學科教育論文-論數學反思能力摘要：數學反思能力是在數學反思活動過程中表現出來的一種穩定的個性心理特征。分析數學反思能力的基本含義、特征、發展特點以及與其他數學能力的關系是準確把握數學反思能力的實質，是提高學生數學反思能力的重要保證，對提高教學效益、推動數學課程改革也有重要的現實意義。關鍵詞：數學反思；數學反思能力；特征；關系Abstract:Thereflectiveabilityofmathematicsisakindofstableindividualmentalcharacter,whichappearsinthecourseofmathematicsreflectiveactivities.Analyzingthebasicmeaning,character,developmentalfeaturesofthereflectiveabilityofmathematicsanditsrelationswithothermathematicalabilitiesistheimportantguaranteetocorrectlygrasptheessenceofthereflectiveabilityofmathematicsandtoimprovestudentsreflectiveabilityofmathematics.Meanwhile,itisalsoofgreatsignificancetoimprovemathematicsteachingefficiencyandtopromotethemathematicscurriculumreform.Keywords:mathematicalreflection；reflectiveabilityofmathematics；character；relation一、數學反思能力的基本含義數學反思能力是在數學反思活動過程中表現出來的一種穩定的個性心理特征。從理論的高度思考與研究數學反思能力的本質及其相關問題，對數學教學與學習有著十分重要的作用與價值。由于數學反思能力與反思有著天然的聯系，所以，我們先討論反思的含義。反思的思想由來已久：我國古代就有“捫心自問”“吾日三省吾身”等經典說法；西方哲學史上從第一位哲學家泰勒斯，到蘇格拉底、柏拉圖、亞里士多德，再到笛卡兒、康德，都隨時在自己的思想園地里檢討種種思想問題，在進行反思。在現實的教育研究與學術討論中，反思也是一個高頻詞，但是人們對反思的含義卻仁者見仁，智者見智，通常有以下幾種見解。（一）反思是一種心理活動洛克在人類理解論中，談到“反省”是對獲得觀念的心靈的返觀自照。在這種返觀自照中，心靈獲得不同于感覺得來的觀念的觀念。洛克所說之“反省”（即我們所說的反思）是人們自覺地把心理活動作為活動對象的一種認識活動，是對思維的思維。反思的結果是得到不同于感覺得來的觀念的觀念，他強調的是觀念的來源。這里把反思看成了一種“內省”的心理活動。（二）反思是一種認識論方法斯賓諾莎把自己的認識論方法稱做“反思的知識”，而“反思的知識”，即“觀念的觀念”是認識所得的結果，它本身又是理智認識的對象。對于認識結果的觀念的再認識和對于這種再認識之觀念的再認識這種理智向著認識深度的不斷推進，即“反思”。他以既得觀念為對象，通過不斷反思抽象使既得觀念不斷升華形成新的認識。因而思維的結果是他“反思”的對象，獲得新的觀念是其反思的目的。（三）反思是一種思維活動，有“思考”之意杜威的反思是“對任何信念或假定的知識形式，根據支持它的基礎和它趨于達到的進一步結論而進行的堅持不懈的和仔細的考慮”，它包括“這樣的一種有意識和自愿的努力”，即在證據、理性和堅實基礎上建立的信念。杜威所說的“考慮”即是一種反思思維活動。（四）反思是一個過程博伊德與費勒斯認為反思是“一個變化的理性觀念的自我（與自我聯系的自我和與世界聯系的自我）澄清經驗的意義的過程”。1博伊德和費勒斯的反思突出了“自我價值”，明確了反思的對象是“自我”，反思的目的是“澄清經驗的意義”構建“自我”連續體，突出了反思的完整過程。（五）反思是一種能力伯萊克認為“反思是立足于自我之外的批判性地考察自己行動及情景的能力，它與思維的批判性是一致的”。（六）反思是元認知熊川武教授用“元認知”這個術語來代替反思這個概念。他指出，從元認知理論的角度來看，反思就是主體對自己的認知活動過程，以及活動過程中涉及的有關的事物（材料、信息、思維、結果等）的特征的反向思考，通過調節，控制自身的認知過程，以達到認知的目的。2盡管在不同時期和不同場合人們理解和應用反思的含義不同，但對反思所思考問題的角度以及反思的對象和反思的目的的認識是共同的。反思的對象是思維本身，而反思的目的是為了指導未來的思維活動。因此，我們認為從元認知的角度來研究數學反思和數學反思能力，能比較全面地透視數學反思及數學反思能力的本質。數學反思就是認知者對自身數學思維活動過程和結果的自我覺察、自我評價、自我探究、自我監控、自我調節；而數學反思能力就是在數學反思活動過程中反映出來的一種穩定的個性心理特征，是元認知在數學思維中發揮作用的基本形式。因此數學反思能力就是認知者在數學思維活動中對自己數學認知過程的自我意識、自我評價、自我探究、自我監控、自我調節的能力。它是以反思的體驗、反思的知識和反思的技能為基礎，并在對數學認知過程的評價、控制和調節中顯示出來的高層次思維活動，它對數學認知活動起指導、支配、決定、監控的作用。因此，數學反思能力中的核心就是進行數學反思。二、數學反思的核心要素通過分析數學反思的過程我們可以知道，數學反思的知識、技能與數學反思的內容是數學反思的核心要素。這些要素是在數學反思體驗的基礎上形成發展起來的。（一）數學反思的知識1.數學反思的陳述性知識：掌握有關數學反思過程中通常有哪些策略和技能可以應用，而且了解這些技能和策略的“長處”和“短處”以及在什么情況下應用比較合適的知識。2.數學反思的程序性知識：有關如何使用各種策略、技能進行數學反思的知識，即掌握各種策略和技能的操作方法。3.數學反思的情景性知識：它告訴人們應該在什么情景之中運用什么知識和技能，即時間、地點、環境（包括社會文化、人際關系等）以及為什么要采用這些知識和技能的知識。（二）數學反思的技能1.經驗技能：認知主體借助于經驗對認知過程、結果及相關事物的直覺的反思能力。2.理論技能：認知主體以特定的理論為根據進行相對理性的反思能力。3.分析技能：是理解解釋描述認知過程、結果必需的，是指能夠選擇最優的策略，對數學思維活動進行科學分析的能力。4.評價技能：主體根據不同的認知目的對認知過程及結果以及所采用的策略等進行價值判斷的能力，即能夠對分析的結果進行效能判斷并正確歸因的能力。5.策略技能：能夠恰當地應用各種策略進行反思的能力，即對反思中找出的問題設計改進的途徑和方法的能力。6.實踐技能：能夠將反思得到的結果付諸實踐以達到調節和控制目的的能力。其實，數學反思的知識與技能還需要動機、興趣、毅力等因素的維持與推進。認知主體能在數學反思過程中長期堅持不懈地保持充沛的精力，并能堅韌頑強、不屈不撓地去克服困難、排除干擾、形成并完善自己的數學知識體系，是與這些因素息息相關的。（三）數學反思的內容1.從數學反思活動發生的時間來看數學反思的主要作用是對數學思維活動的監察、評價、調控，因此它可以發生在數學思維活動的前、中、后：在數學思維活動之前，反思思維計劃的合理性和有效性；在數學思維活動中反思思維的嚴密性、準確性、開放性等；在數學思維活動后，反思整個思維計劃的執行結果，對得與失進行總結。其實，數學思維過程中隨時都有誘發反思的因素，而數學思維過程中的反思是一種內隱的過程，無法從外表覺察，故只有采用口語報告法或事后回憶法方能體會到。因此數學思維活動前和中的反思一般很難引起注意，而對數學思維活動結束后的反思都比較重視，研究的也比較多，這是由于數學思維活動結束后，活動的結果已經很明顯，問題也很容易暴露，而且事后回憶往往比較好操作。2.從數學思維活動的過程來看數學思維活動有三個要素：對象、過程、結果。因此數學反思也可以相應地分為對數學思維活動對象、過程和結果的反思。對數學思維活動對象的反思包括：對數學問題的問題特征進行反思，對數學問題所涉及的數學知識、思想方法的反思，對數學命題、數學語言以及與數學思維活動有聯系的問題的反思。對數學思維活動過程的反思包括：對思考的過程、理解的過程、推理的過程、運算的過程、想象的過程（即解決問題過程）的反思。對數學思維活動結果的反思包括對解題思路的反思、對語言表述的反思以及對數學結論進行的反思。3.從數學反思問題的性質來看（1）經驗性反思：旨在總結解決問題的經驗，著重反思問題涉及了哪些知識，哪些能力。（2）概括性反思：旨在對同一類數學問題的解法進行篩選、概括，形成一種解題思路，進而上升為一種數學思想。（3）創造性反思：對數學問題的重新認識，以及推廣、引申和發展。（4）錯誤性反思：注重對解答問題的失誤的糾正、辨析，從而找到產生問題的根源。如果對整個數學反思的過程作一剖析，反思的內容可概括為以下三部分：第一，對數學問題解決過程中所使用的各種數學技能或技術的有效性進行反思；第二，對數學問題解決過程中所使用的學習策略的合理性進行反思；第三，對數學思維活動的目標以及思維活動的動力非智力因素進行反思。前面所談的反思的大部分內容都可歸入經驗性反思中去，而（2）（3）是更深層次的反思，是給數學思維活動提供持久的動力和更高的有效性的反思。三、數學反思能力的基本特征（一）強烈的問題意識數學反思能力使認知者在數學思維過程中有了心理上的一道“警戒線”，使得主體對“問題”的出現有一種敏感性，能主動地去監視思維過程，收集有關信息，一旦可疑即進入反思的狀態，這是他們主動關心思維的目的與結果以及解題技能技巧的有效性而形成的直覺的自我覺察意識。（二）高度的責任心數學反思能力表現為反思者對自己學習和前途高度負責的精神，因而能夠意識到問題的存在，能夠以更高的標準檢查思維活動過程中的得與失，能夠縱橫比較地分析與思考思維過程中的一些現象，正確地評估思維中出現的一些問題，主動地調節認知過程，支配數學思維的發展方向。（三）執著的精神數學知識的高度抽象性和數學問題的復雜性使得在數學思維的過程中更易產生困難，并且更深層次的反思在某種程度上也是一種自我否定的過程，是一種誘發痛苦的行為，有時會動搖其信念、改變其態度、削弱其意志以及影響其價值觀，因而較高水平的數學反思者有忍受挫折、克服困難、長時間反思的執著的精神和堅強的毅力，能夠為進行反思的思維活動提供不竭的動力。（四）更大的開放性和靈活性思維的開放性和靈活性主要表現在：1.更易接納新信息，對思維過程產生的信息敏感并能及時吸收，在制訂改進措施時能夠聽取別人的建議；2.對現成的結論如課本知識及別人的建議持有一種“健康”的懷疑，不機械地接受、盲從或拒絕，而會根據自己的經驗進行分析比較，有選擇性地吸收；3.能夠恰當地評價自己，對自己的缺點能夠正確地進行估計并能采取積極有效的措施。（五）深刻的探究性多方面多角度對數學問題進行探索和研究，對收集的各種改進方案進行評價、估計，按反思的結果去行動，有選擇地進行最優處理，而不滿足于一般性地解決。（六）良好的數學思維品質和認知結構數學反思能力水平較高者，由于對思維過程有很強的覺察、調節、控制能力，因而表現出良好的具有批判性、深刻性、廣闊性的數學思維品質和堅強的意志力，從而對學習產生更高的期望、更高的堅持性和更多的投入，最終成為一個自律性的終身學習者。3四、數學反思能力發展的一般特點數學反思能力的發展與數學思維水平有關。初中生和高中生的數學思維水平是有區別的，盡管初中生開始能夠有意識地調節、支配、檢查和分析自己的思維過程，在學習上和生活上有更大的獨立性和自覺性，但批判性還是不夠的，容易產生片面性和表面性；在運算過程中雖能自覺地檢查和發現錯誤并進行糾正，但是不善于尋找錯誤的原因，也不能及時地調整解題步驟和方法；運算的正確率較高，但不能正確地選取一些結論和有用條件；在推理過程中雖能占用數學材料，但推理的目的性不強。在正常情況下，高中生思維的批判性比較強：他們在考慮問題時，不肯盲從，喜歡探求事物表面現象的根本原因；他們在提出爭論的觀點時，往往要求自己給出具有一定說服力的邏輯論證。但是對高中生而言，反思的意識仍然不強，反思的技能不高，反思的方法欠缺，使得他們對一些問題的理解帶有片面性和主觀性，容易產生死摳教條的毛病。由于反思能力屬于認知活動的