1、12.4離散型隨機變量及其分布列,基礎知識自主學習,課時作業,題型分類深度剖析,內容索引,基礎知識自主學習,1.離散型隨機變量,知識梳理,隨著試驗結果變化而 稱為隨機變量，常用字母X，Y，表示，所有取值可以 的隨機變量，稱為離散型隨機變量.,2.離散型隨機變量的分布列及性質,(1)一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，xi，xn，X取每一個值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，則表,變化的變量,一一列出,稱為離散型隨機變量X的 ，簡稱為X的分布列，有時也用等式P(Xxi)pi，i1,2，n表示X的分布列. (2)離散型隨機變量的分布列的性質 ；,pi0，i1,2，n,概

2、率分布列,(1)兩點分布 若隨機變量X服從兩點分布，即其分布列為,3.常見離散型隨機變量的分布列,其中p 稱為成功概率.,P(X1),(2)超幾何分布 一般地，在含有M件次品的N件產品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(Xk) ，k0,1,2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*.如果隨機變量X的分布列具有下表形式，,則稱隨機變量X服從超幾何分布.,判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”) (1)拋擲均勻硬幣一次，出現正面的次數是隨機變量.() (2)離散型隨機變量的分布列描述了由這個隨機變量所刻畫的隨機現象.() (3)某人射擊時命中的概率為0.5，此人射擊三次命中的

3、次數X服從兩點分布.(),(4)從4名男演員和3名女演員中選出4名演員，其中女演員的人數X服從超幾何分布.() (5)離散型隨機變量的分布列中，隨機變量取各個值的概率之和可以小于1.() (6)離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的.(),考點自測,1.(教材改編)拋擲甲、乙兩顆骰子，所得點數之和為X，那么X4表示的事件是 A.一顆是3點，一顆是1點 B.兩顆都是2點 C.甲是3點，乙是1點或甲是1點，乙是3點或兩顆都是2點 D.以上答案都不對,答案,解析,根據拋擲兩顆骰子的試驗結果可知，C正確.,答案,解析,即“X0”表示試驗失敗，“X1”表示試驗成功，,2.設某項試驗的成功率是失

4、敗率的2倍，用隨機變量X去描述1次試驗 的成功次數，則P(X0)等于,設X的分布列為,3.從標有110的10支竹簽中任取2支，設所得2支竹簽上的數字之和為X，那么隨機變量X可能取得的值有 A.17個 B.18個 C.19個 D.20個,答案,解析,X可能取得的值有3,4,5，19，共17個.,4.從裝有3個紅球、2個白球的袋中隨機取出2個球，設其中有X個紅球，則隨機變量X的分布列為,答案,解析,0.1,0.6,0.3,X的所有可能取值為0,1,2，,X的分布列為,5.(教材改編)一盒中有12個乒乓球，其中9個新的、3個舊的，從盒中任取3個球來用，用完后裝回盒中，此時盒中舊球個數X是一個隨機變量

5、，則P(X4)的值為_.,答案,解析,由題意知取出的3個球必為2個舊球、1個新球，,題型分類深度剖析,題型一離散型隨機變量的分布列的性質,例1 (1)設X是一個離散型隨機變量，其分布列為,答案,解析,則q等于,解答,(2)設離散型隨機變量X的分布列為,求2X1的分布列.,由分布列的性質知 0.20.10.10.3m1，得m0.3.,從而2X1的分布列為,首先列表為,引申探究,解答,1.在本例(2)的條件下，求隨機變量|X1|的分布列.,由(2)知m0.3，列表,P(1)P(X0)P(X2)0.20.10.3，,P(0)P(X1)0.1，P(2)P(X3)0.3，,P(3)P(X4)0.3.,故

6、|X1|的分布列為,2.若本例(2)中條件不變，求隨機變量X2的分布列.,解答,依題意知的值為0,1,4,9,16.,P(0)P(X20)P(X0)0.2，,P(1)P(X21)P(X1)0.1，,p(4)P(X24)P(X2)0.1，,P(9)P(X29)P(X3)0.3，,P(16)P(X216)P(X4)0.3，,(1)利用分布列中各概率之和為1可求參數的值，此時要注意檢驗，以保證每個概率值均為非負數. (2)求隨機變量在某個范圍內的概率時，根據分布列，將所求范圍內各隨機變量對應的概率相加即可，其依據是互斥事件的概率加法公式.,思維升華,跟蹤訓練1設隨機變量X的分布列為P(X )ak(k

7、1,2,3,4,5). (1)求a；,解答,解答,解答,命題點1與排列組合有關的分布列的求法 例2(2015重慶改編)端午節吃粽子是我國的傳統習俗.設一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同.從中任意選取3個. (1)求三種粽子各取到1個的概率；,解答,題型二離散型隨機變量的分布列的求法,令A表示事件“三種粽子各取到1個”，,(2)設X表示取到的豆沙粽個數，求X的分布列.,解答,X的所有可能值為0,1,2，且,綜上知，X的分布列為,命題點2與互斥事件有關的分布列的求法 例3(2015安徽改編)已知2件次品和3件正品混放在一起，現需要通過檢測將其區分，每

8、次隨機檢測一件產品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結束. (1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；,解答,記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A，,(2)已知每檢測一件產品需要費用100元，設X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位：元)，求X的分布列.,解答,X的可能取值為200,300,400.,P(X400)1P(X200)P(X300),故X的分布列為,命題點3與獨立事件(或獨立重復試驗)有關的分布列的求法 例4 (2016蚌埠模擬)甲乙兩人進行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未

9、出現連勝，則判定獲勝局數多者贏得比賽.假設每局甲獲勝的概率為 ，乙獲勝的概率為 ，各局比賽結果相互獨立. (1)求甲在4局以內(含4局)贏得比賽的概率； (2)記X為比賽決出勝負時的總局數，求X的分布列.,解答,用A表示“甲在4局以內(含4局)贏得比賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“第k局乙獲勝”.,(1)P(A)P(A1A2)P(B1A2A3)P(A1B2A3A4),(2)X的可能取值為2,3,4,5.,P(A1)P(A2)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4),P(X2)P(A1A2)P(B1B2),P(X3)P(B1A2A3)P(A1B2B3),P

10、(X4)P(A1B2A3A4)P(B1A2B3B4),故X的分布列為,求離散型隨機變量X的分布列的步驟： (1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值； (2)求X取每個值的概率； (3)寫出X的分布列. 求離散型隨機變量的分布列的關鍵是求隨機變量所取值對應的概率，在求解時，要注意應用計數原理、古典概型等知識.,思維升華,跟蹤訓練2(2016湖北部分重點中學第一次聯考)連續拋擲同一顆均勻的骰子，令第i次得到的點數為ai，若存在正整數k，使a1a2ak6，則稱k為你的幸運數字. (1)求你的幸運數字為3的概率；,解答,設“連續拋擲3次骰子，和為6”為事件A， 則它包含事件A1，A2，A3，其中A1：

11、三次恰好均為2；,A2：三次中恰好1,2,3各一次；A3：三次中有兩次均為1，一次為4.,A1，A2，A3為互斥事件，則,(2)若k1，則你的得分為6分；若k2，則你的得分為4分；若k3，則你的得分為2分；若拋擲三次還沒找到你的幸運數字，則記0分，求得分的分布列.,解答,由已知得的可能取值為6,4,2,0，,故的分布列為,題型三超幾何分布,例5(2017濟南質檢)PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動力學當量直徑小于或等于2.5微米的可入肺顆粒物.根據現行國家標準GB30952012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質量為一級；在35微克/立方米75微克/立方米之間空氣質量為二級；在75

12、微克/立方米以上空氣質量為超標. 從某自然保護區2016年全年每天的PM2.5監測數據中隨機地抽取10天的數據作為樣本，監測值頻數如下表所示：,(1)從這10天的PM2.5日均值監測數據中，隨機抽出3天，求恰有一天空氣質量達到一級的概率；,解答,記“從10天的PM2.5日均值監測數據中，隨機抽出3天，恰有一天空氣質量達到一級”為事件A，,(2)從這10天的數據中任取3天數據，記表示抽到PM2.5監測數據超標的天數，求的分布列.,解答,依據條件，服從超幾何分布，其中N10，M3，n3，且隨機變量的可能取值為0,1,2,3.,故的分布列為,(1)超幾何分布的兩個特點 超幾何分布是不放回抽樣問題；

13、隨機變量為抽到的某類個體的個數. (2)超幾何分布的應用條件 兩類不同的物品(或人、事)； 已知各類對象的個數； 從中抽取若干個個體.,思維升華,跟蹤訓練3某大學志愿者協會有6名男同學，4名女同學.在這10名同學中，3名同學來自數學學院，其余7名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院.現從這10名同學中隨機選取3名同學，到希望小學進行支教活動.(每位同學被選到的可能性相同) (1)求選出的3名同學來自互不相同學院的概率；,解答,設“選出的3名同學來自互不相同的學院”為事件A，,(2)設X為選出的3名同學中女同學的人數，求隨機變量X的分布列.,解答,隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3.

14、,故隨機變量X的分布列是,典例某射手有5發子彈，射擊一次命中概率為0.9.如果命中就停止射擊，否則一直到子彈用盡，求耗用子彈數的分布列.,離散型隨機變量的分布列,現場糾錯系列17,錯解展示,現場糾錯,糾錯心得,(1)隨機變量的分布列，要弄清變量的取值，還要清楚變量的每個取值對應的事件及其概率.,(2)驗證隨機變量的概率和是否為1.,返回,解P(1)0.9， P(2)0.10.90.09， P(3)0.10.10.90.009， P(4)0.130.90.000 9， P(5)0.140.000 1. 的分布列為,返回,課時作業,1.(2016太原模擬)某射手射擊所得環數X的分布列為,答案,解析

15、,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,根據X的分布列知，所求概率為0.280.290.220.79.,則此射手“射擊一次命中環數大于7”的概率為,A.0.28 B.0.88 C.0.79 D.0.51,2.(2016岳陽模擬)設X是一個離散型隨機變量，其分布列為,答案,解析,則q等于,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.(2016鄭州模擬)已知隨機變量X的分布列為P(Xi) (i1,2,3,4)，則P(2X4)等于,答案,解析,由分布列的性質知，,則a5，,1,2,3,4,5,6,7

16、,8,9,10,11,12,13,4.(2016湖北孝感漢川期末)設隨機變量的分布列為P(i)a( )i，i1,2,3，則實數a的值為,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.(2017武漢調研)從裝有3個白球，4個紅球的箱子中，隨機取出3個球，則恰好是2個白球，1個紅球的概率是,答案,解析,如果將白球視為合格品，紅球視為不合格品，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.(2017長沙月考)一只袋內裝有m個白球，nm個黑球，連續不放回地從袋中取球，直到取出黑球為止，設此時取出了X個白球，下列概率等于 的是,答案,解析,A.P(X3)

17、 B.P(X2)C.P(X3) D.P(X2),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.甲、乙兩隊在一次對抗賽的某一輪中有3個搶答題，比賽規定：對于每一個題，沒有搶到題的隊伍得0分，搶到題并回答正確的得1分，搶到題但回答錯誤的扣1分(即得1分)；若X是甲隊在該輪比賽獲勝時的得分(分數高者勝)，則X的所有可能取值是_.,答案,解析,1,0,1,2,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,X1，甲搶到一題但答錯了，而乙搶到了兩個題目都答錯了，,X0，甲沒搶到題，乙搶到題目答錯至少2個題或甲搶到2題，但答時一對一錯，而乙答錯一個題目，,X1，甲搶到1題

18、且答對，乙搶到2題且至少答錯1題或甲搶到3題，且1錯2對，,X2，甲搶到2題均答對，,X3，甲搶到3題均答對.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.隨機變量X的分布列如下：,其中a，b，c成等差數列，則P(|X|1)_，公差d的取值范圍是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,a，b，c成等差數列，2bac.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.設離散型隨機變量X的分布列為,答案,解析,若隨機變量Y|X2|，則P(Y2)_.,0.5,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,由分布列

19、的性質，知,0.20.10.10.3m1，m0.3.,由Y2，即|X2|2，得X4或X0，,P(Y2)P(X4或X0) P(X4)P(X0),0.30.20.5.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,10.袋中有4只紅球3只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設得分為隨機變量，則P(6)_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.(2015山東改編)若n是一個三位正整數，且n的個位數字大于十位數字，十位數字大于百位數字，則稱n為“三位遞增數”(如137,359,567等).在某次數學趣味活動中，每位參加

20、者需從所有的“三位遞增數”中隨機抽取1個數，且只能抽取一次.得分規則如下：若抽取的“三位遞增數”的三個數字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1分；若能被10整除，得1分. (1)寫出所有個位數字是5的“三位遞增數” ；,解答,個位數是5的“三位遞增數”有125,135,145,235,245,345.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)若甲參加活動，求甲得分X的分布列.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,隨機變量X的取值為0，1,1，因此,所以X的分布列為,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,12.(2016遂寧