1、八年級下冊,18.2.1.2 矩形的判定,學(xué)習(xí)目標(biāo),經(jīng)歷矩形判定定理的猜想與證明過程，理解并掌握矩形的判定定理,能應(yīng)用矩形的判定解決簡單的證明題和計算題.,1,2,問題1 矩形的定義是什么？,有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.,問題2 矩形有哪些性質(zhì)？,矩形,邊：,角：,對角線：,對邊平行且相等,四個角都是直角,對角線互相平分且相等,復(fù)習(xí)與思考,思考 工人師傅在做門窗或矩形零件時，如何確保圖形是矩形呢？現(xiàn)在師傅帶了兩種工具（卷尺和量角器），他說用這兩種工具的任意一種就可以解決問題，這是為什么呢？,這節(jié)課我們一起探討矩形的判定吧.,思考探究,類比平行四邊形的定義也是判定平行四邊形的一種方法，那

2、么矩形的定義也是判定矩形的一種方法.,問題1 除了定義以外，判定矩形的方法還有沒有呢？,矩形是特殊的平行四邊形.,類似地，那我們研究矩形的性質(zhì)的逆命題是否成立.,探究點(diǎn)一：對角線相等的平行四邊形是矩形,活動探究,問題2 上節(jié)課我們已經(jīng)知道“矩形的對角線相等”，反過來，小明猜想對角線相等的四邊形是矩形，你覺得對嗎？,我猜想：對角線相等的平行四邊形是矩形.,不對，等腰梯形的對角線也相等.,不對，矩形是特殊的平行四邊形，所以它的對角線不僅相等且平分.,思考 你能證明這一猜想嗎？,活動探究,證一證 已知：如圖,在ABCD中,AC , DB是它的兩條對角線, AC=DB. 求證：ABCD是矩形. 證明：

3、AB = DC,BC = CB,AC = DB, ABCDCB , ABC = DCB. ABCD, ABC + DCB = 180, ABC = 90, ABCD是矩形（矩形的定義）.,活動探究,矩形的判定定理： 對角線相等的平行四邊形是矩形.,歸納總結(jié),幾何語言描述： 在平行四邊形ABCD中，AC=BD， 平行四邊形ABCD是矩形.,活動探究,思考 數(shù)學(xué)來源于生活，事實(shí)上工人師傅為了檢驗(yàn)兩組對邊相等的四邊形窗框是否成矩形，一種方法是量一量這個四邊形的兩條對角線長度，如果對角線長相等，則窗框一定是矩形，你現(xiàn)在知道為什么了嗎？,對角線相等的平行四邊形是矩形.,活動探究,解：四邊形ABCD是平行

4、四邊形，,OA=OC= AC，,OB=OD= BD.,又OA=OD，,AC=BD，,四邊形ABCD是矩形，,BAD=90.,又OAD=50，,OAB=40.,典例精講,例2 如圖,矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F、G、H分別是AO、BO、CO、DO上的一點(diǎn),且AE=BF=CG=DH.求證:四邊形EFGH是矩形.,證明：,四邊形ABCD是矩形，,AC=BD（矩形的對角線相等)，,AO=BO=CO=DO（矩形的對角線互相平分），, AE=BF=CG=DH，,OE=OF=OG=OH，,四邊形EFGH是平行四邊形，,EO+OG=FO+OH，,即EG=FH， 四邊形EFGH是矩形.,典例

5、精講,1.如圖，在ABCD中，AC和BD相交于點(diǎn)O，則下面條件能判定ABCD是矩形的是（）,AAC=BD BAC=BC CAD=BC DAB=AD,A,舉一反三,2.如圖 ABCD中, 1= 2中.此時四邊形ABCD是矩形嗎？為什么？,1,2,解：四邊形ABCD是矩形.理由如下： 四邊形ABCD是平行四邊形 AO=CO,DO=BO. 又 1= 2， AO=BO， AC=BD， 四邊形ABCD是矩形.,舉一反三,問題1 上節(jié)課我們研究了矩形的四個角，知道它們都是直角，它的逆命題是什么？成立嗎？,逆命題：四個角是直角的四邊形是矩形.,成立,問題2 至少有幾個角是直角的四邊形是矩形？,猜測：有三個角

6、是直角的四邊形是矩形.,探究點(diǎn)二：有三個角是直角的四邊形是矩形,活動探究,已知：如圖,在四邊形ABCD中,A=B=C=90.求證：四邊形ABCD是矩形.,證明: A=B=C=90, A+B=180,B+C=180， ADBC,ABCD. 四邊形ABCD是平行四邊形， 四邊形ABCD是矩形.,證一證,活動探究,矩形的判定定理： 有三個角是直角的四邊形是矩形.,歸納總結(jié),幾何語言描述： 在四邊形ABCD中， A=B=C=90, 四邊形ABCD是矩形.,活動探究,思考 一個木匠要制作矩形的踏板他在一個對邊平行的長木板上分別沿與長邊垂直的方向鋸了兩次，就能得到矩形踏板為什么？,有三個角是直角的四邊形是

7、矩形.,活動探究,例3 如圖， ABCD的四個內(nèi)角的平分線分別相交于E、F、G、H，求證：四邊形 EFGH為矩形,證明：在ABCD中，ADBC,DAB+ABC=180.,AE與BG分別為DAB、ABC的平分線,四邊形EFGH是矩形,同理可證AED=EHG=90,AFB=90，,GFE=90., BAE+ ABF= DAB+ ABC=90.,典例精講,例4 如圖，在ABC中，ABAC，ADBC，垂足為D，AN是ABC外角CAM的平分線，CEAN，垂足為E，求證：四邊形ADCE為矩形,證明：在ABC中，ABAC，ADBC， BADDAC，即DAC BAC. 又AN是ABC外角CAM的平分線， MA

8、ECAE CAM, DAEDACCAE (BACCAM)90. 又ADBC，CEAN， ADCCEA90, 四邊形ADCE為矩形,典例精講,在判斷“一個四邊形門框是否為矩形”的數(shù)學(xué)活動課上，一個合作學(xué)習(xí)小組的4位同學(xué)分別擬定了如下的方案，其中正確的是（） A測量對角線是否相等 B測量兩組對邊是否分別相等 C測量一組對角是否都為直角 D測量其中三個角是否都為直角,D,舉一反三,1.下列各句判定矩形的說法是否正確？,（1）對角線相等的四邊形是矩形；,（2）對角線互相平分且相等的四邊形是矩形；,（3）有一個角是直角的四邊形是矩形；,（5）有三個角是直角的四邊形是矩形；,（6）四個角都相等的四邊形是矩

9、形；,（7）對角線相等，且有一個角是直角的四邊形是矩形；,（4）有三個角都相等的四邊形是矩形;,（8）一組對角互補(bǔ)的平行四邊形是矩形.,隨堂檢測,2.如圖,直線EFMN,PQ交EF、MN于A、C兩點(diǎn),AB、CB、CD、AD分別是EAC、 MCA、 ACN、CAF的平分線,則四邊形ABCD是 （ ） A.梯形 B.平行四邊形 C.矩形 D.不能確定,C,隨堂檢測,3.如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，BAD=90，AB=5，BC=12，AC=13 求證：四邊形ABCD是矩形,證明：四邊形ABCD中，ABCD，BAD=90， ADC=90. 又ABC中，AB=5，BC=12，AC=13， 滿足1

10、32=52+122，即 ABC是直角三角形，且B=90， 四邊形ABCD是矩形,隨堂檢測,4.如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，延長OA到N，使ONOB，再延長OC至M，使CMAN.求證：四邊形NDMB為矩形,證明：四邊形ABCD為平行四邊形， AOOC，ODOB. ANCM，ONOB， ONOMODOB， 四邊形NDMB為平行四邊形，MNBD， 平行四邊形NDMB為矩形,隨堂檢測,5.如圖，ABC中，ABAC，AD是BC邊上的高，AE是BAC的外角平分線，DEAB交AE于點(diǎn)E，求證：四邊形ADCE是矩形,證明：ABAC，ADBC， BACB，BDDC. AE是BAC的外

11、角平分線， FAEEAC. BACBFAEEAC， BACBFAEEAC， AECD. 又DEAB， 四邊形AEDB是平行四邊形， AE平行且相等BD.,又BDDC， AE平行且等于DC， 故四邊形ADCE是平行四邊形. 又ADC90， 平行四邊形ADCE是矩形,隨堂檢測,課堂小結(jié),本節(jié)課都學(xué)到了什么？,有一個角是直角的平行四邊形是矩形.,對角線相等的平行四邊形是矩形.,有三個角是直角的四邊形是矩形.,運(yùn)用定理進(jìn)行計算和證明,矩形的判定,定義,判定定理,如圖，在梯形ABCD中，ADBC，B90，AD24cm，BC26cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AD方向向點(diǎn)D以1cm/s的速度運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿著CB方向向點(diǎn)B以3cm/s的速度運(yùn)動點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動 (1)經(jīng)過多長