江西省橫峰中學(xué)2022-2023學(xué)年第一次教學(xué)質(zhì)量檢測試題數(shù)學(xué)試題試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)滿足對任意都有成立，且函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，，則的值為（）A．0 B．2 C．4 D．12．的展開式中的系數(shù)為（）A．5 B．10 C．20 D．303．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)及點(diǎn)，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．4．正項(xiàng)等差數(shù)列的前和為，已知，則=（）A．35 B．36 C．45 D．545．已知純虛數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)等于（）A． B．1 C． D．26．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足，若在中，，則（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)的零點(diǎn)為m，若存在實(shí)數(shù)n使且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，且，則（）A． B．或 C． D．9．已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，.設(shè)在上的最大值為（），且數(shù)列的前項(xiàng)的和為.若對于任意正整數(shù)不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．10．正四棱錐的五個頂點(diǎn)在同一個球面上，它的底面邊長為，側(cè)棱長為，則它的外接球的表面積為（）A． B． C． D．11．為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)（）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度12．函數(shù)的圖像大致為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到一個偶函數(shù)圖象，則________．14．過點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的半徑為__________．15．在的展開式中的系數(shù)為，則_______．16．古代“五行”學(xué)認(rèn)為：“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”將五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列，但排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰，則這樣的排列方法有_________種.(用數(shù)字作答)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，，分別為內(nèi)角，，的對邊，若同時滿足下列四個條件中的三個：①；②；③；④.（1）滿足有解三角形的序號組合有哪些？（2）在（1）所有組合中任選一組，并求對應(yīng)的面積.（若所選條件出現(xiàn)多種可能，則按計(jì)算的第一種可能計(jì)分）18．（12分）設(shè)函數(shù)其中(Ⅰ)若曲線在點(diǎn)處切線的傾斜角為，求的值;(Ⅱ)已知導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，證明:當(dāng)時，.19．（12分）在中，角，，的對邊分別為，，，，，且的面積為.(1)求；(2)求的周長.20．（12分）已知函數(shù)（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若方程有兩個不同實(shí)根，，證明：．21．（12分）某地在每周六的晚上8點(diǎn)到10點(diǎn)半舉行燈光展，燈光展涉及到10000盞燈，每盞燈在某一時刻亮燈的概率均為，并且是否亮燈彼此相互獨(dú)立.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了其中100盞燈在一場燈光展中亮燈的時長（單位：），得到下面的頻數(shù)表：亮燈時長/頻數(shù)1020402010以樣本中100盞燈的平均亮燈時長作為一盞燈的亮燈時長.（1）試估計(jì)的值；（2）設(shè)表示這10000盞燈在某一時刻亮燈的數(shù)目.①求的數(shù)學(xué)期望和方差；②若隨機(jī)變量滿足，則認(rèn)為.假設(shè)當(dāng)時，燈光展處于最佳燈光亮度.試由此估計(jì)，在一場燈光展中，處于最佳燈光亮度的時長（結(jié)果保留為整數(shù)）.附：①某盞燈在某一時刻亮燈的概率等于亮燈時長與燈光展總時長的商；②若，則，，.22．（10分）在中，角，，的對邊分別為，其中，.（1）求角的值；（2）若，，為邊上的任意一點(diǎn)，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱可得為奇函數(shù)，結(jié)合可得是周期為4的周期函數(shù)，利用及可得所求的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以為上的奇函數(shù).由可得，故，故是周期為4的周期函數(shù).因?yàn)椋?因?yàn)椋剩?故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性，一般地，如果上的函數(shù)滿足，那么是周期為的周期函數(shù)，本題屬于中檔題.2．C【解析】

由知，展開式中項(xiàng)有兩項(xiàng)，一項(xiàng)是中的項(xiàng)，另一項(xiàng)是與中含x的項(xiàng)乘積構(gòu)成.【詳解】由已知，，因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為，所以展開式中的系數(shù)為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查求二項(xiàng)式定理展開式中的特定項(xiàng)，解決這類問題要注意通項(xiàng)公式應(yīng)寫準(zhǔn)確，本題是一道基礎(chǔ)題.3．C【解析】

根據(jù)雙曲線方程求出漸近線方程：，再將點(diǎn)代入可得，連接，根據(jù)圓的性質(zhì)可得，從而可求出，再由即可求解.【詳解】由雙曲線，則漸近線方程：，，連接，則，解得，所以，解得.故雙曲線方程為.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，需掌握雙曲線的漸近線求法，屬于中檔題.4．C【解析】

由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得，求出，再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式能求出.【詳解】正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，解得或（舍），，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式，屬于中檔題.解等差數(shù)列問題要注意應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)（）與前項(xiàng)和的關(guān)系.5．B【解析】

先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法表示出，然后根據(jù)是純虛數(shù)求解出對應(yīng)的的值即可.【詳解】因?yàn)椋裕忠驗(yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算以及根據(jù)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)求解參數(shù)值，難度較易.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則有.6．D【解析】

根據(jù)的結(jié)構(gòu)形式，設(shè)，求導(dǎo)，則，在上是增函數(shù)，再根據(jù)在中，，得到，，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，得到，再利用的單調(diào)性求解.【詳解】設(shè)，所以，因?yàn)楫?dāng)時，，即，所以，在上是增函數(shù)，在中，因?yàn)椋裕驗(yàn)椋遥裕矗裕垂蔬x：D【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.7．D【解析】

易知單調(diào)遞增,由可得唯一零點(diǎn),通過已知可求得,則問題轉(zhuǎn)化為使方程在區(qū)間上有解,化簡可得,借助對號函數(shù)即可解得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】易知函數(shù)單調(diào)遞增且有惟一的零點(diǎn)為，所以，∴，問題轉(zhuǎn)化為：使方程在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解，而根據(jù)“對勾函數(shù)”可知函數(shù)在區(qū)間的值域?yàn)椋?故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題,考查了方程有解問題,分離參數(shù)法及構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用,考查了利用“對勾函數(shù)”求參數(shù)取值范圍問題,難度較難.8．A【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，通分化簡即可.【詳解】由題意，數(shù)列為等比數(shù)列，則，又，即，所以，，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理能力與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9．C【解析】

由已知先求出，即，進(jìn)一步可得，再將所求問題轉(zhuǎn)化為對于任意正整數(shù)恒成立，設(shè)，只需找到數(shù)列的最大值即可.【詳解】當(dāng)時，則，，所以，，顯然當(dāng)時，，故，，若對于任意正整數(shù)不等式恒成立，即對于任意正整數(shù)恒成立，即對于任意正整數(shù)恒成立，設(shè)，，令，解得，令，解得，考慮到，故有當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，有單調(diào)遞減，故數(shù)列的最大值為，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列中的不等式恒成立問題，涉及到求函數(shù)解析、等比數(shù)列前n項(xiàng)和、數(shù)列單調(diào)性的判斷等知識，是一道較為綜合的數(shù)列題.10．C【解析】

如圖所示，在平面的投影為正方形的中心，故球心在上，計(jì)算長度，設(shè)球半徑為，則，解得，得到答案.【詳解】如圖所示：在平面的投影為正方形的中心，故球心在上，，故，，設(shè)球半徑為，則，解得，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了四棱錐的外接球問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.11．D【解析】

通過變形，通過“左加右減”即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，故只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個單位長度可得到函數(shù)的圖象，故答案為D.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移變換，難度不大.12．A【解析】

根據(jù)排除，，利用極限思想進(jìn)行排除即可．【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)椋愠闪ⅲ懦?dāng)時，，當(dāng)，，排除，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，利用函數(shù)值的符號以及極限思想是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據(jù)平移后關(guān)于軸對稱可知關(guān)于對稱，進(jìn)而利用特殊值構(gòu)造方程，從而求得結(jié)果.【詳解】向左平移個單位長度后得到偶函數(shù)圖象，即關(guān)于軸對稱關(guān)于對稱即：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三角函數(shù)的對稱軸求解參數(shù)值的問題，關(guān)鍵是能夠通過平移后的對稱軸得到原函數(shù)的對稱軸，進(jìn)而利用特殊值的方式來進(jìn)行求解.14．【解析】

根據(jù)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,結(jié)合圓心所在直線方程,即可求得圓心坐標(biāo).由兩點(diǎn)間距離公式,即可得半徑.【詳解】因?yàn)閳A經(jīng)過點(diǎn)則直線的斜率為所以與直線垂直的方程斜率為點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為所以由點(diǎn)斜式可得直線垂直平分線的方程為,化簡可得而弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,且圓心在直線上,設(shè)圓心所以圓心滿足解得所以圓心坐標(biāo)為則圓的半徑為故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了直線垂直時的斜率關(guān)系,直線與直線交點(diǎn)的求法,直線與圓的位置關(guān)系,圓的半徑的求法,屬于基礎(chǔ)題.15．2【解析】

首先求出的展開項(xiàng)中的系數(shù)，然后根據(jù)系數(shù)為即可求出的取值.【詳解】由題知，當(dāng)時有，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式展開項(xiàng)的系數(shù)，屬于簡單題.16．1．【解析】試題分析：由題意，可看作五個位置排列五種事物，第一位置有五種排列方法，不妨假設(shè)排上的是金，則第二步只能從土與水兩者中選一種排放，故有兩種選擇不妨假設(shè)排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，故總的排列方法種數(shù)有5×2×1×1×1=1．考點(diǎn)：排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題．點(diǎn)評：本題考查排列排列組合及簡單計(jì)數(shù)問題，解答本題關(guān)鍵是理解題設(shè)中的限制條件及“五行”學(xué)說的背景，利用分步原理正確計(jì)數(shù)，本題較抽象，計(jì)數(shù)時要考慮周詳．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）①，③，④或②，③，④；（2）.【解析】

（1）由①可求得的值，由②可求出角的值，結(jié)合題意得出，推出矛盾，可得出①②不能同時成為的條件，由此可得出結(jié)論；（2）在符合條件的兩組三角形中利用余弦定理和正弦定理求出對應(yīng)的邊和角，然后利用三角形的面積公式可求出的面積.【詳解】（1）由①得，，所以，由②得，，解得或（舍），所以，因?yàn)椋遥裕裕?所以不能同時滿足①，②.故滿足①，③，④或②，③，④；（2）若滿足①，③，④，因?yàn)椋裕?解得.所以的面積.若滿足②，③，④由正弦定理，即，解得，所以，所以的面積.【點(diǎn)睛】本題考查三角形能否成立的判斷，同時也考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角形面積的計(jì)算，要結(jié)合三角形已知元素類型合理選擇正弦定理或余弦定理解三角形，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.18．(Ⅰ)；(Ⅱ)證明見解析【解析】

(Ⅰ)求導(dǎo)得到，，解得答案.(Ⅱ)，故，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，設(shè)，證明函數(shù)單調(diào)遞減，故，得到證明.【詳解】(Ⅰ)，故，，故.(Ⅱ)，即，存在唯一零點(diǎn)，設(shè)零點(diǎn)為，故，即，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，設(shè)，則，設(shè)，則，單調(diào)遞減，，故恒成立，故單調(diào)遞減.，故當(dāng)時，.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的切線問題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵.19．（1）（2）【解析】

（1）利用正弦，余弦定理對式子化簡求解即可；（2）利用余弦定理以及三角形的面積，求解三角形的周長即可．【詳解】（1），由正弦定理可得：，即：，由余弦定理得.（2）∵，所以，，又，且，，的周長為【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，三角形的面積公式，也考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.20．（1）（2）詳見解析【解析】

（1）將原不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，求得的最大值即可；

（2）首先通過求導(dǎo)判斷的單調(diào)區(qū)間，考查兩根的取值范圍，再構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為證明，探究在區(qū)間內(nèi)的最大值即可得證．【詳解】解：（1）由，即，即，令，則只需，，令，得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，的取值范圍是；（2）證明：不妨設(shè)，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，，當(dāng)時，，，要證，即證，由在上單調(diào)遞增，只需證明，由，只需證明，令，，只需證明，易知，由，故，，從而在上單調(diào)遞增，由，故當(dāng)時，，故，證畢．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，最值等，關(guān)鍵是要對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，比如把恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，把根的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖像的交點(diǎn)個數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明不等式的問題，屬難題．21．（1）（2）①，,②72【解析】

（1）將每組數(shù)據(jù)的組中值乘以對應(yīng)的頻率，然后再將結(jié)果相加即可得到亮燈時長的平均數(shù)，將此平均數(shù)除以（個小時），即可得到的估計(jì)值；（2）①利用二項(xiàng)分布的均值與方差的計(jì)算公式進(jìn)行求解；②先根據(jù)條件計(jì)算出的取值范圍，然后根據(jù)并結(jié)合正態(tài)分布概率的對稱性，求解出在滿足取值范圍下對應(yīng)的概率.【詳解】（1）平均時間為（分鐘）∴（2）①∵，∴，②∵，，∴∵，，∴∴即最佳時間長度為72分鐘.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)頻數(shù)分布表求解平均數(shù)、幾何概型（長度模型）、二項(xiàng)分布的均值與方差、正態(tài)分布的概率計(jì)算，屬于