2025北京高三一模數(shù)學(xué)匯編

指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)章節(jié)綜合

一、單選題

1.（2025北京海淀高三一模）已知四個數(shù)。=咒姮，6=旭樂，。=坨2，4=坨5,其中最小的是

（）

A.aB.b

C.cD.d

2.（2025北京順義高三一模）在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用視星等和絕對星等來描述.視星等優(yōu)是

在地球上看到的星體亮度等級，視星等受恒星距離影響.絕對星等M是假設(shè)把恒星放在距離地球10秒差距

（10秒差距=32.6光年）時的視星等，這樣能比較不同恒星本身的亮度.視星等機和絕對星等〃滿足

m-M=51g^,其中，是與地球的距離，單位為秒差距.若恒星A距離地球約32.6光年，恒星B距離地

球約326光年，恒星A,2的視星等滿足貝U（）

A.MB=MA+4B.MB=MA+6C.MA=MB+1D.MA=MB+6

3.（2025北京東城高三一模）已知%貝是"1。82%>1。84（y—1）”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2025北京海淀高三一模）函數(shù)〃%）=〃9+1（4>0）的圖象一定經(jīng)過點（）

A.I?）B.（川

C.（0,2）D.（0,1）

5.（2025北京西城高三一模）下列函數(shù)中，圖像關(guān)于，軸對稱的是（）

A.y=（x-iyB.y=2V

C.y=xi+x1D.y=|lnx|

6.（2025北京房山高三一模）自然界中，大多數(shù)生物存在著世代重疊現(xiàn)象，它們在生活史中會持續(xù)不斷地

繁殖后代，且有時不同的世代能在同一時間進行繁殖.假定某類生物的生長發(fā)育不受密度制約時，其增長符

合模型：N（t）=N武,其中N。為種群起始個體數(shù)量，『為增長系數(shù)，N?）為/時刻的種群個體數(shù)量.當(dāng)

/=3時，種群個體數(shù)量是起始個體數(shù)量的2倍.若N（4）=150,則N（10）=（）

A.300B.450C.600D.750

7.（2025北京房山高三一模）已知a/eR,且則（）

A.B.a1<b2

ab

C.a3<b3D.ln(b-a)>0

8.（2025北京門頭溝高三一模）已知函數(shù)/（x）=a?T+k］（aeR）,其中國表示不超過x的最大整數(shù)，

例如［2』=2,卜1』=-2,則下列說法正確的是（）

A.不存在。，使得"%）有無數(shù)個零點B.有3個零點的充要條件是心）

C.存在。，使得〃x）有4個零點D.存在。，使得“X）有5個零點

9.（2025北京石景山高三一模）經(jīng)研究表明，糖塊的溶解過程可以用指數(shù)型函數(shù)5=*-如（。，上為常數(shù)）

來描述，其中S（單位：克）代表f分鐘末未溶解糖塊的質(zhì)量.現(xiàn)將一塊質(zhì)量為7克的糖塊放入到一定量

的水中，在第5分鐘末測得未溶解糖塊的質(zhì)量為3.5克，則左=（）

A.——B.———C.In2D.In3

55

10.（2025北京順義高三一模）下列函數(shù)中，單調(diào)遞增且值域為［0,+⑹的是（）

A.y=/B.y=4x+iC.y=3^'D.J=log2x

11.（2025北京豐臺高三一模）已知c<d,則下列不等式恒成立的是（）

A.a-c<b-dB.ac<bdC.20+2c<2。+2dD.a2+c2<b2+d2

12.（2025北京平谷高三一模）下列函數(shù)中，在區(qū)間（L”）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=|x-2|B.y-Tx

C.y=—^—D.y=-lwc

1-x

13.（2025北京平谷高三一模）某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量尸（單

位：mg/L）與時間f（單位：h）間的關(guān)系為尸=4片氣其中幾次是正的常數(shù)，如果前10h消除了50%的

污染物，那么從消除60%的污染物到消除80%的污染物大約需要經(jīng)歷（）

A.10hB.4hC.40hD.8h

二、填空題

t

14.（2025北京通州高三一模）設(shè)某死亡生物經(jīng)過1年后，其機體內(nèi)碳14所剩的質(zhì)量c⑺=C°］￡|菽

（「為碳14的初始質(zhì)量）.當(dāng)該死亡生物經(jīng)過11460年，其機體內(nèi)碳14所剩質(zhì)量與原有質(zhì)量的比值

為;當(dāng)其機體內(nèi)碳14所剩質(zhì)量與原有質(zhì)量的比值為正，則U.

4

/、x2-a,0<x<a

15.（2025北京通州高三一模）設(shè)。>0,函數(shù)/（無）=「~?,若y=f（尤）為單調(diào)函數(shù)，則。的一

ylx-a,x>a

個取值為;若g（x）=〃x）-x+a有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是.

2-X2,X<1,

16.（2025北京海淀高三一模）已知函數(shù)二題辦+3［x>］且"I,，若〃尤）的值域為

（Y,2］,則〃的一個取值為；若/'（X）的值域為R,則。的取值范圍是.

2Xx<l

17.(2025北京房山高三一模)己知函數(shù)〃x)='則/(。)+〃1)

7

log2(x+7),x>l一

18.(2025北京朝陽高三一模)函數(shù)/(x)=V=+l°g3尤的定義域為.

參考答案

1.C

【分析】利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可求得0<lg2<lg5,再由基本不等式以及不等式性質(zhì)比較得出四個數(shù)的大

小，即可得出結(jié)論.

【詳解】易知0<lg2<lg5,所以可得炮2<號蹩<坨5,

即c<a<d；

再由基本不等式可得Jlg2」g5<也2；上5,即

顯然lg2=Jlg24g2<Jlg21g5,即。<b；

因此可得c,即最小的是J

故選：C

2.C

【分析］由題意得至!|加4_河.=5坨［霏），相減即可求解；

【詳解】由題意外-加4=5坨（譽］,

兩式相減可得：mA-MA-mB+Ms=51gl—l-51gl-1=-5,

又為_%=4,

所以%-此=-1，

所以a=%+1,

故選：C

3.A

【分析】根據(jù)4*>2〉、log2》>log4（yT）分別有2x>>、y<x2+l,結(jié)合基本不等式有f+i>2工，再根據(jù)

推出關(guān)系判斷條件間的關(guān)系.

【詳解】由4、=2?,>2,，則必有2x>y,

由log2X>log4（yT）,則log?%2>log2（y-l）,可得y<Y+l,

又無>］,根據(jù)基本不等式有爐+］>2巧

若4*>2》且丫>1，貝?。┯?+1>2》>>>1,即4,>2》是log2X>log4（y—l）的充分條件，

若x=3,y=7,貝!jZxvyvJ+i,此時滿足logz^olog/y-l）,但4工>2丫不成立，

所以4*>2,是log2%>bg4（VT）的非必要條件，

綜上，“4*＞2，"是"log?尤＞log4（y-l）”的充分不必要條件.

故選：A

4.A

【分析】根據(jù)題意只需要/a為定值即可，則2x-1=0,即可求得.

【詳解】令2x-l=0,則犬=工，

2

則dj=i+i=2,

所以函數(shù)/（司=/1+1（。＞0）的圖象一定過點ga].

故選：A.

5.C

【分析】根據(jù)題意，依次分析選項中函數(shù)的奇偶性，綜合可得答案.

【詳解】A選項，由二次函數(shù)圖像及性質(zhì)可知，對稱軸為x=l,A選項錯誤；

B選項，由指數(shù)函數(shù)圖像及性質(zhì)可知，函數(shù)沒有對稱軸，B選項錯誤；

C選項，因為（-*）4+（-力2=尤4+/，所以函數(shù)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于＞軸對稱，C選項正確;

D選項，函數(shù)定義域為（0,+。），不是偶函數(shù)，D選項錯誤.

故選：C.

6.C

【分析】根據(jù)已知函數(shù)模型計算得出e*=2,再結(jié)合指數(shù)運算計算求解.

【詳解】因為模型：N（t）=NW,其中N0為種群起始個體數(shù)量，r為增長系數(shù)，

因為當(dāng)f=3時，種群個體數(shù)量是起始個體數(shù)量的2倍.

所以N（3）=N^'=2N0,所以e3,=2,

10r4r6r12

若N（4）=N君，=150,則N（10）=A^e=7Voe?e=150x2=600.

故選：C.

7.C

【分析】對選項逐一判斷，不正確的舉反例，正確的加以說明即可.

【詳解】對于A選項：舉反例。=-1,6=1可知不成立；

對于B選項：舉反例。1可知不成立；

13

對于C選項：/—分=3—力（/+次?+人2）=3—/?）[（〃+_力2+_/?2],

24

13

因為。＜6,所以。一匕＜。，而m+—6）220,—〃20且不同時為0,

24

故Y-pvo,即正確；

對于D選項：舉反例。=1,6=1.5可知不成立;

故選：c.

8.DD

【分析】由題意知，x=0是函數(shù)/⑺的一個零點，xwO時，/-x+3=0,可得。=±±1,令

X

g(x)=tjq,分類討論即可得出結(jié)論.

【詳解】由題意知，x=0是函數(shù)的一個零點，

%w0時，^2-x+[x]=0,可得〃=——y,

令g(x)=，l,得到函數(shù)圖象

當(dāng)x>0時％—[0,1)；x-[x]=X-1,XG[1,2)；x-[x]=x-2,xe[2,3)；x-[x]=x-3,xe[3,4)

當(dāng)x<0時％—[幻=%+1,%￡[-1,0)；x-[x]=X+2,XG[-2,-1)；x-[x]=x+3,xe[-3,-2)；

x-[x]=x+4,xe[-4,-3)

由函數(shù)圖象可知雙幻的值域為0+8),注意到％=0一定是函數(shù)的一個零點，

對于選項A,當(dāng)。=0時，/(X)有無數(shù)個零點，故A錯誤；

對于選項B,〃x)有3個零點的充要條件是。[；,1]口(1,+⑹，故B錯誤；

對于選項C,不存在。，“X)有4個零點，故C錯誤；

對于選項D,當(dāng)aeg，；|時,/(%)有5個零點，D正確.

故選：D.

9.A

【分析】根據(jù)題設(shè)函數(shù)，代入數(shù)據(jù)計算即可.

【詳解】由題意，當(dāng)％=0時，S=a=l,

當(dāng)才=5時，S=7e*=3.5,則?3=(,

貝!J—5女=ln^=—ln2,^k=—.

25

故選：A.

10.B

【分析】逐項分析函數(shù)的單調(diào)性和值域，可得正確答案.

【詳解】對A：函數(shù)在（-8,0］上單調(diào)遞減，在（。,+e）上單調(diào)遞增，故A不滿足函數(shù)的單調(diào)性；

對B：函數(shù)在［-1,田>）上單調(diào)遞增，且函數(shù)值域為［0,+8）,故B滿足題意；

對C：函數(shù)在R上單調(diào)遞增，且函數(shù)值域為（0,+8）,故C函數(shù)的值域不滿足條件；

對D：函數(shù)在（0,+"）上單調(diào)遞增，值域為R,故D函數(shù)的值域不滿足條件.

故選:B

11.C

【分析】ABD利用不等式性質(zhì)無法推出，都可舉出反例進行否定；C可借助于指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合不

等式的性質(zhì)得到證明.

【詳解】選項A：a-c<b-d

舉反例：取。=1,b=2,c=3,4=4,貝Ia-c=-2,b-d=-2,顯然-2<-2不成立，因止匕A不恒

成立；

選項B：ac<bd

舉反例：取a--2,b=-1,c=-3,d=-2,則ac=6,bd=2,顯然6<2不成立，故B不恒成立；

選項C：2a+2c<2b+2d

由于指數(shù)函數(shù)2工是嚴格遞增函數(shù)，a<b和c<d分別推出2"<2"和2。<2”，因此2"+2。<2〃+2"

恒成立，因此C恒成立；

選項D：a2+C1<b2+d2

2222

舉反例：取。=-3,6=2,c=T,d=\,貝Ua+c=25,b+d^5,顯然25<5不成立，因此D不

恒成立.

故選：C.

12.C

【分析】根據(jù)常見函數(shù)的單調(diào)性即可逐一求解.

【詳解】對于A,f（1.5）=|1.5-2|=0.5,/（2）=0,由于〃1）>/（2）,故在區(qū)間（1,+e）上不是單調(diào)遞

增的，A錯誤，

對于B,y=2T=［g］在區(qū)間（1,+“）上單調(diào)遞減，B錯誤，

對于C,當(dāng)x>l時，y=x-i單調(diào)遞增，且值恒為正，故y=—1為單調(diào)遞減，所以y=J—=-一:為單調(diào)

x-11-xx-1

遞增，C正確，

對于D,在區(qū)間（1,+8）上單調(diào)遞增，故>=-1必在區(qū)間（1,+8）上單調(diào)遞減，D錯誤，

故選：C

13.A

【分析】由題意得到0.56=穌曉儀，求得3再設(shè)消除60%的污染物對應(yīng)事件為「消除80%的污染物對

應(yīng)事件為馬，得到方程0.44=46叫，O.2Po=PQ^,求解即可;

【詳解】由題意可知：0.5兄=%二°%,即0.5=?！?即左=苗，

設(shè)消除60%的污染物對應(yīng)事件為4,即。.44=4e-M,

設(shè)消除80%的污染物對應(yīng)事件為t2,即0.2a=耳片應(yīng)，

兩式相除可得：2=e-ME),

BPIn2=——/2)，

所以：Z2-^^10,

即從消除60%的污染物到消除80%的污染物大約需要經(jīng)歷10h,

故選：A

14.-8595

4

【分析】根據(jù)給定的碳14質(zhì)量隨時間變化的公式c?)=c°g)含，分別代入不同的時間/或質(zhì)量比值來求

解相應(yīng)的結(jié)果.

【詳解】已知公式C?)=C0(；)套，當(dāng)7=11460時，將其代入公式可得：

C(1146O)=C(1)C(11460)

o,所以

4,

已知髻=?，即兩邊同時除以C?？傻谩?卷=￥

1t

因為應(yīng)=25=a，-?==(1)5,所以(一嚴。=

42222

t33

根據(jù)指數(shù)的性質(zhì)，可得南=5,解得f=]x5730=8595.

故答案為：；；8595.

4

15.1(答案不唯一)，。,+8)

【分析】判斷函數(shù)在每段上的單調(diào)性，根據(jù)y=/(x)的單調(diào)性，列出相應(yīng)不等式，即可求得第一空答案;

分類討論，判斷函數(shù)的零點個數(shù)，即可求得第二空答案.

【詳解】因為a>0,貝UOVxca時，f(x)=x2-?,〃尤)在[0,①上單調(diào)遞增，

止匕時/(x)<a2-a

xNa時，f(x)=^lx2-a2,/(%)在伍,+均上單調(diào)遞增，此時〃x)20,

故要使得V=/⑺為單調(diào)函數(shù)即單調(diào)遞增函數(shù)，則需滿足。2一。<0,;.0V。<1,

結(jié)合〃>0,貝！JOvaWl,

故a的一個取值可為1；

時，/(x)=x2-a,令g(x)=/("一x+<7=0,

貝!]尤2-°=尤一°,解得x=0或x=l；

時，/(尤)=&_/,令g(%)=/(x)-x+a=0,

則J/_々2二彳―^,解得x=a,

當(dāng)0<a41時，g(x)=0在0<x<a時有一解x=0,在xNa時，有一解尤=。，不符合題意；

當(dāng)時，g(x)=0在0Vx<a時有兩解尤=0和x=l,在尤2。時，有一解x=a,符合題意；

故實數(shù)a的取值范圍是(1,+e),

故答案為：1(答案不唯一)，。,+8)

16.；[2,+00)

0<a<l

【分析】第一空：由XVI時，