12/12《反比例函數的圖象與性質（第2課時）》教案一、教學目標【知識與技能】1.理解反比例函數的系數k的幾何意義，并將其靈活運用于坐標系中圖形的面積計算中；2.能解決反比例函數與一次函數的綜合問題．【過程與方法】深刻領會函數解析式與函數圖象之間的聯系，體會數形結合及轉化的思想方法．【情感態度與價值觀】在參與數學活動的過程中，體會探索創新的樂趣，養成樂于探索的習慣．二、課型新授課三、課時第2課時共2課時四、教學重難點【教學重點】 用反比例函數的圖象和性質解決數學中的簡單問題.【教學難點】 數形結合思想在解題中的應用.五、課前準備 教師：課件、直尺、三角板等.學生：直尺、三角板、鉛筆.六、教學過程（一）導入新課（出示課件2）教師問：正比例函數和反比例函數的區別是什么？學生口答后教師整理：函數正比例函數反比例函數解析式y=kx(k≠0)圖形形狀直線雙曲線k＞0位置一、三象限一、三象限增減性y隨x的增大而增大在每個象限，y隨x的增大而減小k＜0位置二、四象限二、四象限增減性y隨x的增大而減小在每個象限內，y隨x的增大而增大（二）探索新知知識點1利用待定系數法確定反比例函數解析式已知反比例函數的圖象經過點A(2，6).(1)這個函數的圖象分布在哪些象限?y隨x的增大如何變化?(2)點B(3，4)、C(）和D（2，5）是否在這個函數的圖象上？（出示課件4、5）師生共同分析：反比例函數的圖象位置及y隨x的變化情況取決于常數k的符號，因此要先求常數k，而題中已知圖象經過點A（2，6），即表明把A點坐標代入解析式成立，所以用待定系數法能求出k，這樣解析式也就確定了.解：（1）因為點A（2,6）在第一象限，所以這個函數的圖象在第一、第三象限，在每個象限內，y隨x的增大而減小.⑵設這個反比例函數為y=，因為點A(2，6)在其圖象上，所以有6=.解得k=12.所以反比例函數的解析式為y=.因為點B，C的坐標都滿足該解析式，而點D的坐標不滿足，所以點B，C在這個函數的圖象上，點D不在這個函數的圖象上.教師問：已知反比例函數圖象上的一點,如何確定其圖象的性質?以及所給的點是否在該圖象上?（出示課件6）學生討論后，教師總結：已知反比例函數圖象上一點，可以根據坐標確定點所在的象限，然后確定反比例函數的性質.或用待定系數法求出反比例函數的解析式，再判斷圖象性質；要判斷所給的點是否在該圖象上，可以將其坐標代入求得的反比例函數解析式中，若滿足左邊＝右邊，則在；若不滿足左邊＝右邊，則不在.出示課件7～9，學生獨立思考后自主解答，一生板演后，教師訂正.知識點2反比例函數的綜合性題目出示課件10、11：如圖是反比例函數的圖象一支，根據圖象回答下列問題：（1）圖象的另一支在哪個象限？常數m的取值范圍是什么？（2）在這個函數圖象的某一支上任取點A（a，b）和B（a′，b′），如果a>a′，那么b和b′有怎樣的大小關系？學生自主思考后，教師板演：解：（１）反比例函數圖象的分布只有兩種可能，分布在第一、第三象限，或者分布在第二、第四象限.這個函數的圖象的一支在第一象限，則另一支必在第三象限．∵函數的圖象在第一、第三象限，∴m－5＞0，解得m＞5．（２）∵m－5＞０，在這個函數圖象的任一支上，y隨x的增大而減小，∴當a＞a′時，b＜b′．教師問：根據反比例函數的部分圖象，如何確定其完整圖象的位置以及比例系數的取值范圍?學生思考后，教師強調：由于雙曲線的兩個分支在兩個不同的象限內，因此函數y隨x的增減性就不能連續的看，一定要強調“在每一象限內”，否則，籠統說k＜0時，y隨x的增大而增大，從而出現錯誤.出示課件12，學生獨立思考后口答，教師訂正.知識點3反比例函數中k的幾何意義出示課件13、14：在反比例函數的圖象上分別取點P，Q向x軸、y軸作垂線，圍成面積分別為S1，S2的矩形，填寫表格：P(2，2)，Q(4，1)S1的值S2的值S1與S2的關系猜想S1，S2與k的關系學生觀察圖象，計算并填表.出示課件15：若在反比例函數中也用同樣的方法分別取P，Q兩點，填寫表格：P(-1，4)，Q(-2，2)S1的值S2的值S1與S2的關系猜想S1，S2與k的關系教師總結：（出示課件16）由前面的探究過程，可以猜想：若點P是圖象上的任意一點，作PA垂直于x軸，作PB垂直于y軸，矩形AOBP的面積與k的關系是S矩形AOBP=|k|.出示課件17：教師引導給出證明：我們就k＜0的情況給出證明：設點P的坐標為(a，b)，∵點P(a，b)在函數的圖象上，∴，即ab=k.若點P在第二象限，則a＜0，b＞0，∴S矩形AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k；若點P在第四象限，則a＞0，b＜0，∴S矩形AOBP=PB·PA=a·(－b)=－ab=－k.綜上，S矩形AOBP=|k|.出示課件18：師生共同歸納：對于反比例函數，點Q是其圖象上的任意一點，作QA垂直于y軸，作QB垂直于x軸，矩形AOBQ的面積與k的關系是S矩形AOBP=|k|.推理：△QAO與△QBO的面積和k的關系是：.出示課件19，學生獨立思考后口答，教師訂正.考點1通過圖形面積確定k的值（出示課件20）例如圖，點A在反比例函數的圖象上，AC垂直x軸于點C，且△AOC的面積為2，求該反比例函數的表達式．師生共同分析后教師板演：解：設點A的坐標為(xA，yA)，∵點A在反比例函數的圖象上，∴xA·yA＝k，，∴k＝4，∴反比例函數的表達式為.出示課件21，學生獨立思考后口答，教師訂正.考點2利用k的性質判斷圖形面積的關系（出示課件22）例如圖，P，C是函數(x＞0)圖象上的任意兩點，PA，CD垂直于x軸.設△POA的面積為S1，則S1=________；梯形CEAD的面積為S2，則S1與S2的大小關系是S1________S2；△POE的面積S3和S2的大小關系是S2________S3.師生共同分析后解答.出示課件23，學生獨立思考后口答，教師訂正.考點3根據k的幾何意義求圖形的面積（出示課件24）例如圖，點A是反比例函數(x＞0)的圖象上任意一點，AB//x軸交反比例函數(x＜0)的圖象于點B，以AB為邊作平行四邊形ABCD，其中點C，D在x軸上，則S四邊形ABCD=___.師生共同分析后解答.出示課件25，學生獨立思考后口答，教師訂正.知識點4一次函數與反比例函數的組合圖形（出示課件26～27）教師問：在同一坐標系中，函數和y=k2x+b的圖象大致如下，則k1、k2、b各應滿足什么條件？學生小組討論后，教師訂正.考點1根據k的值識別函數的圖形（出示課件28）例函數y=kx－k與（k≠0）的圖象大致是()師生共同分析后解答.出示課件29，學生獨立思考后口答，教師訂正.考點2通過函數圖形確定字母的取值范圍（出示課件30）例如圖是一次函數y1=kx+b和反比例函數的圖象，觀察圖象，當y1＞y2時，x的取值范圍為_______.－2－23yx0師生共同分析：y1＞y2即一次函數圖象處于反比例函數圖象的上方時.觀察圖形，可知－2＜x＜0或x＞3.教師強調：對于一些題目，借助函數圖象比較大小更加簡潔明了.出示課件31，學生獨立思考后口答，教師訂正.考點3利用函數的交點解答問題（出示課件32～33）例已知一個正比例函數與一個反比例函數的圖象交于點P(－3，4).試求出它們的解析式，并畫出圖象.師生共同分析后一生板演，教師訂正.解：設y=k1x和.由于這兩個函數的圖象交于點P(－3，4)，則點P的坐標分別滿足這兩個解析式.所以，.解得，.則這兩個函數的解析式分別為和，它們的圖象如圖所示.教師問：這兩個圖象有何共同特點？你能求出另外一個交點的坐標嗎？說說你發現了什么？學生小組討論后口答.出示課件34，學生獨立思考后一生板演，教師訂正.（三）課堂練習（出示課件35-44）引導學生練習35-44頁題目，約用時20分鐘。（四）課堂小結（出示課件45）本節課你有哪些收獲？你還有什么困惑嗎？（引導學生思考答復）師生一起提煉本節課的重要知識和必須掌握的技能：若點P是圖象上的任意一點，作PA垂直于x軸，作PB垂直于y軸，矩形AOBP的面積與k的關系是S矩形AOBP=|k|.（五）課前預習預習下節課（26.2第1課時）的相關內容.能應用反比例函數的圖象及性質解決簡單的實際問題.七、課后作業1.教材第8頁練習第1,2題.2.課堂第14頁第3,4，6，8,10題.八、板書設計26.1.2反比例函數的圖象和性質（第2課時）1.面積不變性2.反比例函數與一次函數的綜合問題九、教學反思本節課結合面積、函數等相關知識點去拓展應用，從而更好的理解反比例函數，并且會應用函數圖像解決一些問題，滲透數形結合的思想.課堂上充分留給學生動腦、動手、動口的機會，讓每個學生都有進步的機會和展示自己的舞臺.知能演練提升能力提升1.如圖,已知正比例函數y=x與反比例函數y=kx(k≠0)的圖象在第一象限交于點A,且AO=2,則k的值為(A.22 B.1 C.2 D.2.如圖,函數y1=x+1與函數y2=2x的圖象相交于點M(1,m),N(-2,n).若y1>y2,則x的取值范圍是(A.x<-2或0<x<1B.x<-2或x>1C.-2<x<0或0<x<1D.-2<x<0或x>13.已知一次函數y1=ax+b與反比例函數y2=kx的圖象如圖所示,當y1<y2時,x的取值范圍是()A.x<2 B.x>5C.2<x<5 D.0<x<2或x>54.函數y=kx+k與y=kx(k≠0)在同一平面直角坐標系中的大致圖象為(5.如圖,直線l是經過點(1,0)且與y軸平行的直線.Rt△ABC中直角邊AC=4,BC=3.將邊BC在直線l上滑動,使點A,B在函數y=kx的圖象上,則k的值是(A.3 B.6 C.12 D.156.已知直線y=ax(a>0)與雙曲線y=3x交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,則4x1y2-3x2y1=.7.如圖,在平面直角坐標系中,函數y=kx(x>0,常數k>0)的圖象經過點A(1,2),B(m,n)(m>1),過點B作y軸的垂線,垂足為C.若△ABC的面積為2,則點B的坐標為.8.如圖,正比例函數y=12x的圖象與反比例函數y=kx(k≠0)在第一象限的圖象交于點A,過點A作x軸的垂線,垂足為M.已知△OAM(1)求反比例函數的解析式;(2)如果點B為反比例函數在第一象限圖象上的點(點B與點A不重合),且點B的橫坐標為1,在x軸上求一點P,使PA+PB最小.9.如圖,在平面直角坐標系中,一次函數y1=ax+b(a,b為常數,且a≠0)與反比例函數y2=mx(m為常數,且m≠0)的圖象交于點A(-2,1),B(1,n)(1)求反比例函數和一次函數的解析式;(2)連接OA,OB,求△AOB的面積;(3)直接寫出當y1<y2<0時,自變量x的取值范圍.創新應用★10.如圖,在平面直角坐標系中,點A是反比例函數y1=kx(k≠0)在第一象限內的圖象上的點,AB⊥x軸的正半軸于點B,C是線段OB的中點.一次函數y2=ax+b的圖象經過A,C兩點,并交y軸于點D(0,-2),且S△AOD=4(1)求反比例函數和一次函數的解析式;(2)觀察圖象,請指出在y軸的右側,當y1>y2時,x的取值范圍.

能力提升1.B2.D3.D4.D若k>0,則雙曲線y=kx位于第一、第三象限,直線y=kx+k經過第一、第二、第三象限;若k<0,則雙曲線y=kx位于第二、第四象限,直線y=kx+k經過第二、第三、第四象限.綜上,選項D符合k<05.D由題意設A(5,a),則B(1,a+3).將A(5,a),B(1,a+3)代入y=kx得a=k5,6.-3根據正比例函數與反比例函數圖象的對稱性可知,它們的兩個交點關于原點對稱,所以x2=-x1,y2=-y1,4x1y2-3x2y1=-4x1y1+3x1y1=-x1y1=-3.7.3,23∵函數y=kx(x>0,常數k>0)的圖象經過點A(1,2),∴k=2.在△ABC中,BC=m,邊BC上的高為2-2m∴12m2-2m=2,m=3.∴n=8.解(1)設點A的坐標為(a,b),則b=ka∴ab=k.∵12ab=1,∴12k=1.∴k=∴反比例函數的解析式為y=2x(2)由y∴A(2,1).設點A關于x軸的對稱點為C,則點C的坐標為(2,-1),且直線BC與x軸的交點P可使PA+PB最小.令直線BC對應函數的解析式為y=mx+n(m≠0).∵點B的坐標為(1,2),∴2=∴直線BC的解析式為y=-3x+5.當y=0時,x=53∴點P的坐標為539.解(1)由題意得,點A(-2,1)在反比例函數y2=mx的圖象上,∴1=m-2,∴m=-2.∴反比例函數的解析式為y2又點B(1,n)也在反比例函數y2=-2x的圖象上∴n=-21=-2.∴B(1,-∵點A,B在一次函數y1=ax+b的圖象上,∴1=-2∴一次函數的解析式為y1=-x-1.(2)設直線AB交y軸于點C,則OC=1.如圖,分別過點A,B作AE⊥y軸,BF⊥y軸,垂足分別為E,F.∵A(-2,1),B(1,-2),∴AE=2,B