第2講直線與平面的位置關系選題明細表知識點方法鞏固提高A鞏固提高B位置關系判定1,2,5,91,3,4,9,10,11,15平行關系應用4,6,11,162,16垂直關系應用3,12,13,14,155,6,12,13綜合應用7,8,10,177,8,14,17鞏固提高A一、選擇題1.下列命題正確的是(C)(A)兩兩相交的三條直線可確定一個平面(B)兩條直線和同一個平面所成的角相等,則這兩條直線平行(C)過平面外一點的直線與這個平面只能相交或平行(D)和兩條異面直線都相交的兩條直線一定是異面直線解析:兩兩相交的三條直線可以交于一點,故A不正確;兩條直線和同一個平面所成的角相等,則這兩條直線也可以相交或異面,故B不正確;因為過平面外的一點的直線與平面最多只有一個公共點,所以C正確;和兩條異面直線都相交的兩條直線可以相交,如三棱錐內的一個側面上的兩條直線,故D不正確.故選C.2.設m,n是兩條不同的直線,是三個不同的平面,給出下列四個命題:若m,n,則mn;若,m,則m;若m,n,則mn;若,則.其中正確命題的序號是(A)(A)(B)(C)(D)解析:在中,由于n,因而可在內作直線bn.又因為m,所以mb,所以mn.正確;在中,因為,所以.又因為m,所以m.正確;在中,m與n可以相交或異面.錯;在中,與可以相交.錯.故選A.3. 如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側棱AA1垂直底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC中點,則下列敘述正確的是(B)(A)CC1與B1E是異面直線(B)AE與B1C1是異面直線,且AEB1C1(C)AC平面ABB1A1(D)A1C1平面AB1E解析:在三棱柱ABCA1B1C1中,側棱AA1垂直底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC中點知,因為CC1與B1E在同一個側面中,故CC1與B1E不是異面直線,故A錯誤;因為AE,B1C1為在兩個平行面中且不平行的兩條直線,故它們是異面直線,又底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC中點,故AEB1C1,故B正確;由題意知,上底面ABC是一個正三角形,故不可能AC平面ABB1A1,故C錯誤;因為A1C1所在的平面與平面AB1E相交,且A1C1與交線有公共點,故A1C1平面AB1E不正確,故D錯誤.故選B.4.在正方體ABCDA1B1C1D1中,過AC與BD1平行的平面必過(A)(A)DD1的中點(B)DD1的三等分點(C)D1C1的中點(D)A1D1的中點解析:如圖,正方體中,由于AC與BD互相平分,因此題設所作平面過DD1的中點.故選A.5.正方體的一條對角線與正方體的棱可組成n對異面直線,則n等于(C)(A)2(B)3(C)6(D)12解析:畫出正方體,做出一條對角線,結合異面直線的定義,可以判斷出有6對異面直線.故選C.6. 已知空間四邊形ABCD,M,N分別是AB,CD的中點,且AC=4,BD=6,則(A)(A)1MN5(B)2MN10(C)1MN5(D)2MN5解析:取BC的中點E,連接ME,NE,所以ME=2,NE=3,根據三角形中兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊,所以1MN5.故選A.7.如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上,且ABCD,正方體的六個面所在的平面與直線CE,EF相交的平面個數分別記為m,n,那么m+n等于(A)(A)8(B)9(C)10(D)11解析:根據線面平行的位置關系考慮,不妨設AB=CD,則將正四面體放在正方體的內部,使AB與CD重合,易得與CE相交的平面有4個.因在正四面體中,EF與CD異面且互相垂直,又因與AB互相垂直的正方體側面有兩個,所以EF與正方體六個側面中的兩個是平行關系,與另4個是相交關系,故m+n=8.8. 如圖,平面平面,=直線l,A,C是內不同的兩點,B,D是內不同的兩點,且A,B,C,D直線l,M,N分別是線段AB,CD的中點,下列判斷正確的是(B)(A)當CD=2AB時,M,N兩點不可能重合(B)M,N兩點可能重合,但此時直線AC與l不可能相交(C)當AB與CD相交,直線AC平行于l時,直線BD可以與l相交(D)當AB,CD是異面直線時,直線MN可能與l平行解析:對于A選項,當CD=2AB時,若A,B,C,D四點共面,ACBD時,則M,N兩點能重合,故A錯誤;對于B選項,若M,N兩點可能重合,則ACBD,故ACl,此時直線AC與直線l不可能相交,故B正確;對于C選項,當AB與CD相交,直線AC平行于l時,直線BD可以與l平行,故C錯誤;對于D選項,當AB,CD是異面直線時,MN不可能與l平行,故D錯誤.故選B.二、填空題9.已知兩條不重合的直線a,b和兩個不重合的平面,給出下列命題:如果a,b,那么ab;如果,b,那么b;如果a,b,那么ab;如果,b,那么b.上述結論中,正確結論的序號是 (寫出所有正確結論的序號).解析:由線面關系逐一考查所給的各個命題:如果a,b,那么不一定有ab,該命題錯誤;如果,b,那么b,該命題正確;如果a,b,那么ab,該命題正確;如果,b,那么不一定有b,該命題錯誤.綜上,正確的結論為.答案:10. 如圖,已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形,PA平面ABC,PA=2AB,給出下列結論:PBAE;平面ABC平面PBC;直線BC平面PAE;PDA=45;直線PD與平面PAB所成角的余弦值為.其中正確的有(把所有正確的序號都填上).解析:對于,由PA平面ABC,AE平面ABC,得PAAE,又由正六邊形的性質得AEAB,PAAB=A,得AE平面PAB,又PB平面PAB,所以AEPB,正確;對于,由平面PAB平面ABC,所以平面ABC平面PBC不成立,錯誤;對于,由正六邊形的性質得BCAD,又AD平面PAD,所以BC平面PAD,所以直線BC平面PAE也不成立,錯誤;對于,在RtPAD中,PA=AD=2AB,所以PDA=45,所以正確.直線PD與平面PAB所成角的余弦值為,正確.答案:11. 如圖,E,F,G分別是四面體ABCD的棱BC,CD,DA的中點,則此四面體與過E,F,G的截面平行的棱的條數是.解析:此四面體與過E,F,G的截面平行的棱為AC,BD,只有兩條.答案:212.我們將一個四面體四個面中直角三角形的個數定義為此四面體的直度,在四面體ABCD中,AD平面ABC,ACBC,則四面體ABCD的直度為.解析:如圖,因為AD平面ABC,所以ADC,ABD都是直角三角形;又ACBC,則ABC是直角三角形;又由題設可知BCAD,BCAC,ACAD=A,故BC平面ACD,CD平面ACD,故BCCDBCD是直角三角形.答案:413. 點P在正方體ABCD-A1B1C1D1的面 對角線BC1上運動,則下列四個命題:三棱錐A-D1PC的體積不變;A1P平面ACD1;DPBC1;平面PDB1平面ACD1.其中正確的命題序號是.解析:對于,容易證明AD1BC1,從而BC1平面AD1C,故BC1上任意一點到平面AD1C的距離均相等,所以以P為頂點,平面AD1C為底面,則三棱錐A-D1PC的體積不變;正確;對于,連接A1B,A1C1容易證明A1C1AD1且相等,由知:AD1BC1,所以平面BA1C1平面ACD1,從而由線面平行的定義可得;正確;對于,若DPBC1,又BC1DC,則BC1平面DPC,所以BC1PC,當P不是BC1中點時不成立,則錯誤;對于,連接DB1,容易證明DB1平面ACD1,從而由面面垂直的判定知正確.答案:14. 如圖,60的二面角的棱上有A,B兩點,直線AC,BD分別在二面角兩個半平面內,且都垂直于AB,AC=BD=6,AB=8,則CD=.解析:由題意得,過點B作BEAC,且BE=AC=6,如圖所示,則DBE=60,又BD=BE=6,所以BDE為等邊三角形,且四邊形ABEC為矩形,即CE=AB且CE平面BDE,而DE平面BDE,所以CEDE,由勾股定理得,CD=10.答案:1015.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是AB,A1B1的中點,P在AD上,若平面CMN平面A1BP,則=.解析:畫出圖象如圖所示,由圖可知,要兩個平面垂直,注意到BPMN是恒成立的,則只需BPCM就有BP平面CMN,顯然,當P為AD中點時,ABPBCM,PBA+CMB=,即BPCM,從而BP平面CMN,也即有平面CMN平面A1BP,所以=2.答案:216. 如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=6,AB=3,AD=8,點M是棱AD的中點,N在棱AA1上,且滿足AN=2NA1,P是側面四邊形ADD1A1內一動點(含邊界),若C1P平面CMN,則線段C1P長度最小值是.解析:取A1D1的中點Q,過點Q在平面ADD1A1作MN的平行線交DD1于E,則易知平面C1QE平面CMN,在C1QE中作C1PQE,則C1P=為所求.答案:三、解答題17.(2018名校新高考研究聯盟) 如圖,平行四邊形PDCE垂直于梯形ABCD所在的平面,ADC=BAD=90,PDC=120,F為PA中點,PD=1,AB=AD=CD=1.(1)求證:AC平面DEF;(2)求直線BC與平面PAD所成角的余弦值.(1)證明:設PC與DE的交點為M,連接FM,因為F,M分別為PA,PC的中點,則FMAC,因為FM平面DEF,AC平面DEF,所以AC平面DEF.(2)解:法一(向量法)過點D在平面PDCE中作DQPE,交PE于點Q.由已知可得PQ=,以D為原點,分別以DA,DC,DQ所在的直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系.如圖所示,根據已知可得下列各點坐標.D(0,0,0),P(0,-,),A(1,0,0),B(1,1,0) ,C(0,2,0).求得平面PAD一個法向量n=(0,1),=(-1,1,0)設直線BC與平面PAD所成角為,則sin =cos =.所以,直線BC與平面PAD所成角的余弦值為.法二取CD的中點G,連接AG,則AGBC,所以,直線AG與平面PAD所成角即為直線BC與平面PAD所成角.過點G作GHPD于H,又AD平面PCDE,所以ADGH.PDAD=D.所以CH平面PAD,則GAH即為所求的線面角,易求,GH=,AG=BC=,所以,sin GAH=.直線BC與平面PAD所成角的余弦值為.鞏固提高B一、選擇題1.設a,b是兩條不同直線,是兩個不同平面,則下列四個命題:若ab,a,b,則b;若a,a,則;若a,則a或a;若ab,a,b,則.其中正確命題的個數為(D)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:根據與平面的法向量垂直的直線平行或在平面內,故正確;a,a,則內存在直線與a平行,可得,故正確;若a,則a平行或a在平面內,故正確;若ab,a,b,即兩個平面的法向量垂直,則這兩個平面垂直,故正確.故選D.2.“直線m與平面內無數條直線平行”是“直線m平面”的(B)(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件解析:由于沒確定直線m是否在平面內,所以充分性不成立.故選B.3.已知六棱錐PABCDEF的底面是正六邊形,PA平面ABC.則下列結論不正確的是(D)(A)CD平面PAF(B)DF平面PAF(C)CF平面PAB(D)CF平面PAD解析:因為六棱錐PABCDEF的底面是正六邊形,PA平面ABC.則AFCD,由線面平行的判定定理,可得CD平面PAF,故A正確;DFAF,DFPA,由線面垂直的判定定理可得DF平面PAF,故B正確;CFAB,由線面平行的判定定理,可得CF平面PAB,故C正確;CF與AD不垂直,故D中,CF平面PAD不正確.故選D.4.對于四面體ABCD,有以下命題:若AB=AC=AD,則點A在底面BCD內的射影是BCD的外心;若ABCD,ACBD,則點A在底面BCD內的射影是BCD的內心;四面體A-BCD的四個面中最多有四個直角三角形;若四面體A-BCD的6條棱長都為1,則它的內切球的表面積為.其中正確的命題是(D)(A)(B)(C)(D)解析:由題設AB=AC=AD,故頂點A在 底面內的射影是底面中心,故命題正確;四面體中的四個面中最多有四個直角三角形,如圖1,故命題正確;對于命題,如圖2,盡管ABCD,ACBD,點A在底面BCD內的射影不是BCD的內心,即命題 錯誤;若四面體的6條棱都為1,則它的體積為V=12=,又設內切球的半徑為r,則V=4r=r=,則S=4r2=4()2=,即命題正確.故選D.5. 如圖,正四面體D-ABC的頂點A,B,C分別在兩兩垂直的三條射線Ox,Oy,Oz上,則在下列命題中,錯誤的是(C)(A)O-ABC是正三棱錐(B)直線OB與平面ACD相交(C)直線CD與平面ABC所成的角的正弦值為(D)異面直線AB和CD所成角是90解析:由題知ABCD為正四面體,所以ABC為等邊三角形,又因為OA,OB,OC兩兩垂直,所以OA平面OBC,所以OABC,過O作底面ABC的垂線,垂足為N,連接AN交BC于M,由三垂線定理可知BCAM,所以M為BC中點,同理可證,連接CN交AB于P,則P為AB中點,所以N為底面ABC中心,所以O-ABC是正三棱錐,故A正確; 將正四面體ABCD放入正方體中,如圖所示,顯然OB與平面ACD不平行.則B正確;由圖知,直線CD與平面ABC所成的角的正弦值為,則C錯誤;異面直線AB和CD所成角是90,故D正確.故選C.6. 正四棱錐(底面為正方形,頂點在底面上的射影是底面的中心)SABCD的底面邊長為2,高為2,E為邊BC的中點,動點P在表面上運動,并且總保持PEAC,則動點P的軌跡的周長為(D)(A)(B)+(C)3(D)+解析:取SC的中點F,CD的中點H,連接EF,EH.在正四棱錐SABCD中,易知AC平面SDB,又平面EFH平面SDB,所以AC平面EFH,所以動點P在線段EF,FH,EH上運動總能保持PEAC.EH=DB=,FE=FH=SB=,所以動點P的軌跡的周長為EH+FH+EF=+.故選D.7. 如圖,已知平面平面,A,B是平面與平面的交線上的兩個定點,DA,CB,且DAAB,CBAB,AD=4,BC=8,AB=6,在平面上有一個動點P,使APD=BPC,則四棱錐PABCD體積的最大值是(D) (A)24(B)16(C)144(D)48解析:由題設可得ADAB,BCAB且=,即PB=2PA,以AB所在直線為x軸,其中垂線為y軸建立平面直角坐標系,則A(-3,0),B(3,0),設P(x,y),則x2+y2+10x+9=0,即(x+5)2+y2=16,則圓心M(-5,0),半徑r=4,所以動點P到x軸的距離最大值為r=4,此時四棱錐PABCD的體積的最大值為V=Sr=(6)4=48.故選D.8.在底面是菱形的四棱錐PABCD中,PA底面ABCD,點E為棱PB的中點,點F在棱AD上,平面CEF與PA交于點K,且PA=AB=3,AF=2,則等于(A)(A)(B)(C)(D)解析:如圖,延長CF交BA的延長線于點O,則由AOFDCF可得AO=23=6,設AB的中點為G,又=AK=,則PK=3-AK=3-=,故=.故選A.二、填空題9.,為兩個不同的平面,m,n為兩條不同的直線,下列命題中正確的是(填上所有正確命題的序號).若,m,則m;若m,n,則mn;若,=n,mn,則m;若n,n,m,則m.解析:由題意得,由,m,根據面面平行的性質,可得m,所以正確;由m,n,則m與n平行或異面,所以不正確;由,=n,mn,則m有可能在內,所以不正確;由n,n,m,根據直線垂直平行平面中一個也必垂直于另一個平面,所以m是正確的,所以正確的命題為.答案:10. 如圖所示,E,F分別是正方形SD1DD2的邊D1D,DD2的中點沿SE,SF,EF將其折成一個幾何體,使D1,D,D2重合,記作D.給出下列位置關系:SD平面DEF;SE平面DEF;DFSE;EF平面SED,其中成立的有.解析:由題意,因為SDDF,SDDE,DEDF,DE=DF,顯然正確;錯誤;正確;錯誤.答案:11. 如圖,在四面體ABCD中,截面PQMN是正方形,則下列命題中,正確的為(填序號).ACBD;AC截面PQMN;AC=BD;異面直線PM與BD所成的角為45.解析:在四面體ABCD中,因為截面PQMN是正方形,所以PQMN,PQ平面ACD,MN平面ACD,所以PQ平面ACD,因為平面ACB平面ACD=AC,所以PQAC,可得AC平面PQMN,同理可得BD平面PQMN,BDPN,因為PNPQ,所以ACBD,由BDPN,所以MPN是異面直線PM與BD所成的角,且為45,由上面可知:BDPN,PQAC,=,=,而AN與DN不一定相等,PN=MN,所以BD與AC不一定相等,綜上可知:都正確.答案:12. 如圖所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面是ABC為直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中點,點F在線段AA1上,當AF=時,CF平面B1DF.解析:由已知得B1D平面AC1,又CF平面AC1,所以B1DCF,故若CF平面B1DF,則必有CFDF,設AF=x(0x3a),則CF2=x2+4a2,DF2=a2+(3a-x)2,又CD2=a2+9a2=10a2,所以10a2=x2+4a2+a2+(3a-x)2,解得x=a或2a.答案:a或2a13. 如圖所示,在四棱錐PABCD中,PA底面ABCD,且底面各邊都相等,M是PC上的一動點,請你補充一個條件(填寫你認為是正確的條件對應的序號),使平面MBD平面PCD.DMPC;DMBM;BMPC;PM=MC.解析:由定理可知,BDPC,所以當DMPC(或BMPC)時,即有PC平面MBD,而PC平面PCD,所以平面MBD平面PCD,則DMPC或BMPC正確,故答案為或.答案:或14.已知命題:“若xy,yz,則xz”為真命題,那么字母x,y,z在空間所表示的幾何圖形:都是直線;都是平面;x,y是直線,z是平面;x,z是平面,y是直線.其中正確結論的序號為.解析:若x,y,z都表示直線,根據直線與直線所成角的定義可知兩條平行線與第三條直線所成角相等,對;若x,y,z都表示平面,根據平面與平面所成角的定義可知兩個平行平面與第三個平面所成角相等,對;若x,y是直線,z是平面,當xy,yz時,x可能平行于z,故錯;若x,z是平面,y是直線,根據面面垂直的判定定理可得“若xy,yz,則xz”成立,對.答案:15. 如圖所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,BC=AC,AC1A1B,M,N分別是A1B1,AB的中點,給出下列結論:C1M平面A1ABB1;A1BNB1;平面AMC1平面CNB1;其中正確結論的序號是.解析:由C1MA1B1,C1MAM,A1B1AM=MC1M平面A1ABB1,故正確;結合得A1BC1M,AC1A1B,AC1C1M=C1A1B平面C1AMA1BAM,又AMNB1A1BNB1,故正確;由AMNB1,C1MCN,AMC1M=M平面AMC1平面CNB1;故正確結論的序號是.答案:16.下列四個正方體圖形中,A,B為正方體的兩個頂點,M,N,P分別為其所在棱的中點,能得出AB平面MNP的圖形的序號是.(將你認為正確的都填上)解析:在中NPAB,