八省聯考試題目及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.若集合\(A=\{x|x^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{1,2\}\)，則\(A\)與\(B\)的關系是（）A.\(A\subsetneqqB\)B.\(A=B\)C.\(B\subsetneqqA\)D.\(A\capB=\varnothing\)答案：B2.復數\(z=\frac{1+i}{1-i}\)的模為（）A.1B.\(\sqrt{2}\)C.2D.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)答案：A3.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(2,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，則\(m=(\)\)A.1B.-1C.4D.-4答案：C4.函數\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(\frac{2\pi}{3}\)答案：A5.等比數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，公比\(q=2\)，則\(a_4=(\)\)A.8B.16C.32D.64答案：A6.過點\((1,0)\)且與直線\(x-y=0\)垂直的直線方程是（）A.\(x+y-1=0\)B.\(x-y-1=0\)C.\(x+y+1=0\)D.\(x-y+1=0\)答案：A7.已知\(a=\log_23\)，\(b=\log_32\)，\(c=\log_4\frac{1}{3}\)，則\(a,b,c\)的大小關系是（）A.\(a>b>c\)B.\(b>a>c\)C.\(a>c>b\)D.\(c>a>b\)答案：A8.雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)的漸近線方程為\(y=\pm\frac{3}{4}x\)，則離心率\(e=(\)\)A.\(\frac{5}{4}\)B.\(\frac{5}{3}\)C.\(\frac{\sqrt{7}}{4}\)D.\(\frac{\sqrt{7}}{3}\)答案：A9.若\(\cos\alpha=\frac{1}{3}\)，\(\alpha\in(0,\pi)\)，則\(\sin\alpha=(\)\)A.\(\frac{2\sqrt{2}}{3}\)B.\(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\)C.\(\frac{\sqrt{2}}{4}\)D.\(-\frac{\sqrt{2}}{4}\)答案：A10.在\(\triangleABC\)中，\(a=3\)，\(b=4\)，\(C=60^{\circ}\)，則\(c=(\)\)A.\(\sqrt{13}\)B.\(\sqrt{19}\)C.\(\sqrt{37}\)D.\(\sqrt{52}\)答案：A二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數是奇函數的是（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\ln\frac{1-x}{1+x}\)答案：ABD2.已知直線\(l:ax+by+c=0\)（\(a,b\)不同時為0），則下列說法正確的是（）A.當\(a=0\)，\(b\neq0\)時，直線\(l\)平行于\(x\)軸B.當\(b=0\)，\(a\neq0\)時，直線\(l\)平行于\(y\)軸C.當\(c=0\)時，直線\(l\)過原點D.直線\(l\)的斜率為\(-\frac{a}{b}\)答案：ABC3.對于數列\(\{a_n\}\)，若\(a_{n+1}=2a_n+1\)，\(a_1=1\)，以下說法正確的是（）A.\(\{a_n+1\}\)是等比數列B.\(a_n=2^{n}-1\)C.\(a_3=7\)D.\(S_3=14\)答案：ABC4.已知函數\(y=f(x)\)的圖象關于\(y\)軸對稱，且當\(x\in[0,+\infty)\)時，\(y=f(x)\)單調遞增，則下列函數符合條件的是（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=e^{-x}\)D.\(y=\vertx\vert\)答案：AD5.在\(\triangleABC\)中，若\(\sinA=\sinB\)，則（）A.\(A=B\)B.\(A+B=\pi\)C.\(\triangleABC\)是等腰三角形D.\(\triangleABC\)是直角三角形答案：AC6.下列關于向量的說法正確的是（）A.若\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，則\(\vec{a}=\vec{0}\)或\(\vec{b}=\vec{0}\)B.若\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)共線，\(\vec{b}\)與\(\vec{c}\)共線，則\(\vec{a}\)與\(\vec{c}\)共線C.\((\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})=\vert\vec{a}\vert^2-\vert\vec{b}\vert^2\)D.\(\vert\vec{a}+\vec{b}\vert\leqslant\vert\vec{a}\vert+\vert\vec{b}\vert\)答案：CD7.已知函數\(y=A\sin(\omegax+\varphi)(A>0,\omega>0,0<\varphi<\pi)\)的部分圖象如圖所示，則（）A.\(A=2\)B.\(\omega=2\)C.\(\varphi=\frac{\pi}{3}\)D.函數的單調遞增區間是\([k\pi-\frac{\pi}{12},k\pi+\frac{5\pi}{12}],k\inZ\)答案：ABD8.若\(x,y\inR\)，且\(x+y=1\)，則（）A.\(x^2+y^2\geqslant\frac{1}{2}\)B.\(xy\leqslant\frac{1}{4}\)C.\(\log_2x+\log_2y\leqslant-2\)D.\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geqslant4\)答案：ABD9.已知拋物線\(y^2=2px(p>0)\)的焦點為\(F\)，準線為\(l\)，過點\(F\)的直線與拋物線交于\(A,B\)兩點，且\(\vertAB\vert=8\)，設\(A,B\)在\(l\)上的射影分別為\(A',B'\)，則（）A.\(p=2\)B.\(\vertAA'\vert+\vertBB'\vert=8\)C.\(\triangleAA'B'\)的面積為\(4\sqrt{3}\)D.\(\frac{1}{\vertAF\vert}+\frac{1}{\vertBF\vert}=\frac{1}{2}\)答案：BD10.已知函數\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^2,x\leqslant1\\2x+a,x>1\end{array}\right.\)在\(R\)上連續，則（）A.\(a=-1\)B.\(f(x)\)在\(x=1\)處可導C.\(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f(x)\)D.\(f(x)\)在\(x=1\)處的導數為\(2\)答案：AC三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）答案：正確2.若\(a>b\)，則\(ac^2>bc^2\)。（）答案：錯誤3.函數\(y=\tanx\)的定義域是\(x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\)。（）答案：正確4.若\(z_1,z_2\inC\)，則\(\vertz_1-z_2\vert=\vertz_2-z_1\vert\)。（）答案：正確5.等比數列\(\{a_n\}\)的公比\(q\neq0\)。（）答案：正確6.直線\(y=kx+b\)的傾斜角\(\theta\)滿足\(\tan\theta=k\)。（）答案：錯誤7.函數\(y=f(x)\)在\(x=x_0\)處的導數\(f'(x_0)\)的幾何意義是曲線\(y=f(x)\)在點\((x_0,f(x_0))\)處的切線斜率。（）答案：正確8.若\(\vec{a},\vec{b}\)是單位向量，則\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\)。（）答案：錯誤9.若\(a\inR\)，則\(a^2\geqslant0\)。（）答案：正確10.若\(y=f(x)\)是偶函數，則\(y=f(x)\)的圖象關于\(x=0\)對稱。（）答案：正確四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數\(y=\frac{1}{x-1}+\sqrt{x+2}\)的定義域。答案：要使函數有意義，則\(\left\{\begin{array}{l}x-1\neq0\\x+2\geqslant0\end{array}\right.\)，解得\(x\geqslant-2\)且\(x\neq1\)。2.已知等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，求數列\(\{a_n\}\)的通項公式。答案：設等差數列\(\{a_n\}\)的公差為\(d\)，由\(a_3=a_1+2d\)，即\(5=1+2d\)，解得\(d=2\)，所以\(a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)\times2=2n-1\)。3.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(-2,m)\)，求\(\vec{a}+\vec{b}\)與\(\vec{a}-\vec{b}\)的坐標。答案：\(\vec{a}+\vec{b}=(1-2,2+m)=(-1,2+m)\)，\(\vec{a}-\vec{b}=(1+2,2-m)=(3,2-m)\)。4.求過點\((-1,2)\)且與直線\(2x-y+1=0\)平行的直線方程。答案：直線\(2x-y+1=0\)的斜率為\(2\)，所求直線方程為\(y-2=2(x+1)\)，即\(2x-y+4=0\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數\(y=x^3-3x^2-9x+5\)的單調性。答案：\(y'=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)\)。令\(y'=0\)，得\(x=-1\)或\(x=3\)。當\(x<-1\)或\(x>3\)時，\(y'>0\)，函數單調遞增；當\(-1<x<3\)時，\(y'<0\)，函數單調遞減。2.在\(\triangleABC\)中，\(a,b,c\)分別為角\(A,B,C\)的對邊，已知\(a=3\)，\(b=4\)，\(A=30^{\circ}\)，討論三角形解的個數。答案：根據正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}\)，\(\sinB=\frac{b\sinA}{a}=\frac{4\times\frac{1}{2}}{3}=\frac{2}{3}\)。因為\(a<b\)，\(\sinB=\frac{2}{3}\)，所以三角形有兩解。3.討論直線\(y=kx+1\)與橢圓\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)的位置關系。答案：將\(y=kx+1\)代入橢圓方程得\((3+4k^2)x^2+8kx-8=0\)，\(\Delta=64k^2+32(3+4k^2)=192k