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文檔簡介
第2章 時域離散信號和系統的頻域分析,數字信號處理課程郵箱 E-mail: auto_redsp_2013163.com Password: dsp2013,本章主要內容及重點,2.1 引言 2.2 序列的傅里葉變換的定義及性質(重點) 2.3 周期序列的離散傅里葉級數及傅里葉變換表示式 2.4 時域離散信號傅里葉變換與模擬信號傅里葉變換的關系 2.5 序列的Z變換(重點) 2.6 利用Z變換分析信號和系統的頻域特性,2.1 引言,信號和系統的分析方法有兩種,即時域分析方法和頻率分析方法。 在模擬領域中,信號一般用連續時間變量t的函數表示,系統則用微分方程描述。 為了在頻率域進行分析,用拉普拉斯變換和傅里葉變換將時間域函數轉換到頻率域。 在數字信號處理中,信號用序列表示,其自變量僅取整數, 非整數時無定義,而系統則用差分方程描述。頻域分析是用Z變換或傅里葉變換。 數字信號處理的傅里葉變換指的是序列的傅里葉變換。它和模擬域中的傅里葉變換是不一樣的,但都是線性變換,很多性質是類似的。 本章學習序列的傅里葉變換和Z變換,以及利用Z變換分析系統和信號頻域特性。本章內容是數字信號處理的基礎。,2.2 序列的傅里葉變換的定義及性質,2.2.1 序列傅里葉變換的定義 定義 為序列x(n)的傅里葉變換,可以用FT(Fourier Transform)縮寫字母表示。 FT成立的充分必要條件是序列x(n)滿足絕對可和的條件,即滿足下式:,(2.2.1),(2.2.2),序列的傅里葉反變換(IFT, Inverse Fourier Transform) 定義為:,(2.2.3),(2.2.1)和(2.2.3)式組成一對傅里葉變換公式。 (2.2.2)式是FT存在的充分必要條件 如果引入沖激函數,一些絕對不可和的序列,例如周期序列,其傅里葉變換可用沖激函數的形式表示出來(后面的章節會介紹)。,例 2.2.1 設x(n)=RN(n), 求x(n)的FT,解,(2.2.4),設N=4, 幅度與相位隨變化曲線如圖2.2.1所示。,圖 2.2.1 R4(n)傅里葉變換之后頻域的幅度與相位曲線,2.2.2 序列傅里葉變換的性質 1. FT的周期性 在定義(2.2.1)式中, n取整數, 因此下式成立,M為整數 (2.2.5),因此序列的傅里葉變換X(ej)是頻率的周期函數,周期是2。,圖 2.2.2 cosn的波形,序列的傅里葉變換的高頻與低頻: =0,2 ,4,表示低頻 =0, ,3,表示高頻 由于周期性,一般只分析- + 或者 0 2 之間的頻譜就行了,變化小,序列有低頻分量,變化大,序列有高頻分量,2. 線性,那么,設,式中a, b為常數 3. 時移與頻移 設X(e j)=FTx(n), 那么,(2.2.6),(2.2.7),(2.2.8),* 4. FT的對稱性(了解) 在學習FT的對稱性以前,先介紹什么是共軛對稱與共軛反對稱以及它們的性質。設序列xe(n)滿足下式: xe(n)=x*e(-n) (2.2.9) 則稱xe(n)為共軛對稱序列。,5.時域卷積定理 設y(n)=x(n)*h(n), 則 Y(e j)=X(e j)H(e j) (2.2.32) 該定理說明,兩序列卷積的FT,服從相乘的關系。 對于線性時不變系統輸出的FT等于輸入信號的FT乘以單位脈沖響應FT。 因此求系統的輸出信號,可以在時域用卷積公式(1.3.7)計算,也可以在頻域按照(2.2.32)式,求出輸出的FT,再作逆FT求出輸出信號。,6. 頻域卷積定理 設y(n)=x(n)h(n) ,則 (2.2.33) 證: 交換順序:,7.帕斯維爾(Parseval)定理 證: 帕斯維爾定理告訴我們,信號時域的總能量等于頻域的總能量。要說明一下,這里頻域總能量是指|X(ej)|2在一個周期中的積分再乘以1/(2)。,(2.2.34),一致收斂,表 2.2.1 序列傅里葉變換的性質,2.3 周期序列的離散傅里葉級數及傅里葉變換表示式,2.3.1周期序列的離散傅里葉級數 設 是以N為周期的周期序列,由于是周期性的,可以展成傅里葉級數,(2.3.1),式中ak是傅里葉級數的系數。為求系數ak,將上式兩邊乘以 ,并對n在一個周期N中求和,因此 上式中,k和n均取整數,當k或者n變化時, 是周期為N的周期函數: 即ak也是周期序列:ak=ak+lN,(2.3.2),(2.3.3),上式中 也是一個以N為周期的周期序列,稱為 的離散傅里葉級數,用DFS(Discrete Fourier Series)表示。如對(2.3.4)式兩端乘以 ,并對k在一個周期中求和, 得到 將(2.3.4)式和(2.3.5)式重寫如下:,(2.3.5),(2.3.6),(2.3.7),(2.3.6)式和(2.3.7)式稱為一對DFS。(2.3.5)式表明將周期序列分解成N次諧波,第k個諧波頻率為k=(2/N)k,k=0,1,2,N-1。一個周期序列可以用其DFS表示它的頻譜分布規律。,例 2.3.1 設x(n)=R4(n),將x(n)以N=8為周期,進行周期延拓,得到如圖2.3.1(a)所示的周期序列 ,周期為8,求 的DFS。 解 按照(2.3.4)式 其幅度特性如圖2.3.1(b)所示。,圖 2.3.1 例2.3.1圖,2.3.2 周期序列的傅里葉變換表示式 在模擬系統中, ,其傅里葉變換是在=0處的單位沖激函數, 強度是2,即 對于時域離散系統中, ,2/0為有理數,,(2.3.8),(2.3.9),上式表示復指數序列的FT是在02r處的單位沖激函數,強度為2,如圖2.3.2所示。 對于一般周期序列 的FT如下式,圖 2.3.2 的FT,表 2.3.2 基本序列的傅里葉變換,例2.3.2 求例2.3.1中周期序列的FT。 解 將例2.3.1中得到的 代入(2.3.10)式中得到 其幅頻特性如圖2.3.3所示。,圖 2.3.3 例2.3.2圖,分析: 對比圖2.3.1,對于同一個周期信號: 其DFS和FT分別取模的形狀是一樣的; 不同的是FT用單位沖激函數表示(用帶箭頭的豎線表示)。 因此周期序列的頻譜分布用其DFS或者FT表示都可以,但畫圖時應注意單位沖激函數的畫法。,例 2.3.3 令 ,2/0為有理數,求其FT。 解:將 用歐拉公式展開 按照(2.3.9)式,其FT推導如下: 上式表明cos0n的FT,是在=0處的單位沖激函數,強度為,且以2為周期進行延拓,如圖2.3.4所示。,(2.3.11),圖 2.3.4 cos0n的FT,2.4 時域離散信號的傅里葉變換與模擬 信號傅里葉變換之間的關系,模擬信號xa(t)的一對傅里葉變換式用下面公式描述: 這里t與的定義域均在之間。從模擬信號幅度取值考慮,在第一章中遇到兩種信號連續信號和采樣信號,用(1.5.2)式描述它們之間的關系:,(1.5.2),采樣信號 和連續信號xa(t),由采樣定理(1.5.5)式描述它們各自傅里葉變換間的關系: 如果時域離散信號(或稱序列)x(n),是由對模擬信號xa(t)采樣產生的,即: x(n)=xa(nT) (2.4.3) 上式中n取整數,否則無定義。x(n)的一對傅里葉變換用(2.2.1)式和(2.2.4)式表示:,(2.2.4),(1.5.5), X(ej)與Xa(j)、數字頻率與模擬頻率(f)間關系分析,已知x(n)=xa(nT) ,將t=nT代入(2.4.2)式中,得到,(2.4.4),(2.4.5),(2.4.6),(2.4.7),x(n),FT,X(ej),(2.4.1)上面的推導,X(ejT),FT,xa(t),采樣,(1.5.5)抽樣定理,用采樣信號頻域表達式來表示X(ej),FT,令=T,模擬采樣信號 的FT 和離散信號x(n)的FT相似,(2.4.7)式就是序列的傅里葉變換X(ej)和模擬信號xa(t)的傅里葉變換Xa(j)之間的關系式,與(1.5.5)式對比得到以下結論: 序列的傅里葉變換和模擬信號的傅里葉變換之間的關系,與采樣信號、模擬信號分別的FT之間的關系一樣,都是Xa(j)以周期s=2/T進行周期延拓,頻率軸上取值的對應關系用(1.2.10)式= T表示。 *在一些文獻中經常使用歸一化頻率: 各歸一化頻率皆無量綱,刻度相同。模擬頻率與數字頻率間的定標關系如圖2.4.1所示。,圖 2.4.1 模擬頻率與數字頻率之間的定標關系,2.5 序列的Z變換,2.5.1 Z變換的定義 序列x(n)的Z變換定義為 Z變換可記為ZT(Z Transform),(2.5.1),式中z是一個復變量, 它所在的復平面稱為z平面。 注意在定義中, 對n求和是在之間求和, 可以稱為雙邊Z變換。 還有一種稱為單邊Z變換的定義, 如下式,(2.5.2),使(2.5.3)式成立, Z變量取值的域稱為收斂域。一 般收斂域用環狀域表示,這種單邊Z變換的求和限是從零到無限大, 因此對于因果序列, 用兩種Z變換定義計算出的結果是一樣的。如不另外說明,均用雙邊Z變換對信號進行分析和變換。,(2.5.3),(2.5.1)式Z變換存在的條件是等號右邊級數收斂, 要求級數絕對可和, 即,圖 2.5.1 Z變換的收斂域,常見Z變換的結果是一個有理函數,用兩個多項式之比表示 分子多項式P(z)的根是X(z)的零點,分母多項式Q(z)的根是X(z)的極點。在極點處Z變換不存在,因此收斂域中沒有極點,收斂域總是用極點限定其邊界。 對比序列的傅里葉變換定義(2.2.1)式 很容易得到FT和ZT之間的關系,用下式表示:,(2.5.4),式中z=ej表示在z平面上r=1的圓,該圓稱為單位圓。(2.5.4)式表明單位圓上的Z變換就是序列的傅里葉變換。如果已知序列的Z變換,可用(2.5.4)式,很方便的求出序列的FT,條件是收斂域中包含單位圓。 例 2.5.1 x(n)=u(n),求其Z變換。 解 X(z)存在的條件是|z-1|1,,|z|1,由x(z)表達式表明,極點是z=1,單位圓上的Z變換不存在,或者說收斂域不包含單位圓。因此其傅里葉變換不存在,更不能用(2.5.4)式求FT。 該序列的FT不存在,但如果引進奇異函數(),其傅里葉變換可以表示出來(見p43表2.3.2)。 該例同時說明就算一個序列的傅里葉變換不存在,但是它的Z變換在一定收斂域內是存在的。,2.5.2 序列特性對收斂域的影響 序列的特性決定其Z變換收斂域,了解序列特性與收斂的一些一般關系,對使用Z變換是很有幫助的。 1. 有限長序列 如序列x(n)滿足下式: x(n) n1nn2 x(n)= 0 其它,即序列x(n)從n1到n2序列值不全為零,此范圍之外序列值為零,這樣的序列稱為有限長序列。 其Z變換為,設x(n)為有界序列,由于是有限項求和,因果序列,n10時, 00時, 0|z|,除0與兩點是否收斂與n1、n2取值有關外,整個z平面均收斂。注意z-n項對收斂域的影響 如果n10,則收斂域不包括z=0點; 如果是因果序列,收斂域包括z=點,不包括z=0點。 具體有限長序列的收斂域表示如下:,這是一個因果的有限長序列,因此收斂域為0z。但由結果的分母可以看出似乎z=1是X(z)的極點,但同時分子多項式在z=1時也有一個零點,極零點對消。因此z=1并非極點。,例 2.5.2求x(n)=RN(n)的Z變換及其收斂域 解,2. 右序列 右序列是在nn1時,序列值不全為零,而其它nn1,序列值全為零。,第一項為有限長序列,設n1-1,其收斂域為0|z|。 第二項為因果序列,其收斂域為Rx-|z|,Rx-是第二項最小的收斂半徑。 將兩收斂域相與,其收斂域為Rx-|z|。 如果是因果序列(即n10),收斂域定為Rx-|z|。,例 2.5.3求x(n)=anu(n)的Z變換及其收斂域 解,必須滿足等比|q|=|az-1|a|。 3. 左序列 左序列是在nn2時,序列值不全為零,而在nn2, 序列值全為零的序列。 左序列的Z變換表示為,如果n20,則收斂域為0|z| Rx+。 例 2.5.4 求x(n)=-anu(-n-1)的Z變換及其收斂域。 解,X(z)存在要求|a-1z|1, 即收斂域為|z|a|,4. 雙邊序列 一個雙邊序列可以看作一個左序列和一個右序列之和, 其Z變換表示為,X(z)的收斂域是X1(z)和X2(z)收斂域的公共收斂區域。 如果Rx+Rx-,其收斂域為Rx-|z|Rx+,這是一個環狀域,如果Rx+Rx-,兩個收斂域沒有公共區域,X(z)沒有收斂域,因此X(z)不存在。,例 2.5.5 x(n)=a|n|,a為實數,求x(n)的Z變換及其收斂域。 解,第一部分收斂域為|az|a|。如果|a|1,兩部分的公共收斂域為|a|z|a|-1,其Z變換如下式:,|a|z|a|-1,如果|a|1,則無公共收斂域,因此X(z)不存在。 當0a1時,x(n)的波形及X(z)的收斂域如圖2.5.2所示。,圖 2.5.2 例2.5.5圖,注: 1. x(n)的Z變換及其收斂域是“捆綁”的整體 2. 收斂域中無極點,收斂域總是以極點為界,2.5.3 逆Z變換 已知序列的Z變換及其收斂域,求序列稱為逆Z變換。序列的Z變換及逆Z變換表示如下:,(2.5.5),積分路徑c: 1. X(z)收斂域中; 2. 包圍原點; 3. 逆時針圍繞;,1. 用留數定理求逆Z變換 逆Z變換 根據留數定理,(2.5.6),逆Z變換則是圍線c內所有的極點留數之和。 式中 表示被積函數X(z)zn-1在極點z=zk的留數。 (1) 如果zk是單階極點,則根據留數定理,(2.5.7),由(2.5.8)式表明,對于N階極點,需要求N-1次導數,這是比較麻煩的。 如果c內有多階極點,而c外沒有多階極點,可以根據留數輔助定理改求c外的所有極點留數之和,使問題簡單化。 留數輔助定理:設被積函數用F(z)表示, 即,(2) 如果zk是N階極點,則根據留數定理,(2.5.8),留數輔助定理: F(z)在z平面上有N個極點,在收斂域內的封閉曲線c將z平面上極點分成兩部分:一部分是c內極點,設有N1個極點,用z1k表示;另一部分是c外極點,有N2個,N=N1+N2,用z2k表示。根據留數輔助定理下式成立:,(2.5.9),注意:(2.5.9)式成立的條件是F(z)的分母階次比分子 階次必須高2階以上。設X(z)=P(z)/Q(z),P(z)與Q(z) 分別是M與N階多項式。(2.5.9)式成立的條件是,N-(M+n-1)2 因此要求 N-M-n1 (2.5.10) 如果(2.5.10)式滿足,c圓內極點中有多階極點,而c圓外極點沒有多階的,可以按照(2.5.9)式,改求c圓外極點留數之和,最后加一個負號。 例2.5.6 已知X(z)=(1-az-1)-1,|z|a,求其逆Z變換x(n)。 解,分子階次,分母階次,z=a; z=0;(當n0時)共二個極點 其中z=0極點和n的取值有關。n0時,n=0不是極點;n0時,z=0是一個n階極點。因此分成n0和n0兩種情況求x(n)。 (1)n0 時,,為了用留數定理求解,先找出F(z)的極點,極點有:,n0時,增加z=0的n階極點,不易求留數,采用留數輔助定理求解,檢查(2.5.10)式是否滿足,此處n0, 只要N-M0,(2.5.10)式就滿足。圓外無極點,x(n)=0。 綜合n0 和n0 兩種情況的結構,有x(n)=anu(n),圖 2.5.4 例2.5.6中n0時F(z)極點分布,2. 求逆Z變換:部分分式展開法 對于大多數單階極點的序列,常常用這種部分分式展開法求逆Z變換。 設x(n)的Z變換X(z)是有理函數,分子多項式是M階,分母多項式是N階 方法: 1.將X(z)展成一些簡單的常用的部分分式之和 2. 通過查表(參考p54表2.5.1)求得各部分的逆變換 3. 再相加即得到逆Z變換結果-序列x(n),表2.5.1 常見序列Z變換,補充:一些序列的Z變換,觀察上式,X(z)/z在z=0的極點留數就是系數A0,在z=zm的極點留數就是系數Am。,(2.5.11),(2.5.12),(2.5.13),(2.5.14),求出Am系數(m=0,1,2,N)后,查p54表2.5.1很容易示求得x(n),部分分式展開方法:利用留數進行分解 設X(z)只有N個一階極點,可展成,例2.5.10 已知 ,求逆Z變換。,解,收斂域為22 |z|3,第一部分極點是z=2,因此收斂域應取|z|2。 第二部分極點是z=-3,因此收斂域應取|z|3。 查表2.5.1得到 x(n)=2nu(n)+(-3)nu(-n-1),二者的交集,2.5.4 Z 變換的性質和定理 Z變換有許多重要的性質和定理,下面進行介紹。 1.線性 設 X(z)=ZTx(n),Rx-|z|Rx+ Y(z)=ZTy(n), Ry- |z| Ry+ m(n)=a x(n) +b y(n) 則 M(
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