,微,積,分,電,子,教,案,11.4 泰勒級數與冪級數,一、函數項級數的概念,二、冪級數及其收斂性,三、冪級數的性質,四、泰勒級數,五、函數展開成冪級數,1.定義,一、函數項級數的概念,設 是定義在 上的函數,則 稱為定義在區間 上的(函數項)無窮級數.,對于每一個 ，函數項級數 就是一個常數項級數,2.收斂點與收斂域,一、函數項級數的概念,如果 ，常數項級數 收斂, 則稱 為級數 的收斂點，否則稱為發散點. 函數項級數 的所有收斂點的全體稱為收斂域，所有發散點的全體稱為發散域.,當 時，收斂；,收斂域：,當 時，發散；,發散域：,余項,3.和函數,若函數項級數的部分和,例如：,在收斂域：,其和函數為：,注意：級數的收斂域未必等于和函數的定義域,一、函數項級數的概念,在收斂域上，函數項級數的和是 的函數 ，稱 為函數項級數的和函數。,二、冪級數及其收斂性,2.1、定義, (x-x0) 的冪級數:,x的冪級數:,其中 為冪級數系數.,稱為x1的冪級數,由于收斂域與發散域互補,下面只研究收斂域.,二、冪級數及其收斂性,2.2、冪級數的斂散性特點,定理2,此時冪級數的收斂區間有以下四種可能：,如果冪級數 不是僅在 一點收斂,也不是在整個數軸上都收斂,則必有一個完全確定的正數 存在,它具有下列性質:,當 時,冪級數絕對收斂; 當 時,冪級數發散; 當 時,冪級數可能收斂也可能發散.,二、冪級數及其收斂性,定義: 正數R稱為冪級數的收斂半徑.,冪級數的收斂域稱為冪級數的收斂區間.,規定,問題,如何求冪級數的收斂半徑?,要求冪級數的收斂區間，關鍵求實數R,2.3、冪級數的收斂半徑與收斂區間,二、冪級數及其收斂性,定理3 如果冪級數 的所有系數 , 設 （或 ） （1）則當 時， ； （2）當 時， ； （3）當 時， 。,解：,所以收斂半徑 R=3,例1. 求 的收斂半徑,根據系數的表達式，也可以,二、冪級數及其收斂性,二、冪級數及其收斂性,例2 求下列冪級數的收斂區間:,解,該級數收斂,該級數發散,二、冪級數及其收斂性,是發散的,是收斂的,故收斂區間為(0,1.,二、冪級數及其收斂性,二、冪級數及其收斂性,定理3 如果冪級數 的所有系數 , 設 （或 ） （1）則當 時， ； （2）當 時， ； （3）當 時， 。,注意：如果冪級數 中奇次項或偶次項系數 為零，則不能利用該定理確定收斂半徑。,解：,缺少偶次冪的項,級數收斂,二、冪級數及其收斂性,例3 求冪級數 的收斂域.,級數發散,級數發散,級數發散,原級數的收斂域為,二、冪級數及其收斂性,為什么？,解：,二、冪級數及其收斂性,例4,練習： 收斂區間為-2,2, (-2,2), (-2,2, -2,2),注意: 求冪級數的收斂區間,通常先求級數的收斂半徑,得到級數絕對收斂的一個開區間；,求收斂半徑的方法：比(根)值法、系數法(局限性),然后判斷級數在區間端點的斂散性(數項級數),最后得到收斂區間,二、冪級數及其收斂性,解:,級數發散.,二、冪級數及其收斂性,級數收斂.,解:,收斂.,二、冪級數及其收斂性,發散.,(*),對于(*),3.1、和函數,三、冪級數的性質,在收斂域上，函數項級數的和是 的函數 ，稱 為函數項級數的和函數。,三、冪級數的性質,3.2、和函數的可加性,收斂區間為（-1,1）,三、冪級數的性質,3.3、和函數的連續性,(收斂半徑不變，收斂區間可能改變。）,三、冪級數的性質,3.4、逐項可導性,(收斂半徑不變，收斂區間可能改變。）,三、冪級數的性質,3.4、逐項可積性,上式兩邊積分得：,于是,冪級數在逐項微分或積分后，收斂半徑不變，但是收斂區間可能改變。,逐項積分后，收斂半徑沒變，收斂區間改變了。,三、冪級數的性質,由于我們已知收斂的幾何級數的求和公式，所以對于冪級數求和函數，總設法將級數的一般項轉化為幾何級數的通項，方法就是逐項積分或微分。,1、求收斂半徑，并設其和函數為 S（x）,2、求積分，使其轉化為幾何級數，然后求和,3、對 逐項求導，得到和函數,對,4、考察原級數端點的斂散性，得收斂區間,求和函數的方法,三、冪級數的性質,解：,三、冪級數的性質,例4,發散;,發散;,故冪級數的收斂區間為,解：,三、冪級數的性質,例4,上式求導：,解：,三、冪級數的性質,例4,解,三、冪級數的性質,收斂;,發散;,故冪級數的收斂區間為,解,兩邊積分得,三、冪級數的性質,解：,三、冪級數的性質,例6,發散;,收斂;,故冪級數