18.5.2

列分式方程解決實際問題第十八章

分式【2025新教材】人教版數(shù)學

八年級上冊

授課教師：********班級：********時間：********18.5.2列分式方程解決實際問題一、復習回顧，引入新課在之前的學習中，我們已經(jīng)掌握了分式方程的定義及其解法。分式方程是分母里含有未知數(shù)或含有未知數(shù)整式的有理方程，解分式方程時，我們通過去分母將其化為整式方程，求解后還要檢驗是否為增根

。那學習分式方程僅僅是為了求解方程嗎？當然不是！今天我們就來學習如何運用分式方程解決實際生活中的問題，即18.5.2列分式方程解決實際問題。二、解題步驟與方法（一）一般步驟審題：仔細閱讀題目，理解題意，明確題目中已知的量和未知的量，以及它們之間的關系。設未知數(shù)：根據(jù)問題，合理設出未知數(shù)，可以直接設未知數(shù)（求什么設什么），也可以間接設未知數(shù)（通過設其他相關量來求解最終問題）。找等量關系：這是列方程的關鍵步驟。分析題目中的條件，找出能夠表示題目全部含義的一個或多個相等關系。常見的等量關系有：路程=速度

×

時間、工作總量=工作效率

×

工作時間、總價=單價

×

數(shù)量等。列分式方程：根據(jù)所設未知數(shù)和找到的等量關系，列出分式方程。解方程：按照分式方程的解法，先去分母化為整式方程，再求解整式方程。檢驗：既要檢驗所得的解是否為分式方程的增根（代入原分式方程分母，看分母是否為0），又要檢驗該解是否符合實際問題的意義（如人數(shù)不能為負數(shù)、時間不能為負數(shù)等）

。作答：根據(jù)檢驗結果，寫出問題的答案。（二）關鍵要點找等量關系時，要從題目中的關鍵詞、關鍵語句入手，比如“比……多”“是……的幾倍”“相等”“相同”等。設未知數(shù)和列方程時，要注意單位的統(tǒng)一，避免因單位不一致導致方程錯誤。三、典型例題講解（一）行程問題例題1：甲、乙兩地相距19千米，某人從甲地去乙地，先步行7千米，然后改騎自行車，共用了2小時到達乙地。已知這個人騎自行車的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和騎自行車的速度分別是多少？解：設步行的速度為\(x\)千米/小時，因為騎自行車的速度是步行速度的4倍，所以騎自行車的速度為\(4x\)千米/小時。步行7千米所用的時間為\(\frac{7}{x}\)小時，騎自行車行駛的路程為\(19-7=12\)千米，騎自行車所用的時間為\(\frac{12}{4x}\)小時。根據(jù)“步行時間+騎自行車時間=總時間2小時”這一等量關系，可列方程：\(\frac{7}{x}+\frac{12}{4x}=2\)。解方程：方程兩邊同時乘以\(4x\)去分母得\(28+12=8x\)，即\(8x=40\)，解得\(x=5\)。檢驗：把\(x=5\)代入原方程分母\(x=5\neq0\)，\(4x=4??5=20\neq0\)，且速度為正數(shù)符合實際意義。作答：步行的速度是5千米/小時，騎自行車的速度是\(4??5=20\)千米/小時。（二）工程問題例題2：兩個工程隊共同參與一項筑路工程，甲隊單獨施工1個月完成總工程的三分之一，這時增加了乙隊，兩隊又共同工作了半個月，總工程全部完成。哪個隊的施工速度快？解：設乙隊單獨施工\(x\)個月能完成總工程。甲隊單獨施工1個月完成總工程的\(\frac{1}{3}\)，則甲隊的工作效率為\(\frac{1}{3}\)；乙隊的工作效率為\(\frac{1}{x}\)。根據(jù)“甲隊先做的工作量+甲乙兩隊合作的工作量=總工作量1”，甲隊先做了\(\frac{1}{3}\)，甲乙兩隊合作的工作量為\((\frac{1}{3}+\frac{1}{x})??\frac{1}{2}\)，可列方程：\(\frac{1}{3}+(\frac{1}{3}+\frac{1}{x})??\frac{1}{2}=1\)。解方程：方程兩邊同時乘以\(6x\)去分母得\(2x+(x+3)=6x\)，即\(3x+3=6x\)，移項得\(3x=3\)，解得\(x=1\)。檢驗：把\(x=1\)代入原方程分母\(x=1\neq0\)，且施工時間為正數(shù)符合實際意義。比較甲乙兩隊工作效率，甲隊單獨完成需要\(1?·\frac{1}{3}=3\)個月，乙隊單獨完成需要1個月，因為\(1<3\)，所以乙隊的施工速度快。作答：乙隊的施工速度快。（三）銷售問題例題3：某商店銷售一批服裝，每件售價150元，可獲利25%，求這種服裝的成本價是多少元？解：設這種服裝的成本價是\(x\)元。根據(jù)“利潤率=\(\frac{?????|}{??????}\)”，已知售價為150元，可獲利25%，利潤為\(150-x\)元，可列方程：\(\frac{150-x}{x}=25\%\)，即\(\frac{150-x}{x}=\frac{1}{4}\)。解方程：方程兩邊同時乘以\(4x\)去分母得\(4(150-x)=x\)，即\(600-4x=x\)，移項得\(5x=600\)，解得\(x=120\)。檢驗：把\(x=120\)代入原方程分母\(x=120\neq0\)，且成本價為正數(shù)符合實際意義。作答：這種服裝的成本價是120元。四、課堂練習某工廠現(xiàn)在平均每天比原計劃多生產(chǎn)50臺機器，現(xiàn)在生產(chǎn)600臺機器所需時間與原計劃生產(chǎn)450臺機器所需時間相同，求原計劃平均每天生產(chǎn)多少臺機器？甲、乙兩個清潔隊共同參與了城中垃圾場的清運工作。甲隊單獨工作2天完成總量的三分之一，這時增加了乙隊，兩隊又共同工作了1天，總量全部完成。那么乙隊單獨完成總量需要幾天？某商店經(jīng)銷一種商品，由于進貨價降低了6.4%，使得利潤率提高了8%，那么原來經(jīng)銷這種商品的利潤率是多少？（利潤率=\(\frac{?????·-è????·}{è????·}??100\%\)）五、課堂小結列分式方程解實際問題的一般步驟：審題、設未知數(shù)、找等量關系、列方程、解方程、檢驗、作答。關鍵是準確找出等量關系，注意檢驗解的合理性，既要滿足分式方程，又要符合實際問題情境。六、課后作業(yè)完成課本習題[具體頁碼和題號]生活拓展：在日常生活中，尋找一個可以用分式方程解決的實際問題，分析并列出方程求解，然后與同學分享你的發(fā)現(xiàn)。這份課件通過多種實際問題類型，幫助學生掌握列分式方程解題的方法。如果你希望增加特定類型的題目，或調(diào)整講解重點，隨時可以和我說。5課堂檢測4新知講解6變式訓練7中考考法8小結梳理學習目錄1復習引入2新知講解3典例講解探究新知你能說出實際應用中存在哪些常見的數(shù)量關系嗎？行程問題路程=速度×時間工作量=工作效率×工作時間，合作效率=各自單獨完成任務的效率和.工程問題利潤=售價–進價，利潤=進價×利潤率，銷售額=銷售量×單價.銷售問題例3兩個工程隊共同參與一項筑路工程，甲隊單獨施工1個月完成總工程的三分之一，這時增加了乙隊，兩隊又共同工作了半個月，總工程全部完成.哪個隊的施工速度快？探究1工程問題甲隊工作總量+乙隊工作總量=“1”問題中的哪個等量關系可以用來列方程？工作時間/月工作效率工作總量甲隊乙隊設乙隊單獨完成這項工程需要x

月.甲隊單獨施工1個月完成總工程的三分之一兩隊又共同工作了半個月甲隊工作總量+乙隊工作總量=“1”解：設乙隊單獨施工1個月能完成總工程的，記總工程量為1，根據(jù)工程的實際進度，得方程兩邊乘6x，得解得x=1.檢驗：當x=1時，6x≠0.所以，原分式方程的解為x=1.

注意：分式方程的解需要檢驗2x+x+3=6x.工程問題中的基本關系：解決工程問題的思路方法：各部分工作量之和等于1常從工作量和工作時間上考慮相等關系.工作總量=工作效率×工作時間合作效率=各自單獨完成任務的效率和總工作量=各部分工作量之和歸納探究2行程問題這里的字母v，s

表示已知數(shù)據(jù)例4

某次列車平均提速vkm/h.在相同的時間內(nèi)，列車提速前行駛skm，提速后比提速前多行駛50km，提速前列車的平均速度為多少？表達問題時，用字母不僅可以表示未知數(shù)(或未知量)，也可以表示已知數(shù)(或已知量)時間/m速度/(km/h)路程/km提速前提速后列車提速前行駛skm，提速后比提速前多行駛50km平均提速vkm/hss+50xv+x設提速前列車的平均速度為xkm/h等量關系解：設提速前這次列車的平均速度為xkm/h，則提速前它行駛skm所用時間為h；提速后列車的平均速度為(x+v)km/h，提速后它行駛(s+50)km所用時間為h.方程兩邊乘

x(x+v)，得解得x=s(x+v)=x(s+50).根據(jù)行駛時間的相等關系，得檢驗：當x=時，x(x+v)

≠0.所以，原分式方程的解為x=答：提速前列車的平均速度為km/h．用字母表示已知數(shù)據(jù)的形式，在分析問題尋找規(guī)律時經(jīng)常出現(xiàn).其中根據(jù)v，s

所表示的實際意義可知，它們是正數(shù).行程問題中的注意事項：歸納1.

注意關鍵詞“提速”與“提速到”的區(qū)別；2.

把兩個“主人公”行程問題中的三個量用代數(shù)式表示出來；3.

行程問題中的等量關系通常抓住“時間線”來建立方程.某自行車行經(jīng)營的某款自行車去年銷售總額為8萬元，今年該款自行車每輛售價預計比去年降低200元.若該款自行車的銷售數(shù)量與去年相同，則今年的銷售總額將比去年減少10%.去年該款自行車每輛售價為多少元？探究3銷售問題設去年該款自行車每輛售價為x

元售價/元銷量/輛銷售額/元去年今年今年的銷售總額將比去年減少10%8000080000×(1–10%)xx–200去年銷售總額為8萬元今年該款自行車每輛售價預計比去年降低200元該款自行車的銷售數(shù)量與去年相同等量關系解：設去年該款自行車每輛售價為x

元，則今年該款自行車每輛售價為(x–200)元.方程兩邊乘

x(x–200)，得解得x=2000.檢驗：當x=2000時，x(x–200)

≠0.所以，原分式方程的解為x=2000.答：去年該款自行車每輛售價為2000元.80000(x–200)=80000x(1–10%).根據(jù)題意，得銷售問題中的基本關系：歸納利潤=售價–進價利潤=進價

×

利潤率銷售額=銷售量

×

單價知識點1

工程問題

C

返回2.［2024棗莊中考］為提高生產(chǎn)效率，某工廠將生產(chǎn)線進行升級改造，改造后比改造前每天多生產(chǎn)100件，改造后生產(chǎn)600件的時間與改造前生產(chǎn)400件的時間相同，則改造后每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為(

)BA.200

B.300

C.400

D.500返回3.［2024泰安中考］隨著快遞行業(yè)的快速發(fā)展，全國各地的農(nóng)產(chǎn)品有了更廣闊的銷售空間，某農(nóng)產(chǎn)品加工企業(yè)有甲、乙兩個組共35名工人.甲組每