第5章 時間序列分析,第一節 時間序列的對比分析 第二節 長期趨勢分析 第三節 季節變動分析 第四節 循環波動分析,學習目標,1. 掌握時間序列對比分析的方法 2. 掌握長期趨勢分析的方法及應用 3. 掌握季節變動分析的原理與方法 4. 掌握循環波動的分析方法,第一節 時間序列的對比分析,一. 時間序列及其分類 二. 時間序列的水平分析 三. 時間序列的速度分析,時間序列及其分類,時間序列 (概念要點),1. 同一現象在不同時間上的相繼觀察值排列而成的數列 2. 形式上由現象所屬的時間和現象在不同時間上的觀察值兩部分組成 3. 排列的時間可以是年份、季度、月份或其他任何時間形式,時間序列 （一個例子）,時間序列的分類,時間序列的分類,絕對數時間序列 一系列絕對數按時間順序排列而成 時間序列中最基本的表現形式 反映現象在不同時間上所達到的絕對水平 分為時期序列和時點序列 時期序列：現象在一段時期內總量的排序 時點序列：現象在某一瞬間時點上總量的排序 相對數時間序列 一系列相對數按時間順序排列而成 平均數時間序列 一系列平均數按時間順序排列而成,時間序列的水平分析,發展水平與平均發展水平 （概念要點）,發展水平 現象在不同時間上的觀察值 說明現象在某一時間上所達到的水平 表示為Y1 ，Y2， ，Yn 或 Y0 ，Y1 ，Y2 ， ，Yn 平均發展水平 現象在不同時間上取值的平均數，又稱序時平均數 說明現象在一段時期內所達到的一般水平 不同類型的時間序列有不同的計算方法,絕對數序列的序時平均數 （計算方法）,計算公式：,【例11.1】 根據表11.1中的國內生產總值序列，計算各年度的平均國內生產總值, 時期序列,絕對數序列的序時平均數 （計算方法）, 時點序列 間隔不相等,絕對數序列的序時平均數 （計算方法）, 計算步驟 計算出兩個點值之間的平均數,用相隔的時期長度 (Ti ) 加權計算總的平均數,絕對數序列的序時平均數 （計算方法）,當間隔相等(T1 = T2= = Tn-1)時，有, 時點序列間隔相等,絕對數序列的序時平均數 （實例）,【例2】設某種股票1999年各統計時點的收盤價如表11-2，計算該股票1999年的年平均價格,絕對數序列的序時平均數 （實例）,【例3】 根據表11-1中年末總人口數序列，計算19911998年間的年平均人口數,相對數序列的序時平均數 （計算方法）,先分別求出構成相對數或平均數的分子ai和分母 bi 的平均數 再進行對比，即得相對數或平均數序列的序時平均數 基本公式為,相對數序列的序時平均數 （計算方法與實例）,【例4】已知19941998年我國的國內生產總值及構成數據如表3。計算19941998年間我國第三產業國內生產總值占全部國內生產總值的平均比重,相對數序列的序時平均數 （計算結果）,解：第三產業國內生產總值的平均數,全部國內生產總值的平均數,第三產業國內生產總值所占平均比重,增長量 （概念要點）,報告期水平與基期水平之差，說明現象在觀察期內增長的絕對數量 有逐期增長量與累積增長量之分 逐期增長量 報告期水平與前一期水平之差 計算形式為：i=Yi-Yi-1 (i =1,2,n) 累積增長量 報告期水平與某一固定時期水平之差 計算形式為：i=Yi-Y0 (i=1,2,n) 各逐期增長量之和等于最末期的累積增長量,平均增長量 （概念要點）,1. 觀察期內各逐期增長量的平均數 2. 描述現象在觀察期內平均增長的數量 3. 計算公式為,時間序列的速度分析,發展速度 （要點）,報告期水平與基期水平之比 說明現象在觀察期內相對的發展變化程度 有環比發展速度與定期發展速度之分,環比發展速度與定基發展速度 （要點）,環比發展速度 報告期水平與前一期水平之比,定基發展速度 報告期水平與某一固定時期水平之比,環比發展速度與定基發展速度 （關系）,觀察期內各環比發展速度的連乘積等于最末期的定基發展速度,兩個相鄰的定基發展速度，用后者除以前者，等于相應的環比發展速度,增長速度 （要點）,增長量與基期水平之比 又稱增長率 說明現象的相對增長程度 有環比增長速度與定期增長速度之分 計算公式為,環比增長速度與定基增長速度 （要點）,環比增長速度基 報告期水平與前一時期水平之比,定基增長速度 報告期水平與某一固定時期水平之比,發展速度與增長速度的計算 （實例）,【例5】 根據表3中第三產業國內生產總值序列，計算各年的環比發展速度和增長速度，及以1994年為基期的定基發展速度和增長速度,平均發展速度 （要點）,觀察期內各環比發展速度的平均數 說明現象在整個觀察期內平均發展變化的程度 通常采用幾何法(水平法)計算 計算公式為,平均發展速度與平均增長速度 （算例）, 平均發展速度, 平均增率,【例6】 根據表4中的有關數據，計算19941998年間我國第三產業國內生產總值的年平均發展速度和年平均增長率,從最初水平Y0出發，每期按平均發展速度發展，經過n期后將達到最末期水平Yn 按平均發展速度推算的最后一期的數值與最后一期的實際觀察值一致 只與序列的最初觀察值Y0和最末觀察值Yn有關 如果關心現象在最后一期應達到的水平，采用水平法計算平均發展速度比較合適,平均發展速度 （幾何法的特點）,年度化增長率 （要點）,增長率以年來表示時，稱為年度化增長率或年率 可將月度增長率或季度增長率轉換為年度增長率 計算公式為,m 為一年中的時期個數；n 為所跨的時期總數 季度增長率被年度化時，m 4 月增長率被年度化時，m 12 當m n 時，上述公式就是年增長率,年度化增長率 （實例）,【例7】已知某地區的如下數據，計算年度化增化增長率 1999年1月份的社會商品零售總額為25億元， 2000年1月份在零售總額為30億元 1998年3月份財政收入總額為240億元，2000年6月份的財政收入總額為為300億元 2000年1季度完成的國內生產總值為500億元，2季度完成的國內生產總值為510億元 1997年1季度完成的國內生產總值為500億元，2季度完成的國內生產總值為510億元,年度化增長率 （計算結果）,解： 由于是月份數據，所以 m=12；從1999年一月到2000年一月所跨的月份總數為12，所以 n=12,即年度化增長率為20%，這實際上就是年增長率，因為所跨的時期總數為一年。也就是該地區社會商品零售總額的年增長率為20%,年度化增長率 （計算結果）,解： m =12，n = 27 年度化增長率為,該地區財政收入的年增長率為10.43%,年度化增長率 （計算結果）,解： 由于是季度數據，所以 m = 4，從一季度到二季度所跨的時期總數為1，所以 n=1 年度化增長率為,即根據第一季度和第二季度數據計算的國內生產總值年增長率為8.24%,年度化增長率 （計算結果）,解： m=4，從1997年四季度到2000年四季度所跨的季度總數為12，所以 n=12 年度化增長率為,即根據1998年四季度到2000年四季度的數據計算，工業增加值的年增長率為7.72%，這實際上就是工業增加值的年平均增長速度,速度的分析與應用 （需要注意的問題）,當時間序列中的觀察值出現0或負數時，不宜計算速度 例如：假定某企業連續五年的利潤額分別為5、2、0、-3、2萬元，對這一序列計算速度，要么不符合數學公理，要么無法解釋其實際意義。在這種情況下，適宜直接用絕對數進行分析 在有些情況下，不能單純就速度論速度，要注意速度與絕對水平的結合分析,速度的分析與應用 （一個例子）,【例8】 假定有兩個生產條件基本相同的企業，各年的利潤額及有關的速度值如表5,速度的分析與應用 （增長1%絕對值）,速度每增長一個百分點而增加的絕對量 用于彌補速度分析中的局限性 計算公式為,甲企業增長1%絕對值500/1005萬元 乙企業增長1%絕對值60/1000.6萬元,第二節 長期趨勢分析,時間序列的構成要素與模型 線性趨勢 非線性趨勢 趨勢線的選擇,時間序列的構成要素與模型 （構成要素與測定方法）,時間序列的構成要素與模型 （要點）,構成因素 長期趨勢 (Secular trend ) 季節變動 (Seasonal Fluctuation ) 循環波動 (Cyclical Movement ) 不規則波動 (Irregular Variations ) 模型 乘法模型：Yi = Ti Si Ci Ii 加法模型：Yi = Ti + Si + Ci + Ii,長期趨勢 （概念要點）,現象在較長時期內持續發展變化的一種趨向或狀態 由影響時間序列的基本因素作用形成 時間序列的主要構成要素 有線性趨勢和非線性趨勢,線性趨勢,線性趨勢,現象隨時間的推移呈現出穩定增長或下降的線性變化規律 測定方法有 移動平均法 移動中位數法 線性模型法,移動平均法 (Moving Average Method),測定長期趨勢的一種較簡單的常用方法 通過擴大原時間序列的時間間隔，并按一定的間隔長度逐期移動，計算出一系列移動平均數 由移動平均數形成的新的時間序列對原時間序列的波動起到修勻作用，從而呈現出現象發展的變動趨勢 移動步長為K(1Kn)的移動平均序列為,移動平均法 (實例),【例9】已知19811998年我汽車產量數據如表11-6。分別計算三年和五年移動平均趨勢值，以及三項和五項移動中位數，并作圖與原序列比較,移動平均法 (趨勢圖),移動平均法 (應注意的問題),移動平均后的趨勢值應放在各移動項的中間位置 對于偶數項移動平均需要進行“中心化” 移動間隔的長度應長短適中 如果現象的發展具有一定的周期性，應以周期長度作為移動間隔的長度 若時間序列是季度資料，應采用4項移動平均 若為月份資料，應采用12項移動平均,線性模型法 （概念要點與基本形式）,現象的發展按線性趨勢變化時，可用線性模型表示 線性模型的形式為, 時間序列的趨勢值 t 時間標號 a趨勢線在Y 軸上的截距 b趨勢線的斜率，表示時間 t 變動一個單位時觀察值的平均變動數量,線性模型法 （a 和 b 的最小二乘估計）,趨勢方程中的兩個未知常數 a 和 b 按最小二乘法(Least-square Method）求得 根據回歸分析中的最小二乘法原理 使各實際觀察值與趨勢值的離差平方和為最小 最小二乘法既可以配合趨勢直線，也可用于配合趨勢曲線 根據趨勢線計算出各個時期的趨勢值,線性模型法 （a和b的最小二乘估計）,1. 根據最小二乘法得到求解 a 和 b 的標準方程為,取時間序列的中間時期為原點時有 t=0，上式可化簡為,解得：,解得：,線性模型法 (實例及計算過程),【例 10】利用表11-6中的數據，根據最小二乘法確定汽車產量的直線趨勢方程，計算出19811998年各年汽車產量的趨勢值，并預測2000年的汽車產量，作圖與原序列比較,線性模型法 （計算結果）,根據上表得 a 和 b 結果如下,線性模型法 (趨勢圖),非線性趨勢,現象的發展趨勢為拋物線形態 一般形式為,二次曲線 (Second Degree Curve),a、b、c 為未知常數 根據最小二乘法求得,二次曲線 (Second Degree Curve),取時間序列的中間時期為原點時有,根據最小二乘法得到求解 a、b、c 的標準方程為,二次曲線 (實例),【例 11】 已知我國19781992年針織內衣零售量數據如表11-9。試配合二次曲線，計算出19781992年零售量的趨勢值，并預測1993年的零售量，作圖與原序列比較,二次曲線 (計算過程),二次曲線 （計算結果）,根據計算表得 a 、 b 、c 的結果如下,二次曲線 (趨勢圖),用于描述以幾何級數遞增或遞減的現象 一般形式為,指數曲線 (Exponential curve),a、b為未知常數 若b1，增長率隨著時間t的增加而增加 若b0，b1，趨勢值逐漸降低到以0為極限,指數曲線 (a、b 的求解方法),取時間序列的中間時期為原點， 上式可化簡為,采取“線性化”手段將其化為對數直線形式 根據最小二乘法，得到求解 lga、lgb 的標準方程為,指數曲線 (實例及計算結果),【例11.12】根據表11-6中的資料，確定19811998年我國汽車產量的指數曲線方程，求出各年汽車產量的趨勢值，并預測2000年的汽車產量，作圖與原序列比較,汽車產量的指數曲線方程為,2000年汽車產量的預測值為,指數曲線 (趨勢圖),指數曲線與直線的比較,比一般的趨勢直線有著更廣泛的應用 可以反應出現象的相對發展變化程度 上例中，b=1.14698表示19811998年汽車產量趨勢值的平均發展速度 不同序列的指數曲線可以進行比較 比較分析相對增長程度,在一般指數曲線的基礎上增加一個常數K 一般形式為,修正指數曲線 (Modified exponential curve),K、a、b 為未知常數 K 0，a 0，0 b 1,修正指數曲線用于描述的現象：初期增長迅速，隨后增長率逐漸降低，最終則以K為增長極限,修正指數曲線 (求解k、a、b 的三和法),趨勢值K無法事先確定時采用 將時間序列觀察值等分為三個部分，每部分有m個時期 令趨勢值的三個局部總和分別等于原序列 觀察值的三個局部總和,修正指數曲線 (求解k、a、b 的三和法),根據三和法求得,設觀察值的三個局部總和分別為S1，S2，S3,修正指數曲線 (實例),【例13】 已知19781995年我國小麥單位面積產量的數據如表11-12。試確定小麥單位面積產量的修正指數曲線方程，求出各年單位面積產量的趨勢值，并預測2000年的小麥單位面積產量，作圖與原序列比較,修正指數曲線 （計算結果）,解得 K、a 、b 如下,修正指數曲線 （計算結果）,修正指數曲線 (趨勢圖),以英國統計學家和數學家 BGompertz 而命名 一般形式為,K、a、b為未知常數 K 0，0 a 1，0 b 1,龔鉑茨曲線 (Gompertz curve),所描述的現象：初期增長緩慢，以后逐漸加快，當達到一定程度后，增長率又逐漸下降，最后接近一條水平線 兩端都有漸近線，上漸近線為YK,下漸近線為Y= 0,將其改寫為對數形式,Gompertz曲線 (求解k、a、b 的三和法),仿照修正指數曲線的常數確定方法，求出 lg a、lg K、b 取 lg a、lg K 的反對數求得 a 和 K 令：,則有：,Gompertz曲線 (實例),【例14】 根據表11-12的數據，試確定小麥單位面積產量的Gompertz曲線方程，求出各年單位面積產量的趨勢值，并預測2000年的小麥單位面積產量，作圖與原序列比較,Gompertz曲線 （計算結果）,Gompertz曲線 （計算結果）,小麥單位面積產量的 Gompertz 曲線方程為,2000年小麥單位面積產量的預測值為,Gompertz曲線 (趨勢圖),羅吉斯蒂曲線 (Logistic Curve),K、a、b 為未知常數 K 0，a 0，0 b 1,1838年比利時數學家 Verhulst所確定的名稱 該曲線所描述的現象的特征與Gompertz曲線類似 3. 其曲線方程為,Logistic 曲線 (求解k、a、b 的三和法),取觀察值Yt的倒數Yt-1 當Yt-1 很小時，可乘以 10 的適當次方 a、b、K 的求解方程為,趨勢線的選擇,觀察散點圖 根據觀察數據本身，按以下標準選擇趨勢線 一次差大體相同，配合直線 二次差大體相同，配合二次曲線 對數的一次差大體相同，配合指數曲線 一次差的環比值大體相同，配合修正指數曲線 對數一次差的環比值大體相同，配合 Gompertz 曲線 倒數一次差的環比值大體相同，配合Logistic曲線 3. 比較估計標準誤差,第三節 季節變動分析,一. 季節變動及其測定目的 季節變動的分析方法與原理 季節變動的調整,季節變動及其測定目的,季節變動 現象在一年內隨著季節更換形成的有規律變動 各年變化強度大體相同、且每年重現 指任何一種周期性的變化 時間序列的又一個主要構成要素 測定目的 確定現象過去的季節變化規律 消除時間序列中的季節因素,季節變動的分析原理,將季節變動規律歸納為一種典型的季節模型 季節模型由季節指數所組成 季節指數的平均數等于100% 根據季節指數與其平均數(100%)的偏差程度測定季節變動的程度 如果現象沒有季節變動，各期的季節指數等于100% 如果某一月份或季度有明顯的季節變化，各期的季節指數應大于或小于100%,季節變動的分析原理, 季節模型 時間序列在各年中所呈現出的典型狀態，這種狀態年復一年以相同的形態出現 由季節指數組成，各指數刻劃了現象在一個年度內各月或季的典型數量特征 以各個指數的平均數等于100%為條件而構成 如果分析的是月份數據，季節模型就由12個指數組成；若為季度數據，則由4 個指數組成,季節變動的分析原理, 季節指數 反映季節變動的相對數 以全年月或季資料的平均數為基礎計算的 平均數等于100% 月(或季)的指數之和等于1200%(或400%) 指數越遠離其平均數(100%