1、Mathematical Modeling,Tao,Yu School of Mathematics,Physics,and Biology Engineering IMUST ,第五章 微分方程模型,5.1 追擊問題 5.2 山崖高度的估算 5.3 經濟增長模型 5.4 正規戰與游擊戰 5.5 萬有引力定律的發現,動態模型,描述對象特征隨時間(空間)的演變過程,分析對象特征的變化規律,預報對象特征的未來性態,研究控制對象特征的手段,根據函數及其變化率之間的關系確定函數,微分方程建模,根據建模目的和問題分析作出簡化假設,按照內在規律或用類比法建立微分方程,5.1 追擊問題,應用數學知識實現某種

2、想法 研究要步步深入,我方巡邏艇發現敵方潛水艇。與此同時敵方潛水艇也發現了我方巡邏艇，并迅速下潛逃逸。設兩艇間距離為60哩，潛水艇最大航速為30節而巡邏艇最大航速為60節，問巡邏艇應如何追趕潛水艇。,這一問題屬于對策問題，較為復雜。討論以下簡單情形：,假設潛艇發現自己目標已暴露，立即下潛，并沿著直 線方向全速逃逸，逃逸方向我方并不知道。,設巡邏艇在A處發現位于B處的潛水艇，取極坐標，以B為極點，BA為極軸，設巡邏艇追趕路徑在此極坐標下的方程為r=r()，見圖1。,由題意， ，故ds=2dr,圖1可看出，,故有:,先使自己到極點的距離等于潛艇到極點的距離,然后按對數螺線航行，即可追上潛艇。 （用

3、數學建模解決實際問題即用數學思想實現某種思想）,追趕方法如下：,5.2 山崖高度的估算,假如你站在崖頂且身上帶著一只具有跑表功 能的計算器，你也許會出于好奇心想用扔下 一塊石頭聽回聲的方法來估計山崖的高度， 假定你能準確地測定時間，你又怎樣來推算 山崖的高度呢，請你分析一下這一問題。,方法一,我學過微積分，我可以做 得更好，呵呵。,令k=K/m，解得,代入初始條件 v(0)=0，得c=g/k，故有,再積分一次，得：,若設k=0.05并仍設 t=4秒，則可求 得h73.6米。,聽到回聲再按跑表，計算得到的時間中包含了 反應時間,進一步深入考慮,不妨設平均反應時間 為0.1秒 ，假如仍 設t=4秒

4、，扣除反應時間后應 為3.9秒，代入 式，求得h69.9米。,多測幾次，取平均值,再一步深入考慮,5.3 經濟增長模型,增加生產 發展經濟,增加投資,增加勞動力,提高技術,建立產值與資金、勞動力之間的關系,研究資金與勞動力的最佳分配，使投資效益最大,調節資金與勞動力的增長率，使經濟(生產率)增長,1. 道格拉斯(Douglas)生產函數,產值 Q(t),F為待定函數,資金 K(t),勞動力 L(t),技術 f(t),= f0,模型假設,靜態模型,每個勞動力的產值,每個勞動力的投資,z 隨著 y 的增加而增長，但增長速度遞減,1. 道格拉斯(Douglas)生產函數,含義？,Douglas生產函

5、數,QK 單位資金創造的產值,QL 單位勞動力創造的產值, 資金在產值中的份額,1- 勞動力在產值中的份額,更一般的道格拉斯(Douglas)生產函數,1. Douglas生產函數,w , r , K/L ,求資金與勞動力的分配比例K/L(每個勞動力占有的資金) ，使效益S最大,資金和勞動力創造的效益,資金來自貸款，利率 r,勞動力付工資 w,2）資金與勞動力的最佳分配（靜態模型）,3) 經濟(生產率)增長的條件 (動態模型),要使 Q(t) 或 Z(t)=Q(t)/L(t) 增長, K(t), L(t)應滿足的條件,模型假設,投資增長率與產值成正比 (用一定比例擴大再生產),勞動力相對增長率

6、為常數,Bernoulli方程,產值Q(t)增長,3) 經濟增長的條件,勞動力增長率小于初始投資增長率,每個勞動力的產值 Z(t)=Q(t)/L(t)增長,3) 經濟增長的條件,5.4 正規戰與游擊戰,戰爭分類：正規戰爭，游擊戰爭，混合戰爭,只考慮雙方兵力多少和戰斗力強弱,兵力因戰斗及非戰斗減員而減少，因增援而增加,戰斗力與射擊次數及命中率有關,建模思路和方法為用數學模型討論社會領域的實際問題提供了可借鑒的示例,第一次世界大戰Lanchester提出預測戰役結局的模型,一般模型,每方戰斗減員率取決于雙方的兵力和戰斗力,每方非戰斗減員率與本方兵力成正比,甲乙雙方的增援率為u(t), v(t),f

7、, g 取決于戰爭類型,x(t) 甲方兵力，y(t) 乙方兵力,模型假設,模型,正規戰爭模型,甲方戰斗減員率只取決于乙方的兵力和戰斗力,雙方均以正規部隊作戰,忽略非戰斗減員,假設沒有增援,f(x, y)=ay, a 乙方每個士兵的殺傷率,a=ry py, ry 射擊率， py 命中率,正規戰爭模型,為判斷戰爭的結局，不求x(t), y(t)而在相平面上討論 x 與 y 的關系,平方律 模型,游擊戰爭模型,雙方都用游擊部隊作戰,甲方戰斗減員率還隨著甲方兵力的增加而增加,f(x, y)=cxy, c 乙方每個士兵的殺傷率,c = ry py ry射擊率 py 命中率,游擊戰爭模型,線性律 模型,混合戰爭模型,甲方為游擊部隊，乙方為正規部隊,乙方必須10倍于甲方的兵力,設 x0=100, rx/ry=1/2, px=0.1, sx=1(km2), sry=1(m2),5.5 萬有引力定律的發現,背景,航海業發展,天文觀測精確,“地心說”動搖,哥白尼：“日心說”,伽里略：落體運動,開普勒：行星運動三定律,變速運動的計算方法,牛頓：一切運動有力學原因,牛頓運動三定律,牛頓：研究變速運動，發明微積分（流數法）,開普勒三定律,牛頓運動第二定律,萬有引力定律,自然科學之數學原理(1687),模型假設,極坐標系 (r,),太陽 (0,0),1. 行星軌道,a長半