2024北京重點校高二（下）期末數學匯編

隨機變量及其分布章節綜合（非解答題）

一、單選題

1.（2024北京海淀高二下期末）已知一批產品中，A項指標合格的比例為80%,8項指標合格的比例為

90%,A、B兩項指標都合格的比例為60%,從這批產品中隨機抽取一個產品，若A項指標合格，則該產品

的B項指標也合格的概率是（）

3235

A.—B.—C.—D.一

7346

4

2.（2024北京房山高二下期末）某地區氣象臺統計，夏季里，每天下雨的概率是不，刮風的概率為

21

—,既刮風又下雨的概率為伍.則夏季的某一天里，已知刮風的條件下，也下雨的概率為（）

A.且B.±C.3D.3

2251084

197

3.（2024北京通州高二下期末）設A,8為兩個隨機事件，若P（B|A）=e，P（A）=-,貝U

尸（A|B）=（）

A.-B.—C.1D.-

51025

4.（2024北京通州高二下期末）有兩臺車床加工同一型號零件，第1臺加工的次品率為4%,第2臺加工

的次品率為5%,將兩臺車床加工出來的零件混放在一起，已知第1臺，第2臺車床加工的零件占比分別

為40%,60%,現任取一件零件，則它是次品的概率為（）

A.0.044B.0.046C.0.050D.0.090

5.（2024北京海淀高二下期末）小明投籃3次，每次投中的概率為0.8,且每次投籃互不影響，若投中一

次得2分，沒投中得。分，總得分為X,則（）

A.E（X）=2.4B,E（X）=4.8C.D（X）=0.48D.D（X）=0.96

6.（2024北京石景山高二下期末）己知事件A,B相互獨立，尸⑷=0.8,尸（2）=0.4,則P（3|A）等于

（）

A.0.32B.0.4C.0.5D.0.8

7.（2024北京懷柔高二下期末）某次考試學生甲還有四道單選題不會做，假設每道題選對的概率均為

；，則四道題中恰好做對2道的概率是（）

4

、9「27-27-81

256256128256

8.（2024北京懷柔高二下期末）2021年7月20日，公布了《中共中央、國務院關于優化生育政策促進

人口長期均衡發展的決定》，決定實施一對夫妻可以生育三個子女的政策及配套的支持措施.假設生男、

生女的概率相等，如果一對夫妻計劃生育三個小孩，在已經生育了兩個男孩的情況下，第三個孩子是女孩

的概率為（）

9.（2024北京東城高二下期末）袋中有10個大小相同的小球，其中7個黃球，3個紅球.每次從袋子中隨

機摸出一個球，摸出的球不再放回，則在第一次摸到黃球的前提下，第二次又摸到黃球的概率為（）

A.-B.1C.-D.—

32310

10.（2024北京西城高二下期末）投擲2枚均勻的骰子，記其中所得點數為1的骰子的個數為X,則方差

D（X）=（）

,5?1

A.—B.-C.—D.—

183336

11.（2024北京西城高二下期末）袋中有5個形狀相同的乒乓球，其中3個黃色2個白色，現從袋中隨機

取出3個球，則恰好有2個黃色乒乓球的概率是（）

A.-LB.AC.1D.3

101055

12.（2024北京大興高二下期末）隨機變量X服從正態分布X~N（202）,若尸（2<X<4）=0.3,則

P（XV0）=（）

A.0.2B.0.3

C.0.4D.0.5

13.（2024北京人大附中朝陽學校高二下期末）某公司選擇甲、乙兩部門提供的方案的概率分別為0.45,

0.55,且甲、乙兩部門提供的方案的優秀率分別為0.6,0.8.現從甲、乙兩部門中任選一方案，則該方案

是優秀方案的概率為（）

A.0.69B.0.7C.0.71D.0.72

14.（2024北京人大附中朝陽學校高二下期末）現有武隆喀斯特旅游區、巫山小三峽、南川金佛山、大足

石刻和酉陽桃花源5個旅游景區，甲、乙隨機選擇其中一個景區游玩.記事件A：甲和乙至少一人選擇巫山

小三峽，事件3：甲和乙選擇的景區不同，則條件概率尸（B|A）=（）

A.上B.9c.2D.?

6789

15.（2024北京第二中學高二下期末）李老師全家一起外出旅游，家里有一盆花交給鄰居幫忙照顧，如果

鄰居記得澆水，那么花存活的概率為0.8,如果鄰居忘記澆水，那么花存活的概率為0.3.己知鄰居記得澆

水的概率為0.6,忘記澆水的概率為0.4,那么李老師回來后發現花還存活的概率為（）

A.0.45B.0.5C.0.55D.0.6

二、填空題

16.（2024北京海淀高二下期末）某次社會實踐活動中，甲、乙兩個班的同學共同在一個社區進行民意調

32

查，參加活動的甲、乙兩班的人數之比為2：3,其中甲班的女生占乙班中女生占丁則該社區居民遇到

一位進行民意調查的同學恰好是女生的概率為.

17.（2024北京通州高二下期末）某區高二年級4000名學生的期中檢測的數學成績服從正態分布

A^（90,152）,則成績位于［90,105］的人數大約是.

（參考數據：P（〃-b4X4〃+b）a0.6827,P（〃—2b4X4〃+2cr卜0.9545）

18.（2024北京豐臺高二下期末）某校舉辦“品味，蔬，香，‘勤'滿校園”蔬菜種植活動.某小組種植的番茄

出芽率（出芽的種子數占總種子數的百分比）為80%,出苗率（出苗的種子數占總種子數的百分比）為

70%.若該小組種植的其中一顆種子已經出芽，則它出苗的概率為.

19.（2024北京海淀高二下期末）甲乙兩人射擊一架進入禁飛區的無人機.已知甲乙兩人擊中無人機的概

率分別為0504,且甲乙射擊互不影響，則無人機被擊中的概率為.若無人機恰好被一人擊中，

則被擊落的概率為0.2；若恰好被兩人擊中，則被擊落的概率為0.6,那么無人機被擊落的概率為

20.（2024北京海淀高二下期末）某學校組織趣味運動會，一共設置了3個項目（其中只包含1個球類項

目），每位教師只能從3個項目中隨機選擇2個參加，設李老師選擇的2個項目中所含球類項目的數量為

X,則X的所有可能取值為,數學期望E（X）=.

21.（2024北京順義高二下期末）已知隨機變量X取所有值L2,…，〃是等可能的，且磯X）=2,則

n=.

22.（2024北京懷柔高二下期末）若隨機變量X的分布列為（如表），

X123

￡1

Pa

63

則。=；若隨機變量y=2x+i,則隨機變量y的數學期望E（D=.（用數字作答）

23.（2024北京大興高二下期末）設隨機變量X~8。,量，則E（X）=.

24.（2024北京西城高二下期末）設隨機變量J的分布列如下，其中4，%,生成等差數列，且

01,02,03G（0.1）.

4012

P%a2a3

則%=;符合條件的E（9的一個值為.

25.（2024北京大興高二下期末）袋子中有10十個大小相同的小球，其中7個白球，3個黑球.每次從

袋子中隨機摸出1個球，摸出的球不再放回.

①在第一次摸到白球的條件下，第二次摸到白球的概率為.

②兩次都摸到白球的概率為.

26.（2024北京大興高二下期末）隨機變量X的分布列如下：

X-101

Pabc

其中a,6,c成等差數列，則尸(因=1)=,若則方差。(X)=

0

參考答案

1.C

【分析】根據題意利用條件概率公式求解即可.

【詳解】記事件A為“A項指標合格”，事件g為笛項指標合格”，則

P(A)=80%,P(B)=90%,P(AB)=60%,

60%3

所以尸(叫A)=

80%4

故選：C

2.D

【分析】根據條件概率公式直接可得解.

【詳解】設事件A為當天下雨，事件8為當天刮風,

71

則尸(0=百，P(A2)=歷，

/.、P(AB)3

則已知刮風的條件下，也下雨的概率尸入忸,

尸叫4

故選：D.

3.B

【分析】根據條件概率公式可得P(A3)=g，進而利用條件概率公式代入求解.

【詳解】由條件概率可得P(川4)=?黑=:=尸(48)=1，

1

尸奴)=5=3

所以尸(A|B)

P(B)210,

3

故選：B

4.B

【分析】根據全概率公式計算可得.

【詳解】記現任取一件零件它是次品為事件A,

貝U尸(A)=4%x40%+5%x60%=0.046.

故選:B

5.B

【分析】根據題意隨機變量投中次數服從二項分布，再由變量間的函數關系與二項分布的期望、方差公式

可求.

【詳解】設小明投中次數為九則由題意可知8(3,0.8),

則E?=3x0.8=2.4,。得)=3x0.8x(l-0.8)=0.48,

因為投中一次得2分，沒投中得0分，所以X=2J,

則E（X）=2E?=2x2.4=4.8,D（X）=4D（^）=1.92.

故選：B.

6.B

【分析】利用事件獨立性的概率乘法公式及條件概率公式進行求解.

【詳解】因為事件因B相互獨立,所以尸（AB）=*A）.尸（3）,

所以尸（則=空=3=。.4,

v1'P（A）0.8

故選：B.

7.C

【分析】根據給定條件，利用獨立重復試驗的概率公式列式計算即得.

【詳解】依題意，四道題中恰好做對2道的概率p=C汩）2x（1-

44128

故選：C

8.D

【分析】列出前兩個孩子是男孩的所有基本事件，再由古典概型求解即可.

【詳解】這個家庭已經有兩個男孩的下，計劃生育三個小孩的所有可能為（男男女）、（男男男），

所以在己經生育了兩個男孩的情況下，第三個孩子是女孩的概率為尸=:.

2

故選:D

9.A

【分析】由條件概率、古典概型概率計算公式即可求解.

【詳解】在第一次摸到黃球的前提下，此時袋中有：6個黃球，3個紅球，共9個球，

所以所求概率為尸=《=:

故選：A.

10.A

【分析】根據對立事件的概率乘法公式可得分布列，即可求解期望，進而可得方差.

【詳解】X的分布列為：

Mi

故選：A

11.D

【分析】根據超幾何分布公式計算即可.

【詳解】設事件A表示“取出3個球中恰好有2個黃色乒乓球”，

則尸網=皆=|,

故選：D.

12.A

【分析】根據正態曲線的性質計算可得.

【詳解】因為X~N(2,/)且P(2WX<4)=0.3,所以P(0<XV2)=P(2VX<4)=03,

P(X<2)=0.5,

所以P(XVO)=P(XV2)-P(0<XV2)=0.5-0.3=02.

故選:A

13.C

【分析】利用全概率公式結合題意直接求解即可.

【詳解】用A］，4分別表示選到的方案來自甲部門、乙部門，用8表示選到的方案是優秀方案.

由題意得尸(4)=045,尸(4)=0.55,P(用4)=。6,尸(洌4)=0.8,

所以由全概率公式得尸(3)=P(A)P(⑷4)+尸(&)P(困A)

=0.45x0.6+0.55x0.8=0.71.

故選：C

14.D

【分析】求出事件A發生的個數和事件A,8同時發生的個數，根據條件概率的計算公式，即得答案.

【詳解】由題意可知事件A發生的情況為甲乙兩人只有一人選擇巫山小三峽或兩人都選擇巫山小三峽，個

數為C；C；+1=9,

事件A,3同時發生的情況為一人選巫山小三峽，另一人選其他景區，個數為C；C；=8,故

P(AB)8

P(B|A)=

P(A)9'

故選：D.

15.D

【分析】利用條件概率和全概率公式求解.

【詳解】設事件A：鄰居記得澆水，事件3：鄰居忘記澆水，事件C：花存活,

則有P(A)=0.6,P(B)=0.4,P(C|A)=0.8,P(C\B)=0.3,

由全概率公式可得尸(O=尸(A)尸(C|A)+P(B)P(C\B)=0.48+0.12=0.6,

故選:D.

16.—/0.48

25

【分析】由全概率公式求解可得.

【詳解】記事件A="居民所遇到的一位進行民意調查的同學是甲班的”，

事件A="居民所遇到的一位進行民意調查的同學是乙班的”，

3="居民所遇到的一位進行民意調查的同學是女生”，

則。=4口4，且4,4互斥，BcQ,

23

由題意可知，p(a)=m，尸⑷)=1

37

且PCB|A)=y，P(B\A2)=-,

由全概率公式可知

0aa117

p(B)=p(A)P(BIA)+m)p(fil4)=-x-+-xf=-,

JJJJ乙J

12

即該社區居民遇到一位進行民意調查的同學恰好是女生的概率為

12

故答案為：—.

17.1365

【分析】利用正態分布的對稱性求出成績在［90,105］的概率，再求出對應的人數.

【詳解】令高二年級4000名學生的期中檢測的數學成績為X,則X2V(9O,152),其中〃=90。=15,

貝IJ尸(90WXW105)=P(〃VX<〃+er)=g尸(〃一bVXV〃+cr)。gx0.6827=0.34135,

所以成績位于［90,105］的人數大約是0.34135x4000。1365.

故答案為：1365

18-I

【分析】直接由條件概率計算即可求解.

【詳解】由條件概率可得所求概率為尸70%=器=7"

oO%O

故答案為：

o

19.0.70.22.

【分析】設甲擊中無人機為事件A,乙擊中無人機為事件B,無人機被擊中為事件C,無人機被擊落為事

件。，利用對立事件的概率公式可求出無人機被擊中的概率，利用全概率公式可求出無人機被擊落的概率.

【詳解】設甲擊中無人機為事件A,乙擊中無人機為事件B,無人機被擊中為事件C,無人機被擊落為事

件。，

則尸(A)=0.5,P(B)=0.4,所以p(A)=0.5,P(B)=0.6,

所以p?=1-P(AB)=1-P(A)P(B)=l-0.5x0.6=0.7,

若無人機恰好被一人擊中，即事件

則P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=0.5x0.4+0.5x0.6=0.5,

若無人機被兩人擊中，即事件AB,

貝P(AB)=P(A)P(B)=0.5x0.4=0.2,

所以P(D)=P(AB+AB)P(D\AB+AB)+P(AB)P(D\AB)

=0.5x0.2+0.2x0.6=0.22.

故答案為：0.7,0.22

20.0,1；

【分析】根據題意X服從超幾何分布，應用古典概型概率公式求出相應概率，再由期望公式即可得.

【詳解】X的取值可能為0,1.

依題意可知X服從超幾何分布,

「210If42

貝”(x=0)=百=葭P(x=i)=-^

3

192

所以E(X)=0x§+lx§=§.

2

故答案為：0,1；—.

21.3

【分析】根據隨機變量的數學期望公式列出方程，求解方程即可.

【詳解】由題意可得P（X=1）=P（X=2）==P（X=〃）=L

n

所以E"（X）=（1+2++n）x—=~xnx—=~~~=2,

解得n=3.

故答案為：3.

【分析】利用概率和等于1以及數學期望的計算公式、性質求解.

【詳解】，+。+:=1

o3

1

/.a=—

2

.-.￡(X)=lx1+2x1+3x1=13

6

.y=2x+i

:.E(Y)=2—

63

故答案為：;；號.

23.-

3

【分析】根據二項分布的期望公式計算可得.

【詳解】因為X?B[2,￡],所以石（X）=2xg=g.

,2

故答案為：—

24.11（答案不唯一）

【分析】根據分布列的性質和等差數列的性質，即可求解出；根據離散型隨機變量分布列求期望，再求值.

\a.+a+a.=l1

【詳解】由題意可知，~0;，所以

\ax+%=2%3

￡'(^)=0x^1+lX6Z2+2xd!3=-j+2。3,

所以E（J）eg,符合條件的E偌）的一個值為1