習題課2機械能守恒定律的應用[學習目標]1.進一步理解機械能守恒的條件及其判定.2.能靈活應用機械能守恒定律的三種表達方式.3.在多個物體組成的系統中，會應用機械能守恒定律解決相關問題.4.明確機械能守恒定律和動能定理的區別．一、機械能是否守恒的判斷判斷機械能是否守恒的方法：(1)做功條件分析法：若物體系統內只有重力和彈力做功，其他力均不做功，則系統機械能守恒，具體有三種表現：①只受重力、彈力，不受其他力；②除受重力、彈力外還受其他力，其他力不做功；③除重力、彈力外還有其他力做功，但其他力做功的代數和為零．(2)能量轉化分析法：若只有系統內物體間動能和重力勢能及彈性勢能的相互轉化，系統跟外界沒有發生機械能的傳遞，機械能也沒有轉變成其他形式的能(如沒有內能增加)，則系統的機械能守恒．例1(多選)如圖1所示，斜劈劈尖頂著豎直墻壁靜止于水平面上，現將一小球從圖示位置靜止釋放，不計一切摩擦，則在小球從釋放到落至地面的過程中，下列說法正確的是()圖1A．斜劈對小球的彈力不做功B．斜劈與小球組成的系統機械能守恒C．斜劈的機械能守恒D．小球機械能的減少量等于斜劈動能的增加量答案BD解析小球有豎直方向的位移，所以斜劈對小球的彈力對球做負功，故A選項錯誤；小球對斜劈的彈力對斜劈做正功，所以斜劈的機械能增加，故C選項錯誤．不計一切摩擦，小球下滑過程中，小球和斜劈組成的系統中只有動能和重力勢能相互轉化，系統機械能守恒，故B、D選項正確．針對訓練1(多選)豎直放置的輕彈簧下連接一個小球，用手托起小球，使彈簧處于壓縮狀態，如圖2所示．則迅速放手后(不計空氣阻力)()圖2A．放手瞬間小球的加速度等于重力加速度B．小球、彈簧與地球組成的系統機械能守恒C．小球的機械能守恒D．小球向下運動過程中，小球動能與彈簧彈性勢能之和不斷增大答案BD解析放手瞬間小球的加速度大于重力加速度，A錯；整個系統(包括地球)的機械能守恒，B對，C錯；向下運動過程中，由于重力勢能減小，所以小球的動能與彈簧彈性勢能之和增大，D正確．二、多物體組成的系統機械能守恒問題1．多個物體組成的系統，就單個物體而言，機械能一般不守恒，但就系統而言機械能往往是守恒的．2．關聯物體注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關系和位移關系．3．機械能守恒定律表達式的選取技巧(1)當研究對象為單個物體時，可優先考慮應用表達式Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp來求解．(2)當研究對象為兩個物體組成的系統時：①若兩個物體的重力勢能都在減少(或增加)，動能都在增加(或減少)，可優先考慮應用表達式ΔEk＝－ΔEp來求解．②若A物體的機械能增加，B物體的機械能減少，可優先考慮用表達式ΔEA增＝ΔEB減來求解．例2如圖3所示，斜面的傾角θ＝30°，另一邊與地面垂直，高為H，斜面頂點上有一定滑輪，物塊A和B的質量分別為m1和m2，通過輕而柔軟的細繩連接并跨過定滑輪．開始時兩物塊都位于與地面距離為eq\f(1,2)H的位置上，釋放兩物塊后，A沿斜面無摩擦地上滑，B沿斜面的豎直邊下落．若物塊A恰好能達到斜面的頂點，試求m1和m2的比值．滑輪的質量、半徑和摩擦均可忽略不計．圖3答案1∶2解析設B剛下落到地面時速度為v，由系統機械能守恒得：m2geq\f(H,2)－m1geq\f(H,2)sin30°＝eq\f(1,2)(m1＋m2)v2 ①A以速度v上滑到頂點過程中機械能守恒，則：eq\f(1,2)m1v2＝m1geq\f(H,2)sin30°， ②由①②得eq\f(m1,m2)＝1∶2.針對訓練2如圖4所示，在長為L的輕桿中點A和端點B各固定一質量為m的球，桿可繞軸O無摩擦的轉動，使桿從水平位置無初速度釋放．求當桿轉到豎直位置時，桿對A、B兩球分別做了多少功？圖4答案－eq\f(1,5)mgLeq\f(1,5)mgL解析設當桿轉到豎直位置時，A球和B球的速度分別為vA和vB.如果把輕桿、兩球組成的系統作為研究對象，因為機械能沒有轉化為其他形式的能，故系統機械能守恒，可得：mgL＋eq\f(1,2)mgL＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B) ①因A球與B球在各個時刻對應的角速度相同，故vB＝2vA ②聯立①②得：vA＝eq\r(\f(3gL,5))，vB＝eq\r(\f(12gL,5)).根據動能定理，對A有：WA＋mg·eq\f(L,2)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)－0，解得WA＝－eq\f(1,5)mgL.對B有：WB＋mgL＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)－0，解得WB＝eq\f(1,5)mgL.三、機械能守恒定律與動能定理的綜合應用例3為了研究過山車的原理，某興趣小組提出了下列設想：取一個與水平方向夾角為37°、長為l＝2m的粗糙傾斜軌道AB，通過水平軌道BC與半徑為R＝0.2m的豎直圓軌道相連，出口為水平軌道DE，整個軌道除AB段以外都是光滑的．其中AB與BC軌道以微小圓弧相接，如圖5所示．一個質量m＝1kg的小物塊以初速度v0＝5m/s從A點沿傾斜軌道滑下，小物塊到達C點時速度vC＝4m/s.取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.圖5(1)求小物塊到達C點時對圓軌道壓力的大?。?2)求小物塊從A到B運動過程中摩擦力所做的功；(3)為了使小物塊不離開軌道，并從軌道DE滑出，求豎直圓弧軌道的半徑應滿足什么條件？答案(1)90N(2)－16.5J(3)R≤0.32m解析(1)設小物塊到達C點時受到的支持力大小為N，根據牛頓第二定律有，N－mg＝meq\f(v\o\al(2,C),R)解得：N＝90N根據牛頓第三定律得，小物塊對圓軌道壓力的大小為90N(2)小物塊從A到C的過程中，根據動能定理有：mglsin37°＋Wf＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)解得Wf＝－16.5J(3)設小物塊進入圓軌道到達最高點時速度大小為v1，為使小物塊能通過圓弧軌道的最高點，則v1≥eq\r(gR)小物塊從圓軌道最低點到最高點的過程中，根據機械能守恒定律有：eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＋2mgR，當v1＝eq\r(gR)時，聯立解得R＝0.32m，所以為使小物塊能通過圓弧軌道的最高點，豎直圓弧軌道的半徑應滿足R≤0.32m.1．(機械能是否守恒的判斷)(多選)如圖6所示，一根輕彈簧下端固定，豎立在水平面上．其正上方A位置有一只小球．小球從靜止開始下落，在B位置接觸彈簧的上端，在C位置小球所受彈力大小等于重力，在D位置小球速度減小到零．對于小球下降階段，下列說法中正確的是(不計空氣阻力)()圖6A．在B位置小球動能最大B．在C位置小球動能最大C．從A→C位置小球重力勢能的減少等于小球動能的增加D．整個過程中小球和彈簧組成的系統機械能守恒答案BD解析小球從B運動至C過程，重力大于彈力，合力向下，小球加速，從C運動到D，重力小于彈力，合力向上，小球減速，故在C點動能最大，故A錯誤，B正確．小球下降過程中，只有重力和彈簧彈力做功，小球和彈簧系統機械能守恒，D正確；從A→C位置小球重力勢能的減少量等于動能增加量和彈性勢能增加量之和，故C錯誤．2．(多物體組成的系統機械能守恒問題)(多選)如圖7所示，a、b兩物塊質量分別為m、3m，用不計質量的細繩相連接，懸掛在定滑輪的兩側．開始時，a、b兩物塊距離地面高度相同，用手托住物塊b，然后由靜止釋放，直至a、b物塊間高度差為h，不計滑輪質量和一切摩擦，重力加速度為g.在此過程中，下列說法正確的是()圖7A．物塊a的機械能守恒B．物塊b的機械能減少了eq\f(2,3)mghC．物塊b機械能的減少量等于物塊a機械能的增加量D．物塊a、b與地球組成的系統機械能守恒答案CD解析釋放b后物塊a加速上升，動能和重力勢能均增加，故機械能增加，選項A錯誤．對物塊a、b與地球組成的系統，只有重力做功，故機械能守恒，選項D正確．物塊a、b構成的系統機械能守恒，有(3m)geq\f(h,2)－mgeq\f(h,2)＝eq\f(1,2)mv2＋eq\f(1,2)(3m)v2，解得v＝eq\r(\f(gh,2))；物塊b動能增加量為eq\f(1,2)(3m)v2＝eq\f(3,4)mgh，重力勢能減少eq\f(3,2)mgh，故機械能減少eq\f(3,2)mgh－eq\f(3,4)mgh＝eq\f(3,4)mgh，選項B錯誤．由于繩的拉力對a做的功與b克服繩的拉力做的功相等，故物塊b機械能的減少量等于物塊a機械能的增加量，選項C正確．3．(機械能守恒定律與動能定理的綜合應用)如圖8所示，一內壁光滑的細管彎成半徑為R＝0.4m的半圓形軌道CD，豎直放置，其內徑略大于小球的直徑，水平軌道與半圓形軌道在C處連接完好．置于水平軌道上的彈簧左端與豎直墻壁相連，B處為彈簧原長狀態的右端．將一個質量為m＝0.8kg的小球放在彈簧的右側后，用力水平向左推小球壓縮彈簧至A處，然后將小球由靜止釋放，小球運動到C處時對軌道的壓力大小為F1＝58N．水平軌道以B處為界，左側AB段長為x＝0.3m，與小球間的動摩擦因數為μ＝0.5，右側BC段光滑．g＝10m/s2，求：圖8(1)彈簧在壓縮時所儲存的彈性勢能；(2)小球運動到軌道最高處D點時對軌道的壓力．答案(1)11.2J(2)10N，方向豎直向上解析(1)對小球在C處，由牛頓第二定律、牛頓第三定律及向心力公式得F1－mg＝meq\f(v\o\al(2,C),R)，解得vC＝5m/s.從A到B由動能定理得Ep－μmgx＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)，解得Ep＝11.2J.(2)從C到D，由機械能守恒定律得：eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)＝2mgR＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,D)，vD＝3m/s，由于vD＞eq\r(gR)＝2m/s，所以小球在D點對軌道外壁有壓力．小球在D點，由牛頓第二定律及向心力公式得F2＋mg＝meq\f(v\o\al(2,D),R)，解得F2＝10N.由牛頓第三定律可知，小球在D點對軌道的壓力大小為10N，方向豎直向上．

課時作業一、選擇題(1～5為單項選擇題，6～8為多項選擇題)1.如圖1所示，一輕繩的一端系在固定粗糙斜面上的O點，另一端系一小球．給小球一足夠大的初速度，使小球在斜面上做圓周運動．在此過程中()圖1A．小球的機械能守恒B．重力對小球不做功C．輕繩的張力對小球不做功D．在任何一段時間內，小球克服摩擦力所做的功總是等于小球動能的減少量答案C解析斜面粗糙，小球受到重力、支持力、摩擦力、輕繩張力的作用，由于除重力做功外，支持力和輕繩張力總是與運動方向垂直，故不做功，摩擦力做負功，機械能減少，A、B錯，C對；小球動能的變化量等于合外力對其做的功，即重力與摩擦力做功的代數和，D錯．2.木塊靜止掛在繩子下端，一子彈以水平速度射入木塊并留在其中，再與木塊一起共同擺到一定高度，如圖2所示，從子彈開始入射到共同上擺到最大高度的過程中，下面說法正確的是()圖2A．子彈的機械能守恒B．木塊的機械能守恒C．子彈和木塊的總機械能守恒D．以上說法都不對答案D解析子彈打入木塊的過程中，子彈克服摩擦力做功產生熱，故系統機械能不守恒．

3.如圖3所示，在輕彈簧的下端懸掛一個質量為m的小球A，若將小球A從彈簧原長位置由靜止釋放，小球A能夠下降的最大高度為h，若將小球A換為質量為2m的小球B，仍從彈簧原長位置由靜止釋放，則小球B下降h時的速度大小為(重力加速度為g，不計空氣阻力)()圖3A.eq\r(2gh) B.eq\r(gh)C.eq\r(\f(gh,2)) D．0答案B解析小球A由靜止釋放到下降h的過程中系統機械能守恒，則mgh＝Ep.小球B由靜止釋放到下降h的過程中系統機械能也守恒，則2mgh＝Ep＋eq\f(1,2)(2m)v2，解得v＝eq\r(gh)，故B正確．4.如圖4所示的滑輪光滑輕質，空氣阻力不計，M1＝2kg，M2＝1kg，M1離地高度為H＝0.5m，g＝10m/s2.M1與M2從靜止開始釋放，M1由靜止下落0.3m時的速度為()圖4A.eq\r(2)m/sB．3m/sC．2m/sD．1m/s答案A解析對系統運用機械能守恒定律得，(M1－M2)gh＝eq\f(1,2)(M1＋M2)v2，代入數據解得v＝eq\r(2)m/s，故A正確，B、C、D錯誤．

5.如圖5所示，小物體A和B通過輕質彈簧和輕繩跨過光滑定滑輪連接，初狀態在外力控制下系統保持靜止，輕彈簧處于原長，且輕彈簧上端離滑輪足夠遠，A離地面足夠高，物體A和B同時從靜止釋放，釋放后短時間內B能保持靜止，A下落h高度時，B開始沿斜面上滑，則下列說法中正確的是()圖5A．B滑動之前，A機械能守恒B．B滑動之前，A機械能減小C．B滑動之前，A、B組成的系統機械能守恒D．B滑動之后，A、B組成的系統機械能守恒答案B解析B滑動之前，A下落時，繩子的拉力對A做負功，A的機械能不守恒，由功能關系知，A的機械能減小，故A錯誤，B正確；B滑動之前，A的機械能減小，B的機械能不變，則A、B組成的系統機械能減小，故C錯誤；B滑動之后，A、B及彈簧組成的系統機械能守恒，則A、B組成的系統機械能不守恒，故D錯誤．6.如圖6所示，一質量為m的小球固定于輕質彈簧的一端，彈簧的另一端固定于O點處．將小球拉至A處，彈簧恰好無形變，由靜止釋放小球，它運動到O點正下方B點速度為v，AB間的豎直高度差為h，則()圖6A．由A到B重力做的功等于mghB．由A到B重力勢能減少eq\f(1,2)mv2C．由A到B小球克服彈力做功為mghD．小球到達位置B時彈簧的彈性勢能為mgh－eq\f(mv2,2)答案AD解析重力做功只和高度差有關，故由A到B重力做的功等于mgh，選項A正確；由A到B重力勢能減少mgh，選項B錯誤；由A到B小球克服彈力做功為W＝mgh－eq\f(1,2)mv2，選項C錯誤，D正確．7.內壁光滑的環形凹槽半徑為R，固定在豎直平面內，一根長度為eq\r(2)R的輕桿，一端固定有質量為m的小球甲，另一端固定有質量為2m的小球乙．現將兩小球放入凹槽內，小球乙位于凹槽的最低點，如圖7所示，由靜止釋放后()圖7A．下滑過程中甲球減少的機械能總是等于乙球增加的機械能B．下滑過程中甲球減少的重力勢能總是等于乙球增加的重力勢能C．甲球可沿凹槽下滑到槽的最低點D．桿從右向左滑回時，乙球一定能回到凹槽的最低點答案AD解析環形凹槽光滑，甲、乙組成的系統在運動過程中只有重力做功，故系統機械能守恒，下滑過程中甲減少的機械能總是等于乙增加的機械能，甲、乙系統減少的重力勢能等于系統增加的動能；甲減少的重力勢能等于乙增加的勢能與甲、乙增加的動能之和；由于乙的質量較大，系統的重心偏向乙一端，由機械能守恒，知甲不可能滑到凹槽的最低點，桿從右向左滑回時乙一定會回到凹槽的最低點．8.如圖8所示，將一個內外側均光滑的半圓形槽置于光滑的水平面上，槽的左側有一固定的豎直墻壁．現讓一小球自左端槽口A點的正上方由靜止開始下落，從A點與半圓形槽相切進入槽內，則下列說法正確的是()圖8A．小球在半圓形槽內運動的全過程中，只有重力對它做功B．小球從A點向半圓形槽的最低點運動的過程中，小球的機械能守恒C．小球從A點經最低點向右側最高點運動的過程中，小球與半圓形槽組成的系統機械能守恒D．小球從下落到從右側離開半圓形槽的過程中，機械能守恒答案BC二、非選擇題9.一半徑為R的半圓形豎直圓柱面，用輕質不可伸長的細繩連接的A、B兩球懸掛在圓柱面邊緣兩側，A球質量為B球質量的2倍，現將A球從圓柱邊緣處由靜止釋放，如圖9所示．已知A球始終不離開圓柱內表面，且細繩足夠長，若不計一切摩擦，求：A球沿圓柱內表面滑至最低點時速度的大小．圖9答案2eq\r(\f(2－\r(2),5)gR)解析設A球沿圓柱內表面滑至最低點時速度的大小為v，B球的質量為m，則根據機械能守恒定律有2mgR－eq\r(2)mgR＝eq\f(1,2)×2mv2＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)，由圖可知，A球的速度v與B球速度vB的關系為vB＝v1＝vcos45°，聯立解得v＝2eq\r(\f(2－\r(2),5)gR).10．如圖10所示，半徑為R的光滑半圓弧軌道與高為10R的光滑斜軌道放在同一豎直平面內，兩軌道之間由一條光滑水平軌道CD相連，水平軌道與斜軌道間有一段圓弧過渡．在水平軌道上，輕質彈簧被a、b兩小球擠壓，處于靜止狀態．同時釋放兩個小球，a球恰好能通過圓弧軌道的最高點A，b球恰好能到達斜軌道的最高點B.已知a球質量為m1，b球質量為m2，重力加速度為g.求：圖10(1)a球離開彈簧時的速度大小va；(2)b球離開彈簧時的速度大小vb；(3)釋放小球前彈簧的彈性勢能Ep.答案(1)eq\r(5gR)(2)2eq\r(5gR)(3)(eq\f(5,2)m