重難點突破03三角形中的范圍與最值問題

目錄

1方法技巧總結

1、在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，一直都是這部分內容的重點、難點.解決這類問題,

通常有下列五種解題技巧：

(1)利用基本不等式求范圍或最值；

(2)利用三角函數求范圍或最值；

(3)利用三角形中的不等關系求范圍或最值；

(4)根據三角形解的個數求范圍或最值；

(5)利用二次函數求范圍或最值.

要建立所求量(式子)與已知角或邊的關系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函

數值，轉化為函數關系，將原問題轉化為求函數的值域問題.這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形

自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數的定義域)找完善，避免結果的范圍過大.

2、解三角形中的范圍與最值問題常見題型：

(1)求角的最值；

(2)求邊和周長的最值及范圍；

(3)求面積的最值和范圍.

題型一：周長問題

例1.(2023?貴州貴陽?校聯考模擬預測)記“3C內角4B,C的對邊分別為a,b,c,且

+b2-c2)(acosB+bcosA)=abc.

⑴求C；

⑵若AABC為銳角三角形，c=2,求周長范圍.

例2.(2023?甘肅武威?高三武威第六中學校考階段練習)在銳角△A8C中，a=26，Qb-c)cos/=“cosC,

(1)求角/；

(2)求△/BC的周長/的范圍.

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____B+c

例3.(2023?全國?高三專題練習)在①2s=百萬?就；②2cos2方一=l+cos2/；③c=V3asinC-ccos^;

在這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答.

在銳角中，內角/、B、C,的對邊分別是。、b、c,且

(1)求角/的大小；

(2)若°=石，求周長的范圍.

變式1.(2023?全國?模擬預測)在銳角“3C中，三個內角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,且

c-b=acosB-bcosA.

⑴求角A的大小；

(2)若。=1,求力周長的范圍.

變式2.(2023?陜西西安?高三西安中學校考階段練習)08c的內角4B,C的對邊分別為a,b,c且滿

足a=2,acosB=(2c-b)cos/.

(1)求角A的大小；

⑵求AABC周長的范圍.

題型二：面積問題

例4.(2023?全國?模擬預測)已知在銳角中，內角1,8,C所對的邊分別為a,b,c,且碗=(2sinx,V^,

"=(cos尤,cos2x),f(x)=m-n,/(5+C)=0.

(1)求角A的值；

(2)若6=1,求。8c面積的范圍.

例5.(2023?江蘇南通?統考模擬預測)如圖，某植物園內有一塊圓形區域，在其內接四邊形NBCD內種植

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了兩種花卉，其中△/臺。區域內種植蘭花，△BCD區域內種植丁香花，對角線2。是一條觀賞小道.測量

可知邊界48=60m,BC=20m,/D=C￡>=40m.

（1）求觀賞小道2。的長及種植區域/BCD的面積；

（2）因地理條件限制，種植丁香花的邊界8C,CD不能變更，而邊界/瓦4D可以調整，使得種植蘭花

的面積有所增加，請在B4D上設計一點尸，使得種植區域改造后的新區域（四邊形尸3cD）的面積最大,

并求出這個面積的最大值.

例6.（2023?山東青島?高三青島三十九中校考期中）在①°=2,②a=b=2,③6=c=2這三個條件中任選

一個，補充在下面問題中，求△N8C的面積的值（或最大值）.已知△NBC的內角4B,C所對的邊分別

為a,b,c,三邊a,b,c與面積S滿足關系式：4S=b2+c2-a2,且,求△4BC的面積的值（或最

大值）.

變式3.（2023?江蘇蘇州?高三常熟中學校考階段練習）如圖所示，某住宅小區一側有一塊三角形空地430,

其中GM=3km,08=36km,ZAOB=90°.物業管理部門擬在中間開挖一個三角形人工湖QW,其中

M,N都在邊48上（M,N均不與4B重合，〃■在A,N之間），且/MON=30。.

⑴若M在距離A點1km處，求點W,N之間的距離;

⑵設ZBON=0,

①求出AOMN的面積S關于0的表達式；

②為節省投入資金，三角形人工湖的面積要盡可能小，試確定6的值，使△。兒W得面積最小，并求

出這個最小面積.

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變式4.（2023?全國?高三專題練習）在“3C中，SABC=-BA-BC,BC=3.

（1）。為線段BC上一點，且CD=282AD=1,求/C長度；

（2）若為銳角三角形，求AJBC面積的范圍.

變式5.（2023?河北?高三校聯考階段練習）已知在“8C中，內角A,B,C的對邊分別為。，6,c,且

asin8_G

bcos/

（1）若.=2石，6=2,求。的大小；

（2）若6=2,且C是鈍角，求面積的大小范圍.

題型三：長度問題

例7.（2023?浙江麗水?高三浙江省麗水中學校聯考期末）已知銳角”3C內角4B,C的對邊分別為

a,b,c,^bsinB-csinC=[b-a）sitL4.

⑴求C;

（2）若c=6，求的范圍.

例8.（2023?福建莆田?高三校考期中）在A48C中，a,6,c分別為角力,B,。所對的邊，6=2百,

sin5

（2c—a）sinC={b1+c2-a2

b

⑴求角B;

⑵求2a-c的范圍.

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例9.(2023?重慶江北?高三校考階段練習)在“3C中，內角A,B,C所對的邊分別。，b,c,且

(2cA}八3

Itzcos-y+ccos2—\z(a+c-b)=—ac.

(1)求角B的大小；

(2)若b=2右,c=x(x>0),當。BC僅有一解時，寫出x的范圍，并求的取值范圍.

變式6.(2023?全國?高三專題練習)已知“BC的內角B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足條件；。=4,

sin2/+sinBsinC=sin2B+sin2C■

(I)求角/的值；

(II)求處一c的范圍.

變式7.(2023?全國?高三專題練習)在A48c中，。也c分別是角45C的對邊(a+b+c)(a+6-c)=3ab.

(1)求角C的值；

(2)若c=2,且A43c為銳角三角形，求2a-6的范圍.

變式8.(2023?山西運城?統考模擬預測)”3C的內角/,B,C的對邊分別為a,b,c.

/,、4Tsm(/-5)a-b

(1)求證：-~~—-=----

sinA+smBc

77

(2)若是銳角三角形，A-B=-,a-b=1,求c的范圍.

變式9.(2023?安徽亳州?高三統考期末)在銳角zMBC中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,已知

asinC=ccosA--

I6

(1)求角A的大小;

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(2)設//為A43C的垂心，且4fZ=l,求BH+CH的范圍.

題型四：轉化為角范圍問題

例10.(2023?全國?高三專題練習)在銳角AA8C中，內角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且

(a+Z))(sinA-sinB)=(c-b)sinC.

⑴求A；

(2)求cosB-cosC的取值范圍.

例11.(2023?全國?高三專題練習)已知“3C的內角A、B、C的對邊分別為。、6、c,且

a-b=c(cosS-cosA).

⑴判斷^ABC的形狀并給出證明；

(2)若a1b,求sinZ+sinB+sinC的取值范圍.

例12.(2023?河北保定?高一定州一中校考階段練習)設“3C的內角4瓦C的對邊分別為a,6,c,已知

1-sinJ_l-cos2S

cosAsinIB

(1)判斷的形狀(銳角、直角、鈍角三角形)，并給出證明；

(2)求史:變的最小值.

C

變式10.(2023?廣東佛山?高一大瀝高中校考階段練習)已知AASC的三個內角力,B,C的對邊分別為a,

b,c,且在?就+加?元=29?赤；

(1)若?=史叱，判斷的形狀并說明理由;

ba

(2)若“BC是銳角三角形，求cosC的取值范圍.

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變式11.（2023?全國?高三專題練習）在“3C中，角4B,C所對的邊分別是a,b,c.已知°=1/=0.

（1）若=求角N的大小；

⑵求cos/cos（N+"的取值范圍.

變式12.（2023?江西吉安?高二江西省峽江中學校考開學考試）在銳角AASC中，角/,B,C所對的邊分

別是。,6,c,b~+c2—ci~=2bcsiti（^lH—）.

6

（1）求角”的大小；

（2）求sin8-sinC的取值范圍.

變式13.（2023?全國?高三專題練習）在銳角中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若/+6。-1=0,

11

則4（sinC+cosC9f+--------；的取值范圍為（）

'7tanCtanA

A.（472,9）B.（8,9）C.［苧+4,9D.（273+4,9）

題型五：倍角問題

例13.（2023?浙江紹興?高一諸暨中學校考期中）在銳角中，內角/,B,C所對的邊分別為a,b,c,

已知b+c=2acosB.

（1）證明：A=2B；

（2）若6=1,求a的取值范圍；

（3）若“BC的三邊邊長為連續的正整數，求“3C的面積.

例14.（2023?全國?高三專題練習）已知A43C的內角A,B,C的對邊分別為。，b,c.若N=28,且A

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cI一

為銳角，則的最小值為（

bcosA

A.2V2+Ic.2V2+2

例15.（2023?全國?高三專題練習）銳角”BC的角4B,C所對的邊為＜z,b,c,A=2B,則￡的范圍是

變式14.（2023?全國?高三專題練習）在銳角“3C中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,AABC的面

2s

積為5,若sin（/+C）=Q——貝！Jtan/的取值范圍為______.

b-a

變式15.（2023?全國?高三專題練習）已知“8C的內角A、B、C的對邊分別為。、b、c,若/=2B,

則ac+J^的取值范圍為.

變式16.（2023?全國"高三專題練習）在銳角AABC中/=28,B,C的對邊長分別是6,。，則丁竺的取

值范圍是（）

A.IT]B.C.&,|]D,

變式17.（2023?福建三明?高一三明市第二中學校考階段練習）在銳角/中，ZA=2ZB,ZB,/C的

對邊分別是6,c,則絲￡的范圍是（）

43

392P2

變式18.（2023?江蘇南京?高一金陵中學校考期中）已知的內角/,B,C的對邊分別為a,b,C,

若4=23,則￡+1竺丫的最小值為（）

A.-1

題型六：角平分線問題

例16.（2023?江蘇鹽城?高一江蘇省射陽中學校考階段練習）已知》5C的內角4叢C的對邊分別為a1,c,

asinB+6cosB口,人

—上二—--------------------□且ANw瓦

bsinA+<3cosA

（1）求角C的大小;

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(2)若角C的平分線交于點。，且8=2百，求a+28的最小值.

例17.(2023?江蘇淮安?高一統考期中)如圖，“3C中，AB=2AC,N3ZC的平分線/。交8C于。.

CDB

(1)若4D=8C,求/R4c的余弦值；

⑵若NC=3,求的取值范圍.

例18.(2023?浙江杭州?高一校聯考期中)在①a+acosC=V§csin/,②(a+6+c)(a+6-c)=3a6,③

(a-b)sin(B+C)+6sin3=csinC.這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.

已知在“3。中，角/,瓦C的對邊分別是a,b,c,

⑴求角C的值；

(2)若角C的平分線交于點。，且CD=26，求2a+6的最小值.

變式19.(2023?河北滄州?校考模擬預測)已知"3C的內角4瓦C所對的邊分別為a,b,c,且

acosC+(2Z)+c)cos^=0,角/的平分線與邊3C交于點。.

⑴求角A；

(2)若4D=2,求6+4c的最小值.

變式20.(2023?山東泰安?校考模擬預測)在銳角”8C中，內角4民。所對的邊分別為a/,c,滿足

sinN,sin2^4-sin2C口八八

---------1=-------------------,且N，C.

sinCsin2B

⑴求證：B=2C；

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(2)已知2。是的平分線，若。=6,求線段2D長度的取值范圍.

變式21.(2023?全國?高一專題練習)在“BC中，角/,B,。所對的邊分別為a,b,c,且滿足

2asin/cos8+bsin2/=cosC?

(1)求角。的大小；

(2)若c=2g,N/3C與4c的平分線交于點/,求/周長的最大值.

變式22.(2023?四川成都?石室中學校考模擬預測)在中，角4'C所對的邊分別為a,仇c,且

#tbsin8+。=asinS,邊8C上有一動點D.

2

(1)當。為邊8C中點時，若AD=?b=2,求。的長度；

(2)當4D為/3/C的平分線時，若。=4,求AD的最大值.

題型七：中線問題

例19.(2023?湖南長沙?高一雅禮中學校考期中)在銳角28C中，角48C的對邊分別是a,b,c,若

2c-b_cosB

acosA

⑴求角A的大小；

(2)若a=2,求中線長的范圍(點。是邊3C中點).

例20.(2023?安徽?合肥一中校聯考模擬預測)記從18c的內角/,B,C的對邊分別是a,b,c,已知

⑴求/;

⑵若6+c=3,求8C邊中線的取值范圍.

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例21.(2023?全國?高一專題練習)在銳角三角形/8C中，角B,C所對的邊分別為a,b,c,已知

asiM+bsinB=csinC+V^bsin/?

⑴求角C的大小；

(2)若c=2,邊N3的中點為D,求中線CD長的取值范圍.

變式23.(2023?遼寧沈陽?沈陽二中校考模擬預測)在“3C中，角/,B,C的對邊分別是a,b,c,若

2c-b_cosB

acosA

(1)求角A的大小；

⑵若a=2,求中線NO長的最大值(點。是邊8C中點).

變式24.(2023廣東廣州?高二廣州六中校考期中)在△Z8C中,角4B,C所對的邊分別為a,b,c,

已知43acosC-asinC=43b-

(1)求角A的大小；

(2)若a=2,求3c邊上的中線長度的最小值.

題型八：四心問題

例22.(2023?四川涼山?校聯考一模)設(。是坐標原點)的重心、內心分別是G,/,且麗//9,

若5(0,4),貝I]cosZOAB的最小值是.

例23.(2023?全國■高三專題練習)在。8C中，a,6,c分別為內角4瓦。的對邊，且

(acosC+ccos/)tanN=.

(1)求角A的大小；

(2)若a=。，。為的內心，求OB+OC的最大值.

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例24.(2023?全國?模擬預測)已知銳角三角形/3C的內角4伉。的對邊分別為a,6,c,且

\c~b)sinC=(acosC~b)sin8+acosfisinC.

⑴求角A；

⑵若77為。3c的垂心，a=2,求面積的最大值.

變式25.(2023?江蘇無錫?高一錫東高中校考期中)在春3c中，分別是角45,C的對邊，

2acosA=bcosC+ccosB.

⑴求角A的大小；

(2)若AABC為銳角三角形，且其面積為也，點G為AABC重心，點”為線段NC的中點，點N在線段ZB

2

上，旦AN=2NB,線段四與線段CN相交于點尸，求|不|的取值范圍.

變式26.(2023?河北邢臺?高一統考期末)記03C的內角/,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

2A/3(cos2C-cos2A)=(a-b)sinB,且“3C外接圓的半徑為G.

(1)求C的大小；

⑵若G是"BC的重心，求A/CG面積的最大值.

變式27.(2023?遼寧撫順?高一撫順一中校考階段練習)如圖，記銳角的內角/,B,C的對邊分別

為a,b,c,c=2b=4,N的角平分線交BC于點。，。為。8C的重心，過。作O尸〃8C,交/。于點尸,

過尸作PE_L4B于點￡.

C

BD

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（1）求。的取值范圍；

⑵若四邊形BDPE與^ABC的面積之比為2,求2的取值范圍.

變式28.（2023?浙江?高一路橋中學校聯考期中）若。是。的外心，且

1,2---、2

4^-（AB-AO}+4^-（^C-Ad}=-Ad2-貝Usin3+2sinC的最大值是（）

'ACV'2

A.V3+—B.—+V2C.-D.272

222

A「—?—?AB—?—?/—?,

變式29.（2023?全國?高三專題練習）已知。是三角形。的外3若一ABAO+——AC-AO=m（AO

ABAC'

且sinB+sinC=G，則實數加的最大值為（）

614

A.6B.-C.—D.3

55

題型九：坐標法

JT

例25.（2023?全國?高三專題練習）在RtZ\48C中，NB4C=—，AB=AC=2,點M在ABC內部，

2

3

cosZAMC=--,則MB?一M42的最小值為.

例26.（2023?全國?高一專題練習）在中，AB=2,AC=3亞，NB4c=135。,M是。8c所在平面

上的動點，則卬=而?荻+礪?就+流?而的最小值為.

例27.（2023?湖北武漢?高二武漢市第三中學校考階段練習）在平面直角坐標系尤。夕中，己知2,C為圓

苫2+必=9上兩點，點41,1）,且則線段BC的長的取值范圍是.

變式30.（2023?全國?高三專題練習）在AA8C中，AB=AC=6,且AA8C所在平面內存在一點P使得

尸82+PC2=3川2=3,貝1］根8c面積的最大值為（）

.2723口5723?V35「3735

316416

變式31.（2023?全國?高三專題練習）在等邊03C中，M為內一動點，ZBMC=120°,則訴的

最小值是（）

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A.1B.-C.—D.立

423

變式32.（2023?江西?高三校聯考開學考試）費馬點是指三角形內到三角形三個頂點距離之和最小的點.當

三角形三個內角均小于120。時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對的三角

形三邊的張角相等且均為120。.根據以上性質，.則

F（x,y）=《（x-W^+1+J（x+ldy+（y_Ly2￡+。-2）2的最小值為（）

A.4B.2+26C.3+26D.4+273

題型十：隱圓問題

例28.（2023?全國?高三專題練習）在平面四邊形48co中，連接對角線AD,已知CD=9,55=16,

4

NBDC=90°,sinA=-,則對角線/C的最大值為（）

A.27B.16C.10D.25

例29.（2023?江蘇泰州?高三階段練習）已知“3C中，BC=2,G為AABC的重心，且滿足/GL8G,

則AABC的面積的最大值為.

例30.（2023?湖北武漢?高二武漢市洪山高級中學校考開學考試）已知等邊^ABC的邊長為2,點G是“BC

內的一點，且衣+旃+質=。，點P在“8C所在的平面內且滿足|阿=1,則國|的最大值為.

變式33.（2023?全國?高三專題練習）在平面四邊形ABCD中，ABAD=90°,AB=2,AD=\.若

AB-AC+BA-BC=-CA-CB,則+的最小值為

32------

變式34.（2023?全國.高三專題練習）若滿足條件48=4,AC=6BC，則面積的最大值為

變式35.（2023?江蘇?高三專題練習）在“3C中，為定長，|荔+2就卜3Pg,若“3C的面積的最

大值為2,則邊3C的長為

變式36.（2023?全國?高三專題練習）^ABC中=/C=2,所在平面內存在點P使得PB'PC?=4,

尸/2=1,則AABC的面積最大值為.

變式37.（2023?全國?高三專題練習）已知AA8C中，AB=AC=日A4BC所在平面內存在點尸使得

PB2+PC2=3PA2=3,則A4BC面積的最大值為.

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題型H^一：兩邊夾問題

例31.(2023?全國?高三專題練習)在。8c中，若當+坐=2,48e(0,g],且的周長為12.

sin5sinZI2J

(1)求證：OB。為直角三角形；

(2)求03c面積的最大值.

例32.(2023?全國?高三專題練習)設A48c的內角4B,C的對邊長必b,c成等比數列，

cos(/-C)-cosB=g,延長8C至。，若B￡>=2,則A4cZ)面積的最大值為.

例33.(2023?全國?高三專題練習)設A/L8C的內角/,B,C的對邊為。，b,c.已知。，b,c依次成等比

數列，且cos(/-C)-cos3=g,延長邊2。到。，若8。=4,則2UCD面積的最大值為.

題型十二：與正切有關的最值問題

例34.(2023?全國"高一專題練習)在銳角三角形/3C中，角A、3、C的對邊分別為。、6、c,且滿足

則熹一熹的取值范圍為

b2-a2=acf

DI

例35.(2023?全國?高一階段練習)在AA8C中，內角/,5,C所對的邊分別為a,6,c,且加in^—=asin3.

(1)求/角的值;

(2)若“BC為銳角三角形，利用(1)所求的/角值求^的取值范圍.

b

例36.(2023?全國?高三專題練習)在中，內角4,5，。所對的邊分別為a,b,c,且bsin-------=asinB.求:

2

(DA;

(2)二的取值范圍.

b

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變式38.（2023?全國?高三專題練習）銳角AABC是單位圓的內接三角形，角B,C的對邊分別為a,b,

。，且則石的取值范圍是（)

D.耳，門

A.(26,3揚B.(73,373)

\7

變式39.（2023?安徽合肥?高一合肥市第七中學校考期中）在銳角“3C中，角A,B,C的對邊分別為

°h

b,c,S為的面積，且2S=/一他一c）,則一的取值范圍為（）

C

變式40.（2023?全國?高三專題練習）在銳角中，角4B、C所對的邊分別為。也?若/一°2=比，

則「二—一二+3sinN的取值范圍為（）

tanCtanA

A.（25+oo）B.（273,4）C.（電^,4）D.（26,23

66

題型十三：最大角問題

例37.（2023?全國?高三專題練習）幾何學史上有一個著名的米勒問題：“設點"，N是銳角的一邊

。/上的兩點，試在03邊上找一點尸，使得NMW最大.”如圖，其結論是：點尸為過M,N兩點且和射

線。2相切的圓與射線。8的切點.根據以上結論解決以下問題：在平面直角坐標系xQy中，給定兩點

M（-l,2）,N（l,4）,點p在x軸上移動，當/MPN取最大值時，點尸的橫坐標是（）

A.1B.-7C.1或一7D.2或一7

例38.（2023?全國?高三專題練習）設“3C中，內角A,B,C所對的邊分別為。，6,c,且

3

acosB-bcosA=-c,貝tan(4-2)的最大值為()

例39.（2023?江西上饒?高三上饒中學校考期中）在AABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,

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且QCOSB-6COS/=；C,當tan（A—B）取最大值時，角C的值為

71n71n

A.B.C.D.

~64

變式41.（2023?河南信陽?高一信陽高中校考階段練習）最大視角問題是1471年德國數學家米勒提出的幾

何極值問題，故最大視角問題一般稱為“米勒問題”.如圖，樹頂A離地面12米，樹上另一點8離地面8

米，若在離地面2米的。處看此樹，貝ijtan乙4cB的最大值為（

V15D.粵

C.

5107T

2111

變式42.（2023?江蘇揚州?高一統考期中）如圖:已知樹頂“離地面萬米,樹上另一點8離地面萬米,某

3

人在禺地叱米的C處看此樹，則該人禺此樹（）米時，看4B的視角最大

題型十四：費馬點、布洛卡點、拿破侖三角形問題

例40.（2023?重慶沙坪壩?高一重慶南開中學校考階段練習）“3C內一點O,滿足NCUC=ZOBA=ZOCB,

則點。稱為三角形的布洛卡點.王聰同學對布洛卡點產生興趣，對其進行探索得到許多正確結論，比如

ZBOC=7i-ZABC=ZBAC+ZACB,請你和他一起解決如下問題：

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A

（1）若a,b,c分別是B,。的對邊，NCAO=NBAO=NOBA=NOCB,證明：a2=be;

⑵在（1）的條件下，若右18。的周長為4,試把關.洪表示為。的函數/（。），并求關.洪的取值范圍.

例41.（2023?浙江寧波?高一慈溪中學校聯考期末）十七世紀法國數學家皮埃爾?德?費馬提出的一個著名的

幾何問題：“已知一個三角形，求作一點，使其與這個三角形的三個頂點的距離之和最小”.它的答案是：當

三角形的三個角均小于120。時，所求的點為三角形的正等角中心，即該點與三角形的三個頂點的連線兩兩

成角120。；當三角形有一內角大于或等于120。時，所求點為三角形最大內角的頂點.在費馬問題中所求的點

2

稱為費馬點，已知在“3C中，已知。=§兀，/C=l,BC=2,且點M在線段上，且滿足=

若點尸為A/MC的費馬點，則沙.蘇"聞7.定+也.雙J（）

432

A.-1B.——C.--D.——

555

例42.（2023?全國?高三專題練習）點P在。8C所在平面內一點，當尸/+P8+尸。取到最小值時，則稱該

點為AABC的“費馬點”.當“BC的三個內角均小于120。時，費馬點滿足如下特征：

2/PB=/BPC=2CP/=120。.如圖，在AABC中，AB=AC=BBC=。,則其費馬點到三點

的距離之和為（）

C.2-2月D.2+V3

變式43.（2023?湖南邵陽?統考三模）拿破侖?波拿巴最早提出了一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為

邊，向外構造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形（此等邊三角形

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稱為拿破侖三角形）的頂點”.在△/8C中，己知乙1CB=3O。，且/C=VLBC=3,現以BC,AC,AB

為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次記為』，B',C,貝IJA/'B'C'的邊長為（）

A.3B.2C.V3D.V2

變式44.（2023?河南?高一校聯考期末）幾何定理：以任意三角形的三條邊為邊，向外構造三個等邊三角形,

則這三個等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形（稱為拿破侖三角形）的頂點.在中，B

知C=5,AC=5外接圓的半徑為行，現以其三邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次記為

6

B',C,貝!]的面積為（）

A.3B.2C.6D.V2

題型十五：托勒密定理及旋轉相似

例43.（2023?江蘇淮安?高一校聯考期中）托勒密是古希臘天文學家、地理學家、數學家，托勒密定理就是

由其名字命名，該定理原文：圓的內接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于一組對邊所包矩形的面積

與另一組對邊所包矩形的面積之和.其意思為：圓的內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.

從這個定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實質上是關于共圓性的基

本性質.已知四邊形ABCD的四個頂點在同一個圓的圓周上,/C、BD是其兩條對角線，AD=，且“CD

為正三角形，則四邊形/BCD的面積為（）

A.1673B.16C.1273D.12

例44.（2023?全國?高三專題練習）托勒密是古希臘天文學家、地理學家、數學家，托勒密定理就是由其名

字命名，該定理原文：圓的內接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于一組對邊所包矩形的面積與另一

組對邊所包矩形的面積之和.其意思為：圓的內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.從

這個定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實質上是關于共圓性的基本

性質.已知四邊形4BCD的四個頂點在同一個圓的圓周上，4C、2。是其兩條對角線，80=4收，且

為正三角形，則四邊形/BCD的面積為（）

A.8B.16C.8百D.1673

例45.（2023?全國?高三專題練習）克羅狄斯?托勒密是古希臘著名數學家、天文學家和地理學家，他在所

著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于

或等于兩組對邊乘積之和，當且僅當凸四邊形的對角互補時取等號，后人稱之為托勒密定理的推論.如圖,

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四邊形4BCD內接于半徑為2g的圓，乙4=120。，48=45。，AB=AD,則四邊形/8C。的周長為（）

C.4V3+4V2D.4V3+5V2

變式45.（2023?江蘇?高一專題練習）凸四邊形就是沒有角度數大于180。的四邊形，把四邊形任何一邊向

兩方延長，其他各邊都在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凸四邊形，如圖，在凸四邊形/BCD

中，48=1,BC=y[3,ACVCD,AD=2AC,當//3C變化時，對角線8。的最大值為（）

C.3劣D.,7+26

變式46.（2023?江蘇無錫?高一江蘇省江陰市第一中學校考階段練習）在。8c中，BC=叵,ZC=1,以

為邊作等腰直角三角形480（8為直角頂點，C,。兩點在直線AB的兩側）.當角C變化時，線段CD長

度的最大值是（）

A.3B.4C.5D.9

變式47.（2023?全國?高一專題練習）在“3C中，BC=?，ZC=1，以為邊作等腰直角三角形力3。

（3為直角頂點，C、。兩點在直線28的兩側）.當/C變化時，線段長的最大值為（）

A.1B.2C.3D.4

變式48.（2023?全國?高三專題練習）如圖所示，在平面四邊形中，AB=1,BC=2,A/CD為正三角

形，則A8CZ）面積的最大值為（）

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D

V3+1

A.273+2D.V3+1

2

題型十六：三角形中的平方問題

例46.（2023?全國?高三專題練習）已知△/BC的三邊分別為a,b,c,若滿足4+62+2°2=8,則△45C面

積的最大值為（）

2石375

例47.（2023?全國?高三專題練習）在“3C中，角C所對的邊分別為a,b,c,且滿足5/+3/=3c?,

則sin/的取值范圍是.

例48.（2023?湖南常德?常德市一中校考模擬預測）秦九韶是我國南宋著名數學家，在他的著作《數書九章》

中有已知三邊求三角形面積的方法：“以小斜幕并大斜幕減中斜塞，余半之，自乘于上以小斜幕乘大斜塞

減上，余四約之，為實一為從陽，開平方得積.”如果把以上這段文字寫成公式就是

S=,工,其中a,b,c是“3C的內角/,B,C的對邊，若sinC=2sin/cos8,

且°2+。2=4,則AA8C面積S的最大值為（

3#>

2

變式49.（2023?河南洛陽?高三校考階段練習）的內角A,B,C的對邊分別為a,6,c,若/+c=12,

27r

^4=—,則2BC面積的最大值為（）

4>/3

D.V3

變