初中數(shù)學(xué)名校資源2/2《公式法解一元二次方程》教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)內(nèi)容分析配方法一節(jié)討論的都是各項(xiàng)系數(shù)為數(shù)字的一元二次方程，如果把討論對象由數(shù)字系數(shù)的一元二次方程，推廣到一元二次方程的一般形式：+bx+c=0，用配方去解它，會得到怎樣的結(jié)果呢？這就是本節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容——一元二次方程求根公式的推導(dǎo)與應(yīng)用.由于限定在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，因此對于求根公式x=，如首先要討論判別式的值的情況.這是使學(xué)生領(lǐng)悟分類討論數(shù)學(xué)思想方法的契機(jī).另外，求根公式不僅直接反映了方程的根由系數(shù)唯一確定（系數(shù)a，b，c確定，方程就確定其根自然就唯一確定），而且也反映了根與系數(shù)的關(guān)系.引導(dǎo)學(xué)生自主探究推導(dǎo)出公式，按照“質(zhì)疑一猜想一類比一探索一歸納一應(yīng)用的教學(xué)流程，讓學(xué)生體會到公式法是由配方法產(chǎn)生的，又優(yōu)于配方法，從而實(shí)現(xiàn)知識及方法的遷移.在探索求根公式的過程中，學(xué)生可以體會到由特殊到一般、由具體到抽象的數(shù)學(xué)思想以及數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.整個(gè)過程又滲透了轉(zhuǎn)化及分類討論的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)為后面學(xué)習(xí)根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系奠定基礎(chǔ).二、學(xué)情分析學(xué)生已掌握了配方法，分別對配方法的解題原理、如何配方、應(yīng)用過程中需要注意的幾種情況作了探究，但都是分離的、具體的，不具有一般性.求一元二次方程的根有沒有一般規(guī)律？這就是求根公式這節(jié)課要探究的問題，即使學(xué)生已經(jīng)非常熟悉配方法解任何數(shù)字系數(shù)的一元二次方程了，但用配方法解字母系數(shù)的一元二次方程仍然是難點(diǎn)，相比上節(jié)課的內(nèi)容更加抽象，且需要學(xué)生有較強(qiáng)的推理能力、計(jì)算能力、歸納總結(jié)的能力以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣.三、教學(xué)目標(biāo)1.理解并掌握一元二次方程求根公式的推導(dǎo).2.掌握公式法的解題步驟，會利用公式法解一元二次方程.3.通過對求根公式的探究，體會由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法.重點(diǎn)一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程及靈活地運(yùn)用公式法解一元二次方程.難點(diǎn)一元二次方程元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程.四、評價(jià)設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)評價(jià)量表標(biāo)準(zhǔn)等級掌握用公式法解一元二次方程的一般步驟，并會用公式法求解任意一元二次方程A會用配方法解一般形式的+bx+c=0（a≠0）的一元二次方程，能推導(dǎo)出求根公式B理解并能根據(jù)b2-4ac符號的情況，判斷一元二次方程根的情況B會用求根公式解任意的數(shù)字系數(shù)及簡單的字母系數(shù)的一元二次方程B五、教學(xué)活動設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動設(shè)計(jì)意圖教師活動學(xué)生活動復(fù)習(xí)舊知引出新知問題1用配方法解下列一元二次方程（1）+6x+5=0；（2）+1.5=-3x；（3）-3x+1=0；（4）+4ax-=0.前面我們已學(xué)習(xí)了用配方法解一元二次方程，想不想再探索一種比配方法更簡單、更直接的方法？那么這節(jié)課我們一同來研究.分別找四位同學(xué)上黑板板演，其他同學(xué)在下面獨(dú)立完成.都完成后，大家給黑板上四位同學(xué)的解答糾錯(cuò)，最后找一位同學(xué)回答配方法解一元二次方程的步驟、每一步的依據(jù)及注意事項(xiàng)；學(xué)生總結(jié)用配方法解一元二次方程的步驟：①移項(xiàng)；②化二次項(xiàng)系數(shù)為1；③方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④原方程變形為（x+a）2=p的形式；⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以直接開平方求出方程的解；如果右邊是負(fù)數(shù)，則一元二次方程無實(shí)數(shù)根.方程（4）已經(jīng)含字母系數(shù)，為后面的配方法求解一般式方程做鋪墊.數(shù)學(xué)是一門邏輯性較強(qiáng)的科目，并且有時(shí)計(jì)算量較大，如果能簡化計(jì)算，那是我們所期望的.循序漸進(jìn)地呈現(xiàn)問題，不是上來就推導(dǎo)求根公式，既降低難度，又讓學(xué)生領(lǐng)悟到公式法解一元二次方程就是由配方法得來的，為后面推導(dǎo)公式做鋪墊.探索與發(fā)現(xiàn)規(guī)律問題2通過以上四個(gè)方程的求解過程，我們發(fā)現(xiàn)每個(gè)一元二次方程都可以使用配方法求解，但是每給出一個(gè)數(shù)字系數(shù)的方程我們都進(jìn)行配方，顯得過于繁瑣.事實(shí)上，這些配方的過程除了數(shù)字不同之外，它們每步的運(yùn)算過程是完全相同的.下面我們根據(jù)配方法的步驟對一元二次方程的一般式進(jìn)行配方：你能試著猜想一下求解上述問題的一般規(guī)律嗎？如何探究呢？進(jìn)一步引導(dǎo)：如果每一個(gè)一元二次方程都通過配方法解，那么計(jì)算就較繁雜，針對一般形式的一元二次方程+bx+c=0（a≠0），能否也用配方法推導(dǎo)出一般的求解模式呢？動手試一試.對于方程+bx+c=0（a≠0），移項(xiàng)，得+bx=-c.二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得.配方，得=.即.因?yàn)閍≠0，所以>0當(dāng)-4ac≥0時(shí)≥0，所以解得當(dāng)-4ac<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.學(xué)生在推導(dǎo)公式時(shí)，不會這么順暢，針對板書上出現(xiàn)的問題，老師進(jìn)行提問.提問1：在最后一步開平方時(shí)，要討論-4ac的正負(fù)嗎？為什么？提問2：這里沒有對分母=|2a|進(jìn)行討論，為什么？提問3：上述推導(dǎo)出的結(jié)論，具有一般性嗎？若具有一般性，那么上述結(jié)論就可以當(dāng)公式用了，在解一個(gè)一元二次方程時(shí)就更簡便了.引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：你能總結(jié)一下公式法解一元二次方程的步驟嗎？學(xué)生獨(dú)立思考.要想得出一般規(guī)律，需先將問題條件一般化，而不能給出具體數(shù)字系數(shù)的一元二次方程.找一名同學(xué)上黑板板演解+bx+c=0（a≠0）的過程，其他同學(xué)在下面推導(dǎo)完成后，為板演的同學(xué)糾錯(cuò).當(dāng)學(xué)生提不出問題時(shí)，老師可引導(dǎo)學(xué)生提問或由老師提問，最后逐漸厘清問題.1.需要討論，因?yàn)槭欠秦?fù)的，如果-4ac<0，就有<0，這在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)是不存在的，因此，此時(shí)方程就無實(shí)數(shù)根；只有-4ac≥0時(shí)，方程才能求解.2.不用討論，因?yàn)閤+=前面有雙重符號“”，所以不討論a>0還是a<0，最后結(jié)果仍是.3.具有一般性，因?yàn)楦飨禂?shù)都是用字母表示的，字母可以代表任意實(shí)數(shù).步驟：①先將方程化為一般形式+bx+c=0；②確定a，b，c的值（注意a，b，c的確定應(yīng)包括各自的符號）；③求解-4ac的值；④如果-4ac≥0，代入公式，即可求出一元二次方程的根.規(guī)律的探索與猜想不僅要關(guān)注結(jié)果，而且要注重得出結(jié)釆的過程，在要求學(xué)生推導(dǎo)公式時(shí)，不是急于給學(xué)生現(xiàn)成的問題去解決，而是追問學(xué)生研究什么樣的問題才可以推導(dǎo)出一般規(guī)律.要引導(dǎo)學(xué)生得出一般結(jié)論，首先就得將問題的條件一般化，這也是研究數(shù)學(xué)問題的方法，對學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)有很大幫助.反饋矯正強(qiáng)化新知問題3解方程.例1用公式法解下列一元二次方程：（1）-4x-12=0；（2）+4x+10=1-8x；（3）x（4x-3）=-2.分析：這些一元二次方程不能使用直接開平方法來求解，我們可以使用配方法，但不如利用求根公式直接，下面我們采用公式法來求解.例2解下列關(guān)于x的方程：（1）+x-m=0；（2）-mx-1=0;（3）-2x+1=0.分析：這幾個(gè)關(guān)于x的方程系數(shù)中都含有字母，因此都需要討論.方程（3）的二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)m，還不定是一元二次方程，還需要分m=0和m≠0兩種情況討論.教師板書解方程（1）的過程，其他由學(xué)生獨(dú)立完成.解（1）因?yàn)閎2-4ac=1+4m，當(dāng)1+4m≥0，即m≥-時(shí)，x=即原方程的根為：當(dāng)1+4m<0，即m<-時(shí)，原方程無實(shí)數(shù)根.在學(xué)生解方程的過程中，教師巡視，關(guān)注學(xué)生遇到的困難，及時(shí)引導(dǎo)，及時(shí)糾正.展示學(xué)生中出現(xiàn)的典型問題，讓學(xué)生糾錯(cuò).提問：在用公式法解一元二次方程時(shí)，應(yīng)注意哪些問題？提升：解關(guān)于x的含字母系數(shù)的方程時(shí)，我們可以按如下步驟來完成：首先，將方程整理成一般形式ax2+bx+c=0其次，分類討論來求解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，原方程可化為bx+c=0.①當(dāng)b≠0時(shí)，原方程的根為x=②當(dāng)b=0時(shí)，原方程可化為0x=-c.（I）當(dāng)c≠0時(shí)，原方程無實(shí)數(shù)根；（II）當(dāng)c=0時(shí)，原方程的根為任意實(shí)數(shù).（2）當(dāng)a≠0時(shí)，原方程為一元二次方程①若-4ac>0，原方程的根為②若-4ac=0，原方程的根為；若-4ac<0，原方程無實(shí)數(shù)根.學(xué)生思考，獨(dú)立完成.例1解（1）因?yàn)閍=5，b=4，c=-12，-4ac=-4×5×（-12）=256>0，所以，x=，即原方程的根為=，=2.（2）原方程可整理為+12x+9=0.因?yàn)閍=4，b=12，c=9，-4ac=0.所以x==，即原方程的根為.（3）原方程可整理為-3x+2=0.因?yàn)閍=4，b=-3，c=2，-4ac=-4×4×2=9-32=-23<0，所以原方程無實(shí)數(shù)根.例2解（2）因?yàn)?4ac=+4，且+4>0恒成立，所以該方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：（3）原方程可化為+1=0當(dāng)m=0時(shí)，原方程為-2x+1=0，解得x=;當(dāng)m≠0時(shí)，原方程為一元二次方程.因?yàn)?4ac=4-4m（m+1）=4m+4，（1）當(dāng)4m+4≥0，即當(dāng)m≥-1且m≠0，x==即原方程的根為（2）當(dāng)4m+4<0，即當(dāng)m<-1，原方程無實(shí)數(shù)根.綜上所述，當(dāng)m=0時(shí)，原方程的根為；當(dāng)m≥-1且m≠0時(shí)，原方程的根為：當(dāng)m<-1時(shí)，原方程無實(shí)數(shù)根用公式法解一元二次方程時(shí)應(yīng)注意：（1）化方程為一般形式；（2）方程有實(shí)數(shù)根的前提條件是b2-4ac是非負(fù)數(shù)；（3）a，b，c的確定應(yīng)包括各自的符號；（4）一元二次方程如果有根，應(yīng)有兩個(gè)；（5）求出的根應(yīng)適當(dāng)化簡.及時(shí)針對所學(xué)的知識設(shè)置反饋練習(xí)，考查學(xué)生對知識的掌握情況.題目設(shè)計(jì)由淺至深，符合學(xué)生的認(rèn)知梯度，并對學(xué)生作答中出現(xiàn)的問題及時(shí)處理，使學(xué)生牢固掌握所學(xué)知識.最后一個(gè)題目有一定的思維深度，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探索的欲望.提升與概括問題4思考：除了使用上述配方的方法來推導(dǎo)出求根公式以外，你還有其他的推導(dǎo)方法嗎？實(shí)際上，我們還有許多配方的其他方法，下面就是其中較簡單的一種：因?yàn)閍≠0，方程兩邊都乘以4a，得移項(xiàng)，得配方，得即當(dāng)-4ac>0時(shí)，直接開平方，得因?yàn)閍≠0，所以x=即原方程的根為：當(dāng)-4ac=0時(shí)，直接開平方，得2ax+b=.因?yàn)閍≠0，所以原方程的根為（3）當(dāng)-4ac<0時(shí)，由于負(fù)數(shù)不能開平方，所以此時(shí)原方程沒有實(shí)數(shù)根.提問：用公式法解一元二次方程，一般要經(jīng)歷的步驟有哪些？這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么樣研究數(shù)學(xué)問題的方法？用公式法解一元二次方程，一般要經(jīng)歷如下步驟：化方程為一般式；確定a，b，c的值；算出b2-4ac的值；當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，代入求根公式求解；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.研究數(shù)學(xué)問題的方法：對比新問題和舊問題，將新知轉(zhuǎn)化為舊知、從特殊到一般的方法.教師引導(dǎo)學(xué)生用不同的方法進(jìn)行配方，促使學(xué)生從多個(gè)角度考慮問題.對公式法的解題步驟進(jìn)行了回顧，學(xué)生可以在回憶和思考中加深對課堂知識的理解，加強(qiáng)記憶，提高應(yīng)用能力，在今后的學(xué)習(xí)中得以將這種把新知轉(zhuǎn)化為舊知的學(xué)習(xí)方法遷移.六、板書設(shè)計(jì)公式法解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)：+bx+c=0（a≠0）例1：……配方后得當(dāng)-4ac>0時(shí)，原方程的根為：例2：……，（2）當(dāng)-4ac=0時(shí)，原方程的根為：（3）當(dāng)-4ac<0時(shí)，原方程沒有實(shí)數(shù)根.七、達(dá)標(biāo)檢測與作業(yè)A級1.用公式法解下列關(guān)于x的一元二次方程：（1）（2）；（3）；（4）3x（x-3）=2（x-1）（x+1）；（5）x（x+1）+1=0；（6）B級2.解下列關(guān)于x的方程（1）-2x+m=0（2）-mx+=0.3.解下列關(guān)于x的方程：（1）（a-1）-2ax+a=0；（2）（m-1）+2mx+m+3=0.4.已知關(guān)于x的一元二次方程+bx+c=0，當(dāng)a，b，c滿足什么條件時(shí)，方程的兩根互為相反數(shù)？八、教學(xué)反思充分挖掘教材，在練習(xí)題與例題的編排上打破常規(guī)，讓學(xué)生先用配方法解四個(gè)元二次方程，通過“猜想一探索一總結(jié)”得出求根公式，再讓學(xué)生用公式法解方程，適時(shí)地滲透了類比的數(shù)學(xué)思想，并深刻地體現(xiàn)了新教材的課改理念.在授課過程中，教師給學(xué)生留下了很大的思維空間，讓學(xué)生親自操作、探索發(fā)現(xiàn).學(xué)生在推導(dǎo)公式時(shí)出現(xiàn)的問題，正是這節(jié)課的難點(diǎn)，教師及時(shí)地捕捉到，針對問題及時(shí)提問，使學(xué)生在不斷的思考中逐步厘清知識.教師不是直接將知識呈現(xiàn)給學(xué)生，而是讓學(xué)生積極參與自主探究、合作交流，把主體地位返還