石家莊市2025屆普通高中畢業(yè)年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（三）數(shù)學(xué)（本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計(jì)算即可.【詳解】由可得，則.故選：.2.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)，，的單調(diào)性比較與0，1的大小關(guān)系即可.【詳解】因單調(diào)遞增，所以，因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以，因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以，且所以，故選：D.3.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，，且過右焦點(diǎn)的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，的周長為20，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓定義利用焦點(diǎn)三角形的周長列出方程，求出，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求出，即可求出離心率.【詳解】因?yàn)榈闹荛L為20，所以，由橢圓定義可知：，即，又因?yàn)椋詸E圓C的離心率為.故選：B.4.已知隨機(jī)事件A、B，表示事件B的對(duì)立事件，，，則下面結(jié)論正確的是（）A.事件A與B一定是對(duì)立事件B.C.D.若事件A、B相互獨(dú)立，則【答案】D【解析】【分析】舉例判斷AB，由于不確定事件A、B的關(guān)系，故不能求解，即可判斷C，結(jié)合對(duì)立事件概率公式和相互獨(dú)立事件乘法公式求解判斷D.【詳解】對(duì)于AB，一個(gè)密封的盒子中有標(biāo)號(hào)為1,2，3,4,5的5個(gè)小球從中任取1球，記事件A：從中取出球的標(biāo)號(hào)為1,2，事件：從中取出球的標(biāo)號(hào)為1,2,3，則，滿足，但不是對(duì)立事件，故A錯(cuò)誤；由上例可知，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，僅在事件A、B相互獨(dú)立時(shí)才成立，而不知道事件A、B的關(guān)系，故不確定的值，錯(cuò)誤.對(duì)于D，若事件A、B相互獨(dú)立，則事件A、也相互獨(dú)立，所以，正確.故選：D5.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)乳香的平移變換可得函數(shù)的解析式，利用整體代換法即可求解函數(shù)圖象的對(duì)稱中心.【詳解】由題知.令，解得，∴函數(shù)圖象的對(duì)稱中心.∴當(dāng)時(shí)，為函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心.故選：A.6.已知平面向量，是兩個(gè)單位向量，在上的投影向量為，則（）A.-1 B. C.0 D.1【答案】B【解析】【分析】由投影向量的概念求得，從而求出，再利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律展開運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄浚莾蓚€(gè)單位向量，故在上的投影向量為,所以,所以,故選：B.7.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)、且時(shí)，都有成立，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，其中，分析該函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，結(jié)合已知條件得出，然后將所求不等式轉(zhuǎn)化為、，解之即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，故函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)、且時(shí)，都有成立，不妨設(shè)，則，即，故函數(shù)在上為增函數(shù)，即該函數(shù)在上為減函數(shù)，因?yàn)椋瑒t，當(dāng)時(shí)，由得，即，解得；當(dāng)時(shí)，由得，即，解得綜上所述，不等式的解集為.故選：B.8.在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，正方形框架ABCD的邊長為2，長方形框架ABEF的長，且它們所在平面形成的二面角的大小為，活動(dòng)彈子M，N分別在對(duì)角線和上移動(dòng)，且始終保持，則的長度最小時(shí)a的取值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，得到所需各點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，將轉(zhuǎn)化成，從而得到兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算，即可求出取到最小值時(shí)的值.【詳解】由題意知，，就是二面角的平面角，即，以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，過點(diǎn)作軸平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，由，可知，，，，，解得，，，當(dāng)時(shí)，取到最小值，即取到最小值.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列說法正確的是（）A.數(shù)列為遞減數(shù)列B.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值C.D.是等比數(shù)列【答案】ACD【解析】【分析】求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再作差可判斷A選項(xiàng)；結(jié)合二次函數(shù)可判斷B選項(xiàng)；利用降標(biāo)作差可判斷C選項(xiàng)；利用等比數(shù)列的定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】由題意可知，，則，故數(shù)列為遞減數(shù)列，故A正確；因二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，且開口朝下，則當(dāng)或時(shí)，取得最大值，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則，又，符合上式，故，故C正確；令，則，則是等比數(shù)列，故D正確.故選：ACD10.已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，是定義在R上的奇函數(shù)，則（）A.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱B.是周期為2的函數(shù)C.D.【答案】AC【解析】【分析】利用抽象函數(shù)的對(duì)稱性、奇偶性、周期性一一判定選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槭荝上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又可看成是函數(shù)向左平移1個(gè)單位得到，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B，由是R上的奇函數(shù)，可得，即，又，則，所以，故是周期為4的函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，令，得，則，，故C正確；對(duì)于D，由，則，又，是周期為4的函數(shù)，則，而的值無法確定，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知四面體中，，，，為四面體外接球的球心，則下列說法中正確的是（）A.若，則平面B.若，則的取值范圍是C.若，則的取值范圍是D.若，直線與所成的角為，則四面體外接球的表面積為【答案】ABC【解析】【分析】利用線面垂直判定定理可判斷A選項(xiàng)；由結(jié)合空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷B選項(xiàng)；利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；以、為鄰邊作平行四邊形，則為矩形，分、兩種情況求出球的表面積，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，又因?yàn)椋⑵矫妫势矫妫珹對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，由題意，所以，因?yàn)椤⒒楫惷嬷本€，則，故，故，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，不妨取的中點(diǎn)，連接、，則，，同理可得，，所以，，因?yàn)椋剩剩珻對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，以、為鄰邊作平行四邊形，則為矩形，故的各頂點(diǎn)都在球的球面上，如下圖所示：則，又因?yàn)椋⑵矫妫裕矫妫遥缦聢D所示：圓柱的底面圓直徑為，母線長為，則的中點(diǎn)到圓柱底面圓上每點(diǎn)的距離都相等，則為圓柱的外接球球心.可將三棱錐置于圓柱內(nèi)，使得的外接圓為圓，如下圖所示：因?yàn)椋十惷嬷本€、所成的角為或其補(bǔ)角，當(dāng)時(shí)，為等邊三角形，則該三角形外接圓直徑為，設(shè)球的半徑為，則，此時(shí)，球的表面積為；當(dāng)時(shí)，由于，則，則外接圓直徑為，則，此時(shí)，球的表面積為.綜上所述，球的表面積為或，D錯(cuò).故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若命題p：，，則命題p的否定為________________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題否定的方法：改量詞，否結(jié)論，可得答案.【詳解】命題p：，的否定為：，故答案為：13.過點(diǎn)作直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，則直線AB的斜率是________________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，當(dāng)若直線的斜率存在，，將點(diǎn)代入拋物線方程后作差，將點(diǎn)代入可得直線的斜率，再檢驗(yàn)所得結(jié)果，再補(bǔ)充考慮斜率不存在的情況，最后可得結(jié)論.【詳解】設(shè)，若直線的斜率存在，則，點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)，，∴，，兩式作差可得，即，又，，直線的方程是，即，聯(lián)立，可得，方程的判別式，所以方程有兩個(gè)根，故方程組有兩組解，滿足條件，若直線的斜率不存在，則直線方程為，此時(shí)線段AB的中點(diǎn)為矛盾，故答案為：.14.有數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三類競(jìng)賽名額各個(gè)，將所有名額全部分給甲、乙兩所學(xué)校，每所學(xué)校每類名額至少分得一個(gè)，則甲學(xué)校所得到的三類名額的個(gè)數(shù)的乘積與乙學(xué)校所得到的三類名額的個(gè)數(shù)的乘積相等的分法有________種（用數(shù)字作答）．【答案】【解析】【分析】設(shè)甲學(xué)校所得到數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三類競(jìng)賽名額分別為、、，其中、、且、、，推導(dǎo)出、、中至少有一個(gè)，然后列舉出滿足題設(shè)條件的排列，即可得解.【詳解】設(shè)甲學(xué)校所得到數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三類競(jìng)賽名額分別為、、，其中、、且、、，則甲學(xué)校所得到數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三類競(jìng)賽名額分別為、、，由題意可得，若、、均不為，則、、中有兩個(gè)數(shù)大于一個(gè)數(shù)小于或者兩個(gè)數(shù)小于一個(gè)數(shù)大于，由于對(duì)稱性，不妨考查、均小于，大于，則、，，則，則，，故，當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)椋仁讲怀闪ⅲ划?dāng)時(shí)，則，因?yàn)椋捎冢覟榈谋稊?shù)也為的倍數(shù)，而、、、、中沒有倍數(shù)，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)椋忠驗(yàn)闉榈谋稊?shù)，，可得，所以，，若時(shí)，則，此時(shí)，若，則或，此時(shí)，若，則，此時(shí)，均不合乎題意；當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)椋瑒t，可得，故，若，則，此時(shí)；若，則或，此時(shí)，若，則或，此時(shí)，若，則，此時(shí)，均不合乎題意.故、、中至少有一個(gè)為，不妨設(shè)，則，由可得，則，當(dāng)時(shí)，只有種情況，當(dāng)為、、的一個(gè)排列時(shí)，有種情況；當(dāng)為、、或、、或、、的一個(gè)排列時(shí)，各有種情況.綜上所述，符合條件的分法種數(shù)為種.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.設(shè)的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知．（1）求角的大小；（2）若，且，求邊上中線的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)得出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值；（2）利用正弦定理可得出值，利用余弦定理得出的值，利用中線向量可得出，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求出的值，即為所求.【小問1詳解】在中，由及正弦定理得，即，因?yàn)椤ⅲ瑒t，即，可得，故.【小問2詳解】由正弦定理可得，所以，在中，由余弦定理可得，所以，，因?yàn)闉檫吷系闹芯€，所以，所以，故，因此，邊上的中線的長為.16.某短視頻平臺(tái)在2025年上半年推出了新一代的“AI推薦算法”，為了檢測(cè)受眾情況，該公司從點(diǎn)贊的用戶中隨機(jī)選取100名志愿者統(tǒng)計(jì)他們的年齡，并按年齡差異繪制如下頻率分布直方圖.（1）估計(jì)這100名志愿者年齡的中位數(shù)（結(jié)果精確到0.01）和平均數(shù)；（2）依據(jù)上述調(diào)研結(jié)果，按照各年齡段人數(shù)的比例，用分層隨機(jī)抽樣的方法從這100名志愿者中隨機(jī)選取20名志愿者參加座談會(huì)，為了更好地了解年輕人群體，需要從參加座談會(huì)的年齡在的人中隨機(jī)選出3人作為代表發(fā)言，設(shè)隨機(jī)變量表示代表年齡在的志愿者人數(shù)，求的分布列及期望.【答案】（1）估計(jì)這100名志愿者年齡的中位數(shù)和平均數(shù)分別為和（2）的分布列為：【解析】【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的計(jì)算公式即可求解；（2）根據(jù)分層抽樣計(jì)算出年齡在的人數(shù)，和年齡在的人數(shù).由題知年齡在的志愿者人數(shù)服從超幾何分布，的所有可能取值為，，，，根據(jù)超幾何分布的概率分布列公式求出取每個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，即可求解的分布列，根據(jù)離散型隨機(jī)變量的期望公式即可求出的期望.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可知：因?yàn)榍皟山M的頻率之和為，前三組的頻率之和為，所以中位數(shù)位于區(qū)間中，中位數(shù)的估計(jì)值為；由頻率分布直方圖可知：樣本平均數(shù)的估計(jì)值為.故估計(jì)這100名志愿者年齡的中位數(shù)和平均數(shù)分別為和.【小問2詳解】由題可知從中選取的20名志愿者中，年齡在的有人，其中年齡在的有人.由題知年齡在的志愿者人數(shù)服從超幾何分布，的所有可能取值為，，，，，，，，所以的分布列為：的期望.17.已知雙曲線，左、右焦點(diǎn)分別為、，兩條漸近線為，且經(jīng)過點(diǎn)．（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)過原點(diǎn)的直線與交于、兩點(diǎn)且點(diǎn)在第一象限，（i）若以為直徑的圓恰好過右焦點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．（ⅱ）連接與雙曲線交于點(diǎn)，若面積為，求直線的方程．【答案】（1）（2）（i）；（ii）.【解析】【分析】（1）由已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，即可得出雙曲線的方程；（2）（i）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓上，可得出，再由點(diǎn)在雙曲線上，結(jié)合點(diǎn)在第一象限可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；（ii）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將該直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，根據(jù)結(jié)合三角形面積公式、韋達(dá)定理可求得的值，即可得出直線的方程.【小問1詳解】由雙曲線的兩條漸近線方程為，得，即，又因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)，得，解得，，所以雙曲線的方程為.【小問2詳解】（i）由題意知，點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓上，設(shè)點(diǎn)，則，又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，聯(lián)立，可得，又因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以；（ii）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，由題意可得，由雙曲線的對(duì)稱性可知，，解得或（舍去），因?yàn)椋裕瑵M足題意，由圖可知，所以，直線的方程為.18.已知函數(shù)，其中．（1）討論的單調(diào)性；（2）若在定義域內(nèi)有三個(gè)零點(diǎn)a，b，c（）．（ⅰ）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（ⅱ）求證：．【答案】（1）答案見解析；（2）（i）；（ii）證明見解析.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)得，再對(duì)分和討論即可；（2）（i）當(dāng)時(shí)，顯然不會(huì)有3個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求出的兩根，判斷出的符號(hào)，利用零點(diǎn)存在性定理證明零點(diǎn)存在即可；（ii）根據(jù)得，則，最后根據(jù)對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性即可證明.【小問1詳解】的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，所以恒成立，所以在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以的兩根為，且，所以，所以，時(shí)，或時(shí)，．所以在上單調(diào)遞減，在和單調(diào)遞增．綜上：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在和單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增.【小問2詳解】（i）由（1）可知當(dāng)時(shí)，在單調(diào)，不可能有三個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，的兩根為，且，所以，且，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，因?yàn)椋裕O(shè)，在上單調(diào)遞減，，即，所以使.因?yàn)椋忠驗(yàn)椋裕允梗裕?dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，（ii）由（i）可知，的三個(gè)零點(diǎn)：，因?yàn)椋遥裕忠驗(yàn)椋裕驗(yàn)椋院瘮?shù)單調(diào)遞減，，所以，得證．19.有三臺(tái)自動(dòng)打印機(jī)，分別對(duì)自然數(shù)對(duì)進(jìn)行運(yùn)算：第Ⅰ臺(tái)：輸入，則輸出；第Ⅱ臺(tái)：輸入，則輸出，僅當(dāng)a，b同為偶數(shù)時(shí)；第Ⅲ臺(tái)：輸入，，則輸出．若輸入一組自然數(shù)對(duì)，運(yùn)算過程中不再輸入其它自然數(shù)對(duì)，但運(yùn)算中輸出的所有自然數(shù)對(duì)均可重復(fù)使用．例如：若輸入，通過第Ⅰ臺(tái)自動(dòng)打印機(jī)依次可以得到，，；通過第Ⅲ臺(tái)自動(dòng)打印機(jī)輸入，可以得到；通過第Ⅱ臺(tái)自動(dòng)打印機(jī)輸入可以得到．運(yùn)算過程簡(jiǎn)單表示為：通過上述運(yùn)算可以將自然數(shù)對(duì)中的第一個(gè)數(shù)字變?yōu)?．根據(jù)上述運(yùn)算回答下面問題：（1）若輸入，輸出，試列舉一個(gè)完整運(yùn)算過程