 令t=5,則m(t)= ,令t=3,則m(t)= , 2a+2 ,故 a , 故實數a的取值范圍為 .,5.(2019揚州中學檢測,12)已知a0,函數f(x)=|x2+|x-a|-3|在-1,1上的最大值為2,則a= .,答案 3或,解析 (1)當a1時, f(x)=|x2-x+a-3|, 函數y=x2-x+a-3(-1x1),對稱軸為直線x= ,觀察函數f(x)=|x2-x+a-3|的圖象(圖略)可知函數的 最大值是f(-1), f(1)或f . 令f(-1)=|1+1+a-3|=2,a=3或a=-1,經檢驗,a=3滿足題意; 令f(1)=|1-1+a-3|=2,a=5或a=1,經檢驗,a=5和a=1都不滿足題意. 令f = =2,a= 或a= ,經檢驗,a= 不滿足題意. (2)當 時, f(x)=|x2+x-a-3|. 函數y=x2+x-a-3(-1x1),對稱軸為直線x=- . 觀察函數f(x)=|x2+x-a-3|的圖象(圖略)得函數的最大值是 f = =2,a=- (舍)或a=- (舍). (3)當 時, f(x)=|x2-x+a-3|.,函數y=x2-x+a-3(-1x1),對稱軸為直線x= ,觀察函數f(x)=|x2-x+a-3|的圖象(圖略)可知函數的 最大值是f(-1)或f .結合(1)知均不符合題意. 所以a=3或 .,解題關鍵 根據二次函數的特點,得函數的最大值只能在端點或頂點處取得,是解題的關鍵,由 此做好必要的檢驗就能夠解決問題.,6.(2019連云港期中,16)設二次函數f(x)=ax2+bx+c,函數F(x)=f(x)-x的兩個零點為m,n(m0的解集; (2)若a0,且0xmn ,比較f(x)與m的大小.,解析 (1)F(x)=f(x)-x=ax2+bx+c-x=ax2+(b-1)x+c, 因為函數F(x)的兩個零點為-1,2, 所以 解得 所以F(x)=ax2-ax-2a=a(x-2)(x+1). 當a0時,F(x)=a(x-2)(x+1)0的解集為(-,-1)(2,+); 當a0的解集為(-1,2). 綜上所述,當a0時,F(x)0的解集為(-,-1)(2,+);當a0的解集為(-1,2). (2)函數F(x)=ax2+(b-1)x+c的兩個零點為m,n(m0,且0xmn ,所以x-m0, 所以f(x)-m0,即f(x)m.,7.(2019如皋期中,19)已知函數f(x)=x2+bx+c(b、cR). (1)當c=b時,解關于x的不等式f(x)1; (2)若f(x)的值域為1,+),關于x的不等式f(x)a的解集為(m,m+4),求實數a的值; (3)若x , f 0恒成立,函數g(x)=- ,且f(g(x)的最大值為1,求b2+c2 的取值范圍.,解析 (1)當c=b時,由f(x)1得x2+bx+b-10, 即(x+b-1)(x+1)0, 當1-b-1,即b2時,原不等式的解集為(-,1-b)(-1,+). (2)由f(x)的值域為1,+),得 =1,因為關于x的不等式f(x)a的解集為(m,m+4),所以m,m+4 是方程f(x)=a的兩個根,即x2+bx+c-a=0的兩根之差為4, 所以4= ,則 解得a=5. (3)x 時, (-,-22,+), 則x(-,-22,+)時, f(x)0恒成立. 又g(x)=- =-2- -3,-2), 因為f(g(x)的最大值為1,所以f(x)在x-3,-2)上的最大值為1,由f(x)圖象開口向上,得 即 則c=3b-8,且b5. 此時由x(-,-22,+)時, f(x)0恒成立, 得x2+bx+3b-80恒成立,且f(-2)0, 得b4,所以4b5, 要滿足x(-,-22,+)時, f(x)0恒成立,則0,b2-4(3b-8)0,解得4b8,所以4b 5. 此時b2+c2=b2+(3b-8)2=10b2-48b+6432,74.,考點二 冪函數,1.(2017南通、徐州聯考)已知冪函數f(x)=kx的圖象經過點(4,2),則k+= .,答案,解析 由題意得k=1,4=2= ,k+= .,2.(2018蘇州期中)已知冪函數y= (mN*)在(0,+)上是增函數,則實數m的值是 .,答案 1,解析 因為冪函數y= (mN*)在(0,+)上是增函數,所以2m-m20,解得0m2,又mN*,所 以m=1.,3.(2019金陵中學檢測,10)已知函數f(x)=x的圖象過點(4,2),令an= ,nN*,記數列 an的前n項和為Sn,則S2 018的值為 .,答案 -1,解析 f(x)=x的圖象過點(4,2), 2=4= . f(x)= = ,x0, an= = - . 則S2 018=a1+a2+a3+a2 017+a2 018 = -1+ - + - + - = -1.,評析 本題考查冪函數的應用及裂項相消法求和,難度適中.,一、填空題(每小題5分,共30分),B組 20172019年高考模擬專題綜合題組 (時間：25分鐘 分值：45分),1.(2018泰州中學期中,14)設反比例函數f(x)= 與二次函數g(x)=ax2+bx(a0)的圖象有且僅有兩 個不同的公共點A(x1,y1),B(x2,y2),且x1x2,則 = .,答案 -2,解析 f(x)= 與二次函數g(x)=ax2+bx的圖象有且僅有2個不同公共點等價于方程 =ax2+bx有 兩個不同實根, 即ax3+bx2-2=0有兩個不同實根x1,x2,且x1x20, 設ax3+bx2-2=a(x-x1)2(x-x2), 或ax3+bx2-2=a(x-x1)(x-x2)2, 對于,等式兩邊展開可得 b=a(-2x1-x2), +2x1x2=0,-a x2=-2. 故x1+2x2=0,又x1x2,所以x20且a0,所以x20,矛盾. 對于,等式兩邊展開可得 b=a(-x1-2x2), +2x1x2=0,-ax1 =-2. 2x1+x2=0,x2=-2x1, = =-2.,2.(2019淮安五校聯考,14)定義在R上的函數f(x)=ax3+bx2+cx(a0)的單調增區間為(-1,1),若方 程3af(x)2+2bf(x)+c=0恰有6個不同的實根,則實數a的取值范圍是 .,答案,解析 對f(x)求導得f (x)=3ax2+2bx+c,因為f(x)的單調增區間為(-1,1),所以-1,1為f (x)=0的兩根, 所以 3af(x)2+2bf(x)+c=0恰有6個不同實根等價于f(x)=1和f(x)=-1各有3個不同實根,所 以 即 所以a- .,思路點撥 令t=f(x),得到3at2+2bt+c=0,原方程有6個不同的實數根,說明y=t與y=f(x)的圖象有6 個不同的交點,根據函數f(x)的單調區間為(-1,1)解出 容易得到3at2+2bt+c=0有兩個根 為-1,和1,從而得到對于y=1或y=-1,與y=f(x)的圖象都必須有三個交點,從而得到解決.,3.(2019七大市三模,13)已知函數f(x)=x2-2x+3a,g(x)= .若對任意x10,3,總存在x22,3,使 得|f(x1)|g(x2)成立,則實數a的值為 .,答案 -,解析 對任意x10,3,存在x22,3,使得|f(x1)|g(x2),則|f(x1)|g(x)max, 易知g(x)在2,3上單調遞減,g(x)max=2. 對任意的x10,3,|f(x1)|2, 即|x2-2x+3a|2在0,3上恒成立. 即-2x2-2x+3a2, 即f(x)min-2, f(x)max2, 則 解得a=- .,4.(2019無錫期中,14)已知函數g(x)=kx+1在(2,+)上的零點為x1,函數f(x)=kx2+4x-4在(0,2上的 零點為x2則 + 的取值范圍為 .,答案,解析 由題意得kx1+1=0k+ =0 =-k , 所以- k0. k +4x2-4=0- + +k=0 = (負值舍去), + =-k+ = . 令t= ,因為- k0,所以 t1, g(t)= + = = =- + , 所以g(t)在 上是減函數, 又g(1)=1,g = , 所以 + 的取值范圍為 .,5.(2019揚州中學檢測,14)已知函數f(x)= 記A=x|f(x)=0,若A(-,2),則 實數a的取值范圍為 .,答案,解析 由題意得函數f(x)=x2-|x+a|+2a在(-,2)上存在零點,所以方程x2=|x+a|-2a在(-,2)上有 根,所以函數g(x)=x2與h(x)=|x+a|-2a的圖象的交點的橫坐標在(-,2)上, 函數h(x)=|x+a|-2a的圖象為頂點(-a,-2a)在直線y=2x上移動的折線, 如圖所示,可得2a ,即a , 所以實數a的取值范圍是 .,6.(2019南京六校聯考,14)已知函數f(x)=x2-2ax+2a-1.若對任意的a(0,3),存在x00,4,使得t| f(x0)|成立,則實數t的取值范圍是 .,答案 t3,解析 f(x)=x2-2ax+2a-1的對稱軸為直線x=a,且a(0,3), 函數f(x)=x2-2ax+2a-1在0,a上是減函數,在a,3上是增函數, 函數f(x)=x2-2ax+2a-1在0,4上的最小值為f(a)=-(a-1)2(-4,0. 當2a3時,函數f(x)