1、2020年高中數(shù)學(xué) 空間向量與立體幾何 綜合檢測試題三一、選擇題1、下列說法中不正確的是()A平面的法向量垂直于與平面共面的所有向量B一個平面的所有法向量互相平行C如果兩個平面的法向量垂直，那么這兩個平面也垂直D如果a，b與平面共面且na，nb，那么n就是平面的一個法向量2、若直線l的方向向量為a，平面的法向量為n，能使l的是()Aa=(1，0，1)，n=(-2，0，0)Ba=(1，3，5)，n=(1，0，1)Ca=(0，2，1)，n=(-1，0，-1)Da=(1，-1，3)，n=(0，3，1)3、若向量a=(1，2)，b=(2，-1，2)，a，b夾角的余弦值為，則=()A2 B-2 C-2或

2、 D2或-4、已知A(1，2，1)，B(-1，3，4)，C(1，1，1)，則為()A B C D5、兩平行平面，分別經(jīng)過坐標原點O和點A(2，1，1)，且兩平面的一個法向量n=(-1，0，1)，則兩平面間的距離是()A1.5 B C D36、在正方體ABCDA1B1C1D1中，若E為A1C1的中點，則與直線CE垂直的直線是()AAC BBD CA1D DA1A7、已知a，b是兩條異面直線，A，Ba，C，Db，ACb，BDb且AB=2，CD=1，則直線a，b所成的角為()A30 B60 C90 D458、將圖中的等腰直角三角形ABC沿斜邊BC的中線折起得到空間四面體ABCD(如圖)，則在空間四面

3、體ABCD中，AD與BC的位置關(guān)系是()A相交且垂直 B相交但不垂直C異面且垂直 D異面但不垂直9、對于空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，有如下關(guān)系：，則()A四點O，A，B，C必共面 B四點P，A，B，C必共面C四點O，P，B，C必共面 D五點O，P，A，B，C必共面10、如圖，將邊長為1的正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，若點P滿足，則的值為()A B3 C D11、如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=BC=AA1，ABC=90，點E、F分別是棱AB、BB1的中點，則直線EF與BC1所成的角是()A45 B60 C90 D12012、已知正四棱錐SABCD的側(cè)棱長與底面

4、邊長都相等，E是SB的中點，則AE與平面SBC所成的角的余弦值為()A B C D二、填空題：13、若a=(2，-3，5)，b=(-3，1，-4)，則|a-2b|=_14、已知a=(2，-1，3)，b=(-1，4，-2)，c=(7，5，)，若a，b，c共面，則=_15、在平行六面體(即六個面都是平行四邊形的四棱柱)ABCD-ABCD中，AB=1，AD=2，AA=3，BAD=90，BAA=DAA=60，則AC的長為_16、如圖，已知二面角l的平面角為，ABBC，BCCD，AB在平面內(nèi)，BC在l上，CD在平面內(nèi)，若AB=BC=CD=1，則AD的長為_三、解答題：17、設(shè)a=(1，5，-1)，b=(

5、-2，3，5)(1)當(ab)(a-3b)時，求的值；(2)當(a-3b)(ab)時，求的值18、如圖所示，在四棱錐MABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)棱AM的長為3，且AM和AB，AD的夾角都是60，N是CM的中點，設(shè)a=，b=，c=，試以a，b，c為基向量表示出向量，并求BN的長19、如圖，在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，P是側(cè)棱CC1上一點，CP=m，試確定m使得直線AP與平面BDD1B1所成角為60.20、如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=.(1)求證：AO平面BCD；(2)求異面直線AB與CD所成角的余弦值21、

6、如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，AB=5，AC=6，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE=CF=，EF交BD于點H.將DEF沿EF折到DEF的位置，OD=.(1)證明：DH平面ABCD；(2)求二面角BDAC的正弦值22、如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PA底面ABCD，PA=AB=，點E是棱PB的中點(1)求直線AD與平面PBC的距離；(2)若AD=，求二面角AECD的平面角的余弦值參考答案1、D解析：只有當a、b不共線且a，b時，D才正確2、D解析：若l，則an=0，只有選項D中an=0.3、C解析：cosa，b=，所以=-2或.4、A解析：設(shè)P(x，y，z)，由得

7、：(x-1，y-2，z-1)=2(-1-x，3-y，4-z)，所以x=-，y=，z=3，即P，所以，所以=.故選A5、B解析：兩平面的一個單位法向量，故兩平面間的距離d=.6、B解析：以A為原點，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(圖略)設(shè)正方體的棱長為1，則A(0，0，0)，C(1，1，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，E，所以，=(1，1，0)，=(-1，1，0)，=(0，1，-1)，=(0，0，-1)顯然=-0=0，所以，即CEBD.7、B解析：因為，所以=1.cos=60，故選B8、C解析：在題圖中的等腰直角三角形ABC中，斜

8、邊上的中線AD就是斜邊上的高，則ADBC，翻折后如題圖，AD與BC變成異面直線，而原線段BC變成兩條線段BD、CD，這兩條線段與AD垂直，即ADBD，ADCD，故AD平面BCD，所以ADBC.9、B解析：由已知得，而=1，所以四點P，A，B，C共面10、D解析：由題可知=1，=1，=.=45，=45，=60.所以=2-111-1=.11、B解析：以點B為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)各棱長為2，則E(0，1，0)，F(xiàn)(0，0，1)，C1(2，0，2)，B(0，0，0)則=(0，-1，1)，=(2，0，2)，所以cos=，所以=60，所以直線EF與BC1所成的角為60.12、B解析：

9、設(shè)AE與平面SBC所成的角為，以底面中心O為原點，以射線OA為x軸，以射線OB為y軸，以射線OS為z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)底面邊長為，則A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(-1，0，0)，S(0，0，1)，E，所以=(-1，-1，0)，=(0，1，-1)，=，設(shè)平面SBC的法向量為n=(x，y，z)，則即令x=1，所以n=(1，-1，-1)，因為cos=，所以cos =.故選B13、解析：因為a-2b=(8，-5，13)，所以|a-2b|= =.14、解析：易知a與b不共線，由共面向量定理可知，要使a，b，c共面，則必存在實數(shù)x，y，使得c=xayb，即解得15、解析：因為，所以=14

10、9212cos 90213cos 60223cos 60=23，即|=.故AC的長為.16、解析：，所以=1112cos(-)=3-2cos .所以，即AD的長為.17、解析：(1)因為a=(1，5，-1)，b=(-2，3，5)，所以a-3b=(1，5，-1)-3(-2，3，5)=(1，5，-1)-(-6，9，15)=(7，-4，-16)ab=(1，5，-1)(-2，3，5)=(，5，-)(-2，3，5)=(-2，53，-5)因為(ab)(a-3b)，所以，解得=-.(2)由(a-3b)(ab)(7，-4，-16)(-2，53，-5)=07(-2)-4(53)-16(-5)=0，解得=.18、

11、解析：=所以=-abc，|2=2=(a2b2c2-2ab-2ac2bc)=，所以|=，即BN的長為.19、解析：建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)則=(-1，-1，0)，=(0，0，1)，=(-1，1，m)，=(-1，1，0)又由=0，=0知，則為平面BB1D1D的一個法向量設(shè)AP與平面BB1D1D所成的角為，則sin =|cos|=.依題意得=sin 60=，解得m=.故當m=時，直線AP與平面BDD1B1所成角為60.20、解析：(1)證明：連接OC，因為BO=DO

12、，AB=AD，所以AOBD.因為BO=DO，BC=CD，所以COBD.在AOC中，由已知可得AO=1，CO=.而AC=2，所以AO2CO2=AC2，所以AOC=90，即AOOC.因為BDOC=O，所以AO平面BCD.(2)以O(shè)為原點，如圖建立空間直角坐標系，則B(1，0，0)，D(-1，0，0)，C(0，0)，A(0，0，1)，=(-1，0，1)，=(-1，-，0)，所以cos=，所以異面直線AB與CD所成角的余弦值為.21、解析：(1)證明：由已知得ACBD，AD=CD.又由AE=CF得=，故ACEF.因此EFHD，從而EFDH.由AB=5，AC=6得DO=BO=4.由EFAC得=.所以O(shè)H

13、=1，DH=DH=3.于是DH2OH2=3212=10=DO2，故DHOH.又DHEF，而OHEF=H，所以DH平面ABCD.(2)如圖，以H為坐標原點，的方向為x軸正方向，的方向為y軸正方向，的方向為z軸正方向，建立空間直角坐標系Hxyz.則H(0，0，0)，A(-3，-1，0)，B(0，-5，0)，C(3，-1，0)，D(0，0，3)，=(3，-4，0)，=(6，0，0)，=(3，1，3)設(shè)m=(x1，y1，z1)是平面ABD的法向量，則即所以可取m=(4，3，-5)設(shè)n=(x2，y2，z2)是平面ACD的法向量，則即所以可取n=(0，-3，1)于是cosm，n=，sinm，n=.因此二面角BDAC的正弦值是.22、解析：(1)如圖，以A為坐標原點，射線AB、AD，AP分別為x軸、y軸，z軸正半軸，建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz.設(shè)D(0，a，0)，則B(，0，0)，C(，a，0)，P(0，0，)，E.因此，=，=(0，a，0)，=(，a，-)則=0，=0，所以AE平