甘肅省一模2024數學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.在下列各數中，無理數是：

A.$\sqrt{4}$

B.$\frac{1}{3}$

C.$\pi$

D.$2.25$

2.已知等差數列$\{a_n\}$的首項為$a_1=3$，公差為$d=2$，則第10項$a_{10}$的值為：

A.18

B.20

C.22

D.24

3.若函數$f(x)=ax^2+bx+c$的圖象開口向上，且頂點坐標為$(1,-1)$，則下列哪個選項正確？

A.$a>0$，$b>0$，$c>0$

B.$a>0$，$b<0$，$c>0$

C.$a<0$，$b>0$，$c<0$

D.$a<0$，$b<0$，$c>0$

4.在三角形ABC中，$AB=AC=5$，$BC=4$，則三角形ABC的面積S為：

A.6

B.8

C.10

D.12

5.已知等比數列$\{a_n\}$的首項為$a_1=2$，公比為$q=\frac{1}{2}$，則第5項$a_5$的值為：

A.$\frac{1}{16}$

B.$\frac{1}{8}$

C.$\frac{1}{4}$

D.$\frac{1}{2}$

6.在下列各式中，正確的是：

A.$a^2+b^2=c^2$，其中$a=3$，$b=4$，$c=5$

B.$a^2+b^2=c^2$，其中$a=5$，$b=12$，$c=13$

C.$a^2+b^2=c^2$，其中$a=8$，$b=15$，$c=17$

D.$a^2+b^2=c^2$，其中$a=7$，$b=24$，$c=25$

7.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，則下列哪個選項正確？

A.$f(1)=0$

B.$f(2)=0$

C.$f(3)=0$

D.$f(4)=0$

8.在下列各數中，整數是：

A.$\sqrt{9}$

B.$\frac{1}{3}$

C.$\pi$

D.$2.25$

9.若函數$f(x)=ax^2+bx+c$的圖象開口向下，且頂點坐標為$(1,-1)$，則下列哪個選項正確？

A.$a>0$，$b>0$，$c>0$

B.$a>0$，$b<0$，$c>0$

C.$a<0$，$b>0$，$c<0$

D.$a<0$，$b<0$，$c>0$

10.在三角形ABC中，$AB=AC=5$，$BC=4$，則三角形ABC的面積S為：

A.6

B.8

C.10

D.12

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數中，哪些是奇函數？

A.$f(x)=x^3$

B.$f(x)=\cosx$

C.$f(x)=e^x$

D.$f(x)=\lnx$

2.已知數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n$，則下列哪些選項是正確的？

A.數列$\{a_n\}$是等比數列

B.數列$\{a_n\}$是等差數列

C.數列$\{a_n\}$的前n項和$S_n$是等比數列

D.數列$\{a_n\}$的前n項和$S_n$是等差數列

3.在下列各對數式中，哪些是正確的？

A.$\log_{10}100=2$

B.$\log_{2}8=3$

C.$\log_{3}27=3$

D.$\log_{4}16=2$

4.下列哪些三角形是等腰三角形？

A.$AB=AC=5$，$BC=4$

B.$AB=BC=3$，$AC=4$

C.$AB=AC=BC=3$

D.$AB=BC=4$，$AC=5$

5.已知函數$f(x)=ax^2+bx+c$，下列哪些條件可以確定函數的圖象與x軸的交點個數？

A.$a>0$，$b^2-4ac>0$

B.$a>0$，$b^2-4ac=0$

C.$a<0$，$b^2-4ac>0$

D.$a<0$，$b^2-4ac=0$

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若等差數列$\{a_n\}$的首項$a_1=5$，公差$d=3$，則第10項$a_{10}$的值為______。

2.函數$f(x)=x^2-4x+4$的頂點坐標為______。

3.在直角坐標系中，點A(2,3)關于直線$x+y=5$的對稱點B的坐標為______。

4.若等比數列$\{a_n\}$的首項$a_1=8$，公比$q=\frac{1}{2}$，則第5項$a_5$的值為______。

5.三角形ABC中，$AB=AC=5$，$BC=4$，則三角形ABC的面積S為______。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算下列極限：

\[

\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+2x-1}{x^2-4x+3}

\]

2.解下列方程：

\[

2x^3-6x^2+9x-1=0

\]

3.已知函數$f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-1}$，求函數的導數$f'(x)$。

4.已知數列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=3^n-2^n$，求該數列的前n項和$S_n$。

5.在直角坐標系中，已知點A(1,2)，點B(4,5)，點C(-1,3)。求三角形ABC的面積。

本專業課理論基礎試卷答案及知識點總結如下：

一、選擇題答案及知識點詳解

1.C.$\pi$是無理數，因為它不能表示為兩個整數的比。

2.A.$a_{10}=a_1+9d=3+9\times2=21$。

3.B.函數圖象開口向上，頂點在x軸下方，所以a>0，b<0，c<0。

4.A.使用海倫公式或直接計算面積公式$S=\frac{1}{2}\times底\times高$。

5.A.$a_5=a_1\timesq^{5-1}=2\times\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}$。

6.A.使用勾股定理驗證。

7.C.$f(3)=3^3-3\times3^2+4\times3-1=0$。

8.B.$\frac{1}{3}$是有理數，因為它可以表示為兩個整數的比。

9.B.函數圖象開口向下，頂點在x軸上方，所以a<0，b<0，c>0。

10.A.使用海倫公式或直接計算面積公式$S=\frac{1}{2}\times底\times高$。

二、多項選擇題答案及知識點詳解

1.A.奇函數滿足$f(-x)=-f(x)$，$x^3$滿足這個條件。

2.A.等比數列的通項公式為$a_n=a_1\timesq^{n-1}$，所以$\{a_n\}$是等比數列。

3.A,B,C.這些都是正確的對數式。

4.A,C.等腰三角形的兩邊相等。

5.A,B,C.根據判別式$b^2-4ac$的值可以確定函數與x軸的交點個數。

三、填空題答案及知識點詳解

1.21。等差數列的第n項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$。

2.(2,2)。對稱點的坐標為$(5-2,5-3)=(3,2)$。

3.(4,5)。對稱點的坐標為$(2,3)$關于直線$x+y=5$的對稱點為$(5-2,5-3)=(3,2)$。

4.$\frac{1}{16}$。等比數列的第n項公式為$a_n=a_1\timesq^{n-1}$。

5.6。使用海倫公式$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，其中$p=\frac{a+b+c}{2}$。

四、計算題答案及知識點詳解

1.$\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+2x-1}{x^2-4x+3}=\lim_{x\to\infty}\frac{3+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}}{1-\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}}=3$。知識點：極限的計算。

2.$x^3-3x^2+9x-1=0$，$x=1$。知識點：多項式方程的解法。

3.$f'(x)=2x-4$。知識點：函數的導數。

4.$S_n=\frac{3(3^n-1)}{2}-\frac{2(2^n-1)}{2}=\frac{3(3^n-1)}{2}-(2^n-1)$。知識點：等比數列的前n項和。

5.$S=\frac{1}{2}\times4\times\sqrt{(2^2+1^2+1^2)}=\frac{1}{2}\times4\times\sqrt{6}=2\sqrt{6}$。知識點：三角形面積的計算。

知識點總結：

本試卷涵蓋了數學基礎知識，包括數列、函數、極限、多項式方程、導數、三角形的面積等。題型涵蓋了選擇題、多項選擇題、填空題和計算題，考察了學生的理解、應用和計算能力。以下是各題型所考察的知識點詳解及示例：