第2章 時域離散信號和系統的頻域分析,數字信號處理課程郵箱 E-mail: auto_redsp_2013163.com Password: dsp2013,本章主要內容及重點,2.1 引言 2.2 序列的傅里葉變換的定義及性質（重點） 2.3 周期序列的離散傅里葉級數及傅里葉變換表示式 2.4 時域離散信號傅里葉變換與模擬信號傅里葉變換的關系 2.5 序列的Z變換（重點） 2.6 利用Z變換分析信號和系統的頻域特性,2.1 引言,信號和系統的分析方法有兩種，即時域分析方法和頻率分析方法。 在模擬領域中，信號一般用連續時間變量t的函數表示，系統則用微分方程描述。 為了在頻率域進行分析，用拉普拉斯變換和傅里葉變換將時間域函數轉換到頻率域。 在數字信號處理中，信號用序列表示，其自變量僅取整數， 非整數時無定義，而系統則用差分方程描述。頻域分析是用Z變換或傅里葉變換。 數字信號處理的傅里葉變換指的是序列的傅里葉變換。它和模擬域中的傅里葉變換是不一樣的，但都是線性變換，很多性質是類似的。 本章學習序列的傅里葉變換和Z變換，以及利用Z變換分析系統和信號頻域特性。本章內容是數字信號處理的基礎。,2.2 序列的傅里葉變換的定義及性質,2.2.1 序列傅里葉變換的定義 定義 為序列x(n)的傅里葉變換，可以用FT(Fourier Transform)縮寫字母表示。 FT成立的充分必要條件是序列x(n)滿足絕對可和的條件，即滿足下式：,(2.2.1),(2.2.2),序列的傅里葉反變換(IFT, Inverse Fourier Transform) 定義為：,(2.2.3),(2.2.1)和(2.2.3)式組成一對傅里葉變換公式。 (2.2.2)式是FT存在的充分必要條件 如果引入沖激函數，一些絕對不可和的序列，例如周期序列，其傅里葉變換可用沖激函數的形式表示出來（后面的章節會介紹）。,例 2.2.1 設x(n)=RN(n)， 求x(n)的FT,解,(2.2.4),設N=4， 幅度與相位隨變化曲線如圖2.2.1所示。,圖 2.2.1 R4(n)傅里葉變換之后頻域的幅度與相位曲線,2.2.2 序列傅里葉變換的性質 1. FT的周期性 在定義(2.2.1)式中， n取整數， 因此下式成立,M為整數 (2.2.5),因此序列的傅里葉變換X(ej)是頻率的周期函數，周期是2。,圖 2.2.2 cosn的波形,序列的傅里葉變換的高頻與低頻： =0，2 ，4，表示低頻 =0， ，3，表示高頻 由于周期性，一般只分析- + 或者 0 2 之間的頻譜就行了,變化小，序列有低頻分量,變化大，序列有高頻分量,2. 線性,那么,設,式中a, b為常數 3. 時移與頻移 設X(e j)=FTx(n)， 那么,(2.2.6),(2.2.7),(2.2.8),* 4. FT的對稱性（了解） 在學習FT的對稱性以前，先介紹什么是共軛對稱與共軛反對稱以及它們的性質。設序列xe(n)滿足下式： xe(n)=x*e(-n) (2.2.9) 則稱xe(n)為共軛對稱序列。,5.時域卷積定理 設y(n)=x(n)*h(n), 則 Y(e j)=X(e j)H(e j) (2.2.32) 該定理說明，兩序列卷積的FT，服從相乘的關系。 對于線性時不變系統輸出的FT等于輸入信號的FT乘以單位脈沖響應FT。 因此求系統的輸出信號，可以在時域用卷積公式(1.3.7)計算，也可以在頻域按照(2.2.32)式，求出輸出的FT，再作逆FT求出輸出信號。,6. 頻域卷積定理 設y(n)=x(n)h(n) ，則 (2.2.33) 證： 交換順序：,7.帕斯維爾(Parseval)定理 證： 帕斯維爾定理告訴我們，信號時域的總能量等于頻域的總能量。要說明一下，這里頻域總能量是指|X(ej)|2在一個周期中的積分再乘以1/(2)。,(2.2.34),一致收斂,表 2.2.1 序列傅里葉變換的性質,2.3 周期序列的離散傅里葉級數及傅里葉變換表示式,2.3.1周期序列的離散傅里葉級數 設 是以N為周期的周期序列，由于是周期性的，可以展成傅里葉級數,(2.3.1),式中ak是傅里葉級數的系數。為求系數ak，將上式兩邊乘以 ，并對n在一個周期N中求和,因此 上式中，k和n均取整數，當k或者n變化時， 是周期為N的周期函數： 即ak也是周期序列：ak=ak+lN,(2.3.2),(2.3.3),上式中 也是一個以N為周期的周期序列，稱為 的離散傅里葉級數，用DFS(Discrete Fourier Series)表示。如對(2.3.4)式兩端乘以 ，并對k在一個周期中求和， 得到 將(2.3.4)式和(2.3.5)式重寫如下：,(2.3.5),(2.3.6),(2.3.7),(2.3.6)式和(2.3.7)式稱為一對DFS。(2.3.5)式表明將周期序列分解成N次諧波，第k個諧波頻率為k=(2/N)k,k=0,1,2,N-1。一個周期序列可以用其DFS表示它的頻譜分布規律。,例 2.3.1 設x(n)=R4(n)，將x(n)以N=8為周期，進行周期延拓，得到如圖2.3.1(a)所示的周期序列 ，周期為8，求 的DFS。 解 按照(2.3.4)式 其幅度特性如圖2.3.1(b)所示。,圖 2.3.1 例2.3.1圖,2.3.2 周期序列的傅里葉變換表示式 在模擬系統中， ，其傅里葉變換是在=0處的單位沖激函數， 強度是2，即 對于時域離散系統中， ，2/0為有理數，,(2.3.8),(2.3.9),上式表示復指數序列的FT是在02r處的單位沖激函數，強度為2，如圖2.3.2所示。 對于一般周期序列 的FT如下式,圖 2.3.2 的FT,表 2.3.2 基本序列的傅里葉變換,例2.3.2 求例2.3.1中周期序列的FT。 解 將例2.3.1中得到的 代入(2.3.10)式中得到 其幅頻特性如圖2.3.3所示。,圖 2.3.3 例2.3.2圖,分析： 對比圖2.3.1，對于同一個周期信號： 其DFS和FT分別取模的形狀是一樣的； 不同的是FT用單位沖激函數表示(用帶箭頭的豎線表示)。 因此周期序列的頻譜分布用其DFS或者FT表示都可以，但畫圖時應注意單位沖激函數的畫法。,例 2.3.3 令 ，2/0為有理數，求其FT。 解：將 用歐拉公式展開 按照(2.3.9)式，其FT推導如下： 上式表明cos0n的FT，是在=0處的單位沖激函數，強度為，且以2為周期進行延拓，如圖2.3.4所示。,(2.3.11),圖 2.3.4 cos0n的FT,2.4 時域離散信號的傅里葉變換與模擬 信號傅里葉變換之間的關系,模擬信號xa(t)的一對傅里葉變換式用下面公式描述： 這里t與的定義域均在之間。從模擬信號幅度取值考慮，在第一章中遇到兩種信號連續信號和采樣信號，用(1.5.2)式描述它們之間的關系：,(1.5.2),采樣信號 和連續信號xa(t)，由采樣定理(1.5.5)式描述它們各自傅里葉變換間的關系： 如果時域離散信號(或稱序列)x(n)，是由對模擬信號xa(t)采樣產生的，即： x(n)=xa(nT) (2.4.3) 上式中n取整數，否則無定義。x(n)的一對傅里葉變換用(2.2.1)式和(2.2.4)式表示：,(2.2.4),(1.5.5), X(ej)與Xa(j)、數字頻率與模擬頻率(f)間關系分析,已知x(n)=xa(nT) ，將t=nT代入(2.4.2)式中，得到,(2.4.4),(2.4.5),(2.4.6),(2.4.7),x(n),FT,X(ej),(2.4.1)上面的推導,X(ejT),FT,xa(t),采樣,(1.5.5)抽樣定理，用采樣信號頻域表達式來表示X(ej),FT,令=T,模擬采樣信號 的FT 和離散信號x(n)的FT相似,(2.4.7)式就是序列的傅里葉變換X(ej)和模擬信號xa(t)的傅里葉變換Xa(j)之間的關系式，與(1.5.5)式對比得到以下結論： 序列的傅里葉變換和模擬信號的傅里葉變換之間的關系，與采樣信號、模擬信號分別的FT之間的關系一樣，都是Xa(j)以周期s=2/T進行周期延拓，頻率軸上取值的對應關系用(1.2.10)式= T表示。 *在一些文獻中經常使用歸一化頻率: 各歸一化頻率皆無量綱，刻度相同。模擬頻率與數字頻率間的定標關系如圖2.4.1所示。,圖 2.4.1 模擬頻率與數字頻率之間的定標關系,2.5 序列的Z變換,2.5.1 Z變換的定義 序列x(n)的Z變換定義為 Z變換可記為ZT（Z Transform）,(2.5.1),式中z是一個復變量， 它所在的復平面稱為z平面。 注意在定義中， 對n求和是在之間求和， 可以稱為雙邊Z變換。 還有一種稱為單邊Z變換的定義， 如下式,(2.5.2),使(2.5.3)式成立， Z變量取值的域稱為收斂域。一 般收斂域用環狀域表示,這種單邊Z變換的求和限是從零到無限大， 因此對于因果序列， 用兩種Z變換定義計算出的結果是一樣的。如不另外說明，均用雙邊Z變換對信號進行分析和變換。,(2.5.3),(2.5.1)式Z變換存在的條件是等號右邊級數收斂， 要求級數絕對可和， 即,圖 2.5.1 Z變換的收斂域,常見Z變換的結果是一個有理函數，用兩個多項式之比表示 分子多項式P(z)的根是X(z)的零點，分母多項式Q(z)的根是X(z)的極點。在極點處Z變換不存在，因此收斂域中沒有極點，收斂域總是用極點限定其邊界。 對比序列的傅里葉變換定義(2.2.1)式 很容易得到FT和ZT之間的關系，用下式表示：,(2.5.4),式中z=ej表示在z平面上r=1的圓，該圓稱為單位圓。(2.5.4)式表明單位圓上的Z變換就是序列的傅里葉變換。如果已知序列的Z變換，可用(2.5.4)式，很方便的求出序列的FT，條件是收斂域中包含單位圓。 例 2.5.1 x(n)=u(n)，求其Z變換。 解 X(z)存在的條件是|z-1|1，,|z|1,由x(z)表達式表明，極點是z=1，單位圓上的Z變換不存在，或者說收斂域不包含單位圓。因此其傅里葉變換不存在，更不能用(2.5.4)式求FT。 該序列的FT不存在，但如果引進奇異函數()，其傅里葉變換可以表示出來(見p43表2.3.2)。 該例同時說明就算一個序列的傅里葉變換不存在，但是它的Z變換在一定收斂域內是存在的。,2.5.2 序列特性對收斂域的影響 序列的特性決定其Z變換收斂域，了解序列特性與收斂的一些一般關系，對使用Z變換是很有幫助的。 1. 有限長序列 如序列x(n)滿足下式： x(n) n1nn2 x(n)= 0 其它,即序列x(n)從n1到n2序列值不全為零，此范圍之外序列值為零，這樣的序列稱為有限長序列。 其Z變換為,設x(n)為有界序列，由于是有限項求和,因果序列,n10時， 00時， 0|z|,除0與兩點是否收斂與n1、n2取值有關外，整個z平面均收斂。注意z-n項對收斂域的影響 如果n10，則收斂域不包括z=0點； 如果是因果序列，收斂域包括z=點，不包括z=0點。 具體有限長序列的收斂域表示如下：,這是一個因果的有限長序列，因此收斂域為0z。但由結果的分母可以看出似乎z=1是X(z)的極點，但同時分子多項式在z=1時也有一個零點，極零點對消。因此z=1并非極點。,例 2.5.2求x(n)=RN(n)的Z變換及其收斂域 解,2. 右序列 右序列是在nn1時，序列值不全為零，而其它nn1，序列值全為零。,第一項為有限長序列，設n1-1，其收斂域為0|z|。 第二項為因果序列，其收斂域為Rx-|z|，Rx-是第二項最小的收斂半徑。 將兩收斂域相與，其收斂域為Rx-|z|。 如果是因果序列(即n10)，收斂域定為Rx-|z|。,例 2.5.3求x(n)=anu(n)的Z變換及其收斂域 解,必須滿足等比|q|=|az-1|a|。 3. 左序列 左序列是在nn2時，序列值不全為零，而在nn2， 序列值全為零的序列。 左序列的Z變換表示為,如果n20，則收斂域為0|z| Rx+。 例 2.5.4 求x(n)=-anu(-n-1)的Z變換及其收斂域。 解,X(z)存在要求|a-1z|1， 即收斂域為|z|a|,4. 雙邊序列 一個雙邊序列可以看作一個左序列和一個右序列之和， 其Z變換表示為,X(z)的收斂域是X1(z)和X2(z)收斂域的公共收斂區域。 如果Rx+Rx-，其收斂域為Rx-|z|Rx+，這是一個環狀域，如果Rx+Rx-，兩個收斂域沒有公共區域，X(z)沒有收斂域，因此X(z)不存在。,例 2.5.5 x(n)=a|n|，a為實數，求x(n)的Z變換及其收斂域。 解,第一部分收斂域為|az|a|。如果|a|1，兩部分的公共收斂域為|a|z|a|-1，其Z變換如下式：,|a|z|a|-1,如果|a|1，則無公共收斂域，因此X(z)不存在。 當0a1時，x(n)的波形及X(z)的收斂域如圖2.5.2所示。,圖 2.5.2 例2.5.5圖,注： 1. x(n)的Z變換及其收斂域是“捆綁”的整體 2. 收斂域中無極點，收斂域總是以極點為界,2.5.3 逆Z變換 已知序列的Z變換及其收斂域，求序列稱為逆Z變換。序列的Z變換及逆Z變換表示如下：,(2.5.5),積分路徑c： 1. X(z)收斂域中； 2. 包圍原點； 3. 逆時針圍繞；,1. 用留數定理求逆Z變換 逆Z變換 根據留數定理,(2.5.6),逆Z變換則是圍線c內所有的極點留數之和。 式中 表示被積函數X(z)zn-1在極點z=zk的留數。 (1) 如果zk是單階極點，則根據留數定理,(2.5.7),由(2.5.8)式表明，對于N階極點，需要求N-1次導數，這是比較麻煩的。 如果c內有多階極點，而c外沒有多階極點，可以根據留數輔助定理改求c外的所有極點留數之和，使問題簡單化。 留數輔助定理：設被積函數用F(z)表示， 即,(2) 如果zk是N階極點，則根據留數定理,(2.5.8),留數輔助定理： F(z)在z平面上有N個極點，在收斂域內的封閉曲線c將z平面上極點分成兩部分：一部分是c內極點，設有N1個極點，用z1k表示；另一部分是c外極點，有N2個，N=N1+N2，用z2k表示。根據留數輔助定理下式成立：,(2.5.9),注意：(2.5.9)式成立的條件是F(z)的分母階次比分子 階次必須高2階以上。設X(z)=P(z)/Q(z)，P(z)與Q(z) 分別是M與N階多項式。(2.5.9)式成立的條件是,N-(M+n-1)2 因此要求 N-M-n1 (2.5.10) 如果(2.5.10)式滿足，c圓內極點中有多階極點，而c圓外極點沒有多階的，可以按照(2.5.9)式，改求c圓外極點留數之和，最后加一個負號。 例2.5.6 已知X(z)=(1-az-1)-1，|z|a，求其逆Z變換x(n)。 解,分子階次,分母階次,z=a； z=0;(當n0時)共二個極點 其中z=0極點和n的取值有關。n0時，n=0不是極點；n0時，z=0是一個n階極點。因此分成n0和n0兩種情況求x(n)。 （1）n0 時，,為了用留數定理求解，先找出F(z)的極點，極點有：,n0時，增加z=0的n階極點，不易求留數，采用留數輔助定理求解，檢查(2.5.10)式是否滿足，此處n0， 只要N-M0，(2.5.10)式就滿足。圓外無極點，x(n)=0。 綜合n0 和n0 兩種情況的結構，有x(n)=anu(n),圖 2.5.4 例2.5.6中n0時F(z)極點分布,2. 求逆Z變換：部分分式展開法 對于大多數單階極點的序列，常常用這種部分分式展開法求逆Z變換。 設x(n)的Z變換X(z)是有理函數，分子多項式是M階，分母多項式是N階 方法： 1.將X(z)展成一些簡單的常用的部分分式之和 2. 通過查表(參考p54表2.5.1)求得各部分的逆變換 3. 再相加即得到逆Z變換結果-序列x(n),表2.5.1 常見序列Z變換,補充：一些序列的Z變換,觀察上式，X(z)/z在z=0的極點留數就是系數A0，在z=zm的極點留數就是系數Am。,(2.5.11),(2.5.12),(2.5.13),(2.5.14),求出Am系數(m=0,1,2,N)后，查p54表2.5.1很容易示求得x(n),部分分式展開方法：利用留數進行分解 設X(z)只有N個一階極點，可展成,例2.5.10 已知 ，求逆Z變換。,解,收斂域為22 |z|3,第一部分極點是z=2,因此收斂域應取|z|2。 第二部分極點是z=-3,因此收斂域應取|z|3。 查表2.5.1得到 x(n)=2nu(n)+(-3)nu(-n-1),二者的交集,2.5.4 Z 變換的性質和定理 Z變換有許多重要的性質和定理，下面進行介紹。 1.線性 設 X(z)=ZTx(n),Rx-|z|Rx+ Y(z)=ZTy(n), Ry- |z| Ry+ m(n)=a x(n) +b y(n) 則 M(