第一節函數及其表示一、基礎知識批注理解深一點1函數與映射的概念2函數的有關概念(1)函數的定義域、值域：在函數yf(x)，xA中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合f(x)|xA叫做函數的值域求函數定義域的策略(1)確定函數的定義域常從解析式本身有意義，或從實際出發(2)如果函數yf(x)是用表格給出，則表格中x的集合即為定義域(3)如果函數yf(x)是用圖象給出，則圖象在x軸上的投影所覆蓋的x的集合即為定義域(2)函數的三要素：定義域、值域和對應關系(3)相等函數：如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，則這兩個函數相等，這是判斷兩函數相等的依據. 兩函數值域與對應關系相同時，兩函數不一定相同(4)函數的表示法：表示函數的常用方法有：解析法、圖象法、列表法3分段函數若函數在其定義域內，對于定義域內的不同取值區間，有著不同的對應關系，這樣的函數通常叫做分段函數關于分段函數的3個注意(1)分段函數雖然由幾個部分構成，但它表示同一個函數(2)分段函數的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集(3)各段函數的定義域不可以相交二、基礎小題強化功底牢一點(1)對于函數f：AB，其值域是集合B.()(2)若兩個函數的定義域與值域相同，則這兩個函數是相等函數()(3)函數是一種特殊的映射()(4)若AR，B(0，)，f：xy|x|，則對應f可看作從A到B的映射()(5)分段函數是由兩個或幾個函數組成的()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(二)選一選1函數ylog2(2x4)的定義域是()A(2,3)B(2，)C(3，) D(2,3)(3，)解析：選D由題意，得解得x2且x3，所以函數ylog2(2x4)的定義域為(2,3)(3，)2下列函數中，與函數yx1是相等函數的是()Ay()2 By1Cy1 Dy1解析：選B對于A，函數y()2的定義域為x|x1，與函數yx1的定義域不同，不是相等函數；對于B，定義域和對應關系都相同，是相等函數；對于C，函數y1的定義域為x|x0，與函數yx1的定義域不同，不是相等函數；對于D，定義域相同，但對應關系不同，不是相等函數，故選B.3函數y1的值域為()A(0，) B(1，)C0，) D1，)解析：選D函數y1的定義域為1，)，且在1，)上為增函數，所以當x1時，y取得最小值1.故函數的值域為1，)(三)填一填4設函數f(x)若f(a)f(1)2，則a_.解析：若a0，則12，得a1；若a0，則12，得a1.故a1.答案：15已知fx25x，則f(x)_.解析：令t，則x(t0)，即f(t)，f(x)(x0)答案：(x0) 典例(1)(2019長春質檢)函數y的定義域是()A1,0)(0,1)B1,0)(0,1C(1,0)(0,1 D(1,0)(0,1)(2)已知函數f(x)的定義域為(1,0)，則函數f(2x1)的定義域為()A(1,1) B.C(1,0) D.解析(1)由題意得解得1x0或0x1.所以原函數的定義域為(1,0)(0,1)(2)令u2x1，由f(x)的定義域為(1,0)，可知1u0，即12x10，得1x.答案(1)D(2)B解題技法1使函數解析式有意義的一般準則(1)分式中的分母不為0；(2)偶次根式的被開方數非負；(3)yx0要求x0；(4)對數式中的真數大于0，底數大于0且不等于1；(5)正切函數ytan x，xk(kZ)；(6)實際問題中除考慮函數解析式有意義外，還應考慮實際問題本身的要求2抽象函數的定義域問題(1)若已知函數f(x)的定義域為a，b，其復合函數f(g(x)的定義域由不等式ag(x)b求出；(2)若已知函數f(g(x)的定義域為a，b，則f(x)的定義域為g(x)在xa，b上的值域定義域，是何意，自變量，有意義；分式分母不為零，對數真數只取正；偶次根式要非負，三者結合生萬物；和差積商定義域，不等式組求交集；抽象函數定義域，對應法則內相同題組訓練1.函數f(x)的定義域為()A2,0)(0,2 B(1,0)(0,2C2,2 D(1,2解析：選B由得10，所以t1，故f(x)的解析式是f(x)lg(x1)答案：lg(x1)3.已知f(x)滿足2f(x)f3x，則f(x)_.解析：2f(x)f3x，把中的x換成，得2ff(x).聯立可得解此方程組可得f(x)2x(x0)答案：2x(x0) 考法(一)求函數值典例(2019石家莊模擬)已知f(x)(0a1)，且f(2)5，f(1)3，則f(f(3)()A2B2C3 D3解析由題意得，f(2)a2b5，f(1)a1b3，聯立，結合0a1，得a，b1，所以f(x)則f(3)319，f(f(3)f(9)log392.答案B解題技法求分段函數的函數值的策略(1)求分段函數的函數值時，要先確定要求值的自變量屬于哪一區間，然后代入該區間對應的解析式求值；(2)當出現f(f(a)的形式時，應從內到外依次求值；(3)當自變量的值所在區間不確定時，要分類討論，分類標準應參照分段函數不同段的端點考法(二)求參數或自變量的值(或范圍)典例(2018全國卷)設函數f(x)則滿足f(x1)f(2x)的x的取值范圍是()A(，1 B(0，)C(1,0) D(，0)解析法一：分類討論法當即x1時，f(x1)f(2x)，即為2(x1)22x，即(x1)2x，解得x1.因此不等式的解集為(，1當時，不等式組無解當即1x0時，f(x1)f(2x)，即為122x，解得x0時，f(x1)1，f(2x)1，不合題意綜上，不等式f(x1)f(2x)的解集為(，0)法二：數形結合法f(x)函數f(x)的圖象如圖所示結合圖象知，要使f(x1)f(2x)，則需或x1的x的取值范圍是_解析：由題意知，可對不等式分x0,0討論當x0時，原不等式為x1x1，解得x，故x0.當01，顯然成立當x時，原不等式為2x2x1，顯然成立綜上可知，所求x的取值范圍是.答案：4設函數f(x)若f(a)1，則實數a的取值范圍是_解析：若a0，則f(a)1a71a3，故3a0；若a0，則f(a)11，解得a1，故0a1.綜上可得3a0時，若f(a)3，則log2aa3，解得a2(滿足a0)；當a0時，若f(a)3，則4a213，解得a3，不滿足a0，所以舍去于是，可得a2.故f(a2)f(0)421.6已知函數yf(2x1)的定義域是0,1，則函數的定義域是()A1,2 B(1,1C. D(1,0)解析：選D由f(2x1)的定義域是0,1，得0x1，故12x11，f(x)的定義域是1,1，要使函數有意義，需滿足解得1x0.7下列函數中，不滿足f(2 018x)2 018f(x)的是()Af(x)|x| Bf(x)x|x|Cf(x)x2 Df(x)2x解析：選C若f(x)|x|，則f(2 018x)|2 018x|2 018|x|2 018f(x)；若f(x)x|x|，則f(2 018x)2 018x|2 018x|2 018(x|x|)2 018f(x)；若f(x)x2，則f(2 018x)2 018x2，而2 018f(x)2 018x2 0182，故f(x)x2不滿足f(2 018x)2 018f(x)；若f(x)2x，則f(2 018x)22 018x2 018(2x)2 018f(x)故選C.8已知具有性質：ff(x)的函數，我們稱為滿足“倒負”變換的函數，下列函數：f(x)x；f(x)x；f(x)其中滿足“倒負”變換的函數是()A BC D解析：選B對于，f(x)x，fxf(x)，滿足題意；對于，fxf(x)，不滿足題意；對于，f即f故ff(x)，滿足題意綜上可知，滿足“倒負”變換的函數是.9(2019青島模擬)函數yln的定義域為_解析：由0x1.所以該函數的定義域為(0,1答案：(0,110(2019益陽、湘潭調研)若函數f(x)則f(f(9)_.解析：函數f(x)f(9)lg 101，f(f(9)f(1)2.答案：211(2018張掖一診)已知函數f(x)若f(a)f(1)0，則實數a的值等于_解析：f(1)2，且f(1)f(a)0，f(a)20，故a0.依題知a12，解