四、 旋轉體的側面積 (補充),三、已知平行截面面積函數的立體體積,第二節,一、 平面圖形的面積,二、 平面曲線的弧長,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,定積分在幾何學上的應用,第六章,一、平面圖形的面積,1. 直角坐標情形,設曲線,與直,及 x 軸所,則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,圍曲邊梯形面積為 A ,右下圖所示圖形面積為,線,例1. 計算兩條拋物線,在第一,象限所圍所圍圖形的面積 .,解: 由,得交點,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例2. 計算拋物線,與直線,圍圖形的面積 .,解: 由,得交點,所,為簡便計算, 選取 y 作積分變量,則有,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例3. 求橢圓,解: 利用對稱性 ,所圍圖形的面積 .,有,利用橢圓的參數方程,應用定積分換元法得,當 a = b 時得圓面積公式,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例4. 求由擺線,的一拱與 x 軸所圍平面圖形的面積 .,解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2. 極坐標情形,求由曲線,及,圍成的曲邊扇形的面積 .,在區間,上任取小區間,則對應該小區間上曲邊扇形面積的近似值為,所求曲邊扇形的面積為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,對應,例5. 計算阿基米德螺線,解:,點擊圖片任意處 播放開始或暫停,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束, 從 0 變到 2 所圍圖形面積 .,例6. 計算心形線,所圍圖形的,面積 .,解:,(利用對稱性),心形線 目錄 上頁 下頁 返回 結束,心形線(外擺線的一種),即,尖點:,面積:,弧長:,參數的幾何意義,心形線 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例7. 計算心形線,與圓,所圍圖形的面積 .,解: 利用對稱性 ,所求面積,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例8. 求雙紐線,所圍圖形面積 .,解: 利用對稱性 ,則所求面積為,思考: 用定積分表示該雙紐線與圓,所圍公共部分的面積 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,答案:,二、平面曲線的弧長,當折線段的最大,邊長 0 時,折線的長度趨向于一個確定的極限 ,即,并稱此曲線弧為可求長的.,定理: 任意光滑曲線弧都是可求長的.,(證明略),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,則稱,(1) 曲線弧由直角坐標方程給出:,弧長元素(弧微分) :,因此所求弧長,(P168),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,(2) 曲線弧由參數方程給出:,弧長元素(弧微分) :,因此所求弧長,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,(3) 曲線弧由極坐標方程給出:,因此所求弧長,則得,弧長元素(弧微分) :,(自己驗證),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例9. 兩根電線桿之間的電線, 由于其本身的重量,成懸鏈線 .,求這一段弧長 .,解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,下垂,懸鏈線方程為,例10. 求連續曲線段,解:,的弧長.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例11. 計算擺線,一拱,的弧長 .,解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例12. 求阿基米德螺線,相應于 02,一段的弧長 .,解:,(P349 公式39),小結 目錄 上頁 下頁 返回 結束,三、已知平行截面面積函數的立體體積,設所給立體垂直于x 軸的截面面積為A(x),則對應于小區間,的體積元素為,因此所求立體體積為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,上連續,特別 , 當考慮連續曲線段,繞 x 軸旋轉一周圍成的立體體積時,有,當考慮連續曲線段,繞 y 軸旋轉一周圍成的立體體積時,有,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例13. 計算由橢圓,所圍圖形繞 x 軸,旋轉而轉而成的橢球體的體積.,解: 方法1 利用直角坐標方程,則,(利用對稱性),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,方法2 利用橢圓參數方程,則,特別當b = a 時, 就得半徑為a 的球體的體積,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例14. 計算擺線,的一拱與,y0所圍成的圖形分別繞 x 軸 , y 軸旋轉而成的立體體積 .,解: 繞 x 軸旋轉而成的體積為,利用對稱性,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,繞 y 軸旋轉而成的體積為,注意上下限 !,注,注 目錄 上頁 下頁 返回 結束,分部積分,注,(利用“偶倍奇零”),柱殼體積,說明:,柱面面積,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,偶函數,奇函數,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例15. 設,在 x0 時為連續的非負函數, 且,形繞直線 xt 旋轉一周所成旋轉體體積 ,證明:,證:,利用柱殼法,則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,故,例16. 一平面經過半徑為R 的圓柱體的底圓中心 ,并,與底面交成 角,解: 如圖所示取坐標系,則圓的方程為,垂直于x 軸 的截面是直角三角形,其面積為,利用對稱性,計算該平面截圓柱體所得立體的體積 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,思考: 可否選擇 y 作積分變量 ?,此時截面面積函數是什么 ?,如何用定積分表示體積 ?,提示:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,垂直 x 軸的截面是橢圓,例17. 計算由曲面,所圍立體(橢球體),解:,它的面積為,因此橢球體體積為,特別當 a = b = c 時就是球體體積 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,的體積.,例18. 求曲線,與 x 軸圍成的封閉圖形,繞直線 y3 旋轉得的旋轉體體積.,(94 考研),解: 利用對稱性 ,故旋轉體體積為,在第一象限,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,四、旋轉體的側面積 (補充),設平面光滑曲線,積分后得旋轉體的側面積,求它繞 x 軸旋轉一周所得到的旋轉曲面的側面積 .,取側面積元素:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,側面積元素,的線性主部 .,若光滑曲線由參數方程,給出,則它繞 x 軸旋轉一周所得旋轉體的,不是薄片側面積S 的,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,注意:,側面積為,例19. 計算圓,x 軸旋轉一周所得的球臺的側面積 S .,解: 對曲線弧,應用公式得,當球臺高 h2R 時, 得球的表面積公式,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例20. 求由星形線,軸旋轉一周所得的旋轉體的表面積 S .,解: 利用對稱性,繞 x,星形線 目錄 上頁 下頁 返回 結束,星形線,星形線是內擺線的一種.,點擊圖片任意處 播放開始或暫停,大圓半徑 Ra,小圓半徑,參數的幾何意義,(當小圓在圓內沿,圓周滾動時, 小圓上的定點的軌跡為是內擺線),星形線 目錄 上頁 下頁 返回 結束,內容小結,1. 平面圖形的面積,邊界方程,參數方程,極坐標方程,2. 平面曲線的弧長,曲線方程,參數方程方程,極坐標方程,弧微分:,直角坐標方程,直角坐標方程,注意: 求弧長時積分上下限必須上大下小,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,3. 已知平行截面面面積函數的立體體積,旋轉體的體積,繞 x 軸 :,4. 旋轉體的側面積,側面積元素為,(注意在不同坐標系下 ds 的表達式),繞 y 軸 :,(柱殼法),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,思考與練習,1.用定積分表示圖中陰影部分的面積 A 及邊界長 s .,提示: 交點為,弧線段部分,直線段部分,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,以 x 為積分變量 , 則要分,兩段積分,故以 y 為積分變量.,2. 試用定積分求圓,上,半圓為,下,求體積 :,提示:,方法1 利用對稱性,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,繞 x 軸旋轉而成的環體體積 V 及表面積 S .,方法2 用柱殼法,說明: 上式可變形為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,此式反映了環體微元的另一種取法(如圖所示).,求側面積 :,利用對稱性,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,上式也可寫成,它也反映了環面微元的另一種取法.,作業,P284 2 (1) , (3) ; 4; 5 (2) , (3) ; 8 (2) ; 10; 27 ; 30,第三節 目錄 上頁 下頁 返回 結束,面積及弧長部分：,體積及表面積部分：,P284 13; 14 ; 15 (1), (4); 17; 18,補充題: 設有曲線,過原點作其切線 , 求,由此曲線、切線及 x 軸圍成的平面圖形繞 x 軸旋轉一,周所得到的旋轉體的表面積.,備用題,解：,1. 求曲線,所圍圖形的面積.,顯然,面積為,同理其它.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,又,故在區域,分析曲線特點,2.,解:,與 x 軸所圍面積,由圖形的對稱性 ,也合于所求., 為何值才能使,與 x 軸圍成