PAGE1PAGE2專題08柱、錐、臺的表面積問題綜合難點專練-【考點培優尖子生專用】2025學年高二數學專題訓練滬教版含答案專題08柱、錐、臺的表面積問題綜合難點專練（原卷版）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、填空題1．（2021·上海高二專題練習）正四棱臺上、下底面的邊長分別為，，側棱長為，則此棱臺的側面積為________．2．（2021·上海市市西中學）在斜三棱柱中，底面是邊長為的等邊三角形，側棱長為，其中一條側棱與底面兩邊所在直線夾角為，則該斜三棱柱的側面積為___________.3．（2021·上海師范大學第二附屬中學高二期末）已知一個正四棱錐的底面邊長為2，側面與底面所成角的大小為，則該四棱錐的側面積為______．4．（2021·上海市西南位育中學高二期中）已知正三棱錐的底面邊長為2，側棱長為4，則其側面積為__________.5．（2021·上海市建平中學高二期末）圓錐的側面積是底面積的2倍，則它的母線與軸所成角的大小為______．6．（2021·上海市松江二中高二月考）如圖所示，半徑的球O中有一內接圓柱，當圓柱的側面積最大時，球的表面積與圓柱的側面積之差等于___________.7．（2021·上海高二專題練習）若某圓錐的側面展開圖是一個半徑為1的半圓，求圓錐的表面積______．8．（2021·上海市亭林中學高二期末）有兩個相同的直三棱柱，高為，底面三角形的三邊長分別為（）．用它們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情況中，全面積最小的是一個四棱柱，則的取值范圍是_______．9．（2021·上海市奉賢區奉城高級中學高二期中）若圓柱的底面半徑為，高為，則圓柱的全面積是______．二、解答題10．（2021·上海高二專題練習）已知等邊圓柱（軸截面為正方形的圓柱）全面積為，求內接正四棱柱的全面積．11．（2021·上海市行知中學高二月考）如圖，在正三棱柱中，已知，正三棱柱的體積為.（1）求正三棱柱的表面積；（2）求異面直線與所成角的大小.12．（2021·上海高二專題練習）如圖，已知圓錐的頂點為，底面圓心為，高為，底面半徑為.（1）求該圓錐的側面積；（2）設?為該圓錐的底面半徑，且，為線段的中點，求直線與直線所成的角的正切值.13．（2021·上海市亭林中學高二期末）如圖，在直角三角形中，，斜邊，是中點，現將直角三角形以直角邊為軸旋轉一周得到一個圓錐，點為圓錐底面圓周上一點，且．（1）求該圓錐的側面積；（2）求異面直線與所成的角的大小．14．（2021·上海徐匯區·位育中學高二期中）某種“籠具”由內，外兩層組成，無下底面，內層和外層分別是一個圓錐和圓柱，其中圓柱與圓錐的底面周長相等，圓柱有上底面，制作時需要將圓錐的頂端剪去，剪去部分和接頭忽略不計，已知圓柱的底面周長為，高為，圓錐的母線長為.（1）求這種“籠具”的體積（結果精確到0.1）；（2）現要使用一種紗網材料制作50個“籠具”，該材料的造價為每平方米8元，共需多少元？15．（2021·長寧區·上海市延安中學高二期中）如圖所示，圓錐的底面半徑為2，是圓周上的定點，動點在圓周上逆時針旋轉，設()，是母線的中點，已知當時，與底面所成角為.（1）求該圓錐的側面積；（2）若，求的值.16．（2021·上海市實驗學校高二期中）正四棱柱的底面邊長為，.（1）求該正四棱柱的表面積和體積；（2）求異面直線與所成的角的大小(結果用反三角函數值表示)17．（2021·上海市中國中學高二月考）如圖，在正三棱錐中，，點A到底面的距離為2，E為棱的中點．（1）求直線與底面所成角的大小；（結果用反三角函數值表示）（2）求正三棱錐的表面積．18．（2021·上海閔行區·閔行中學高二期末）已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，半徑為1.（1）設圓錐的母線長為2，求圓錐的表面積和體積；（2）設，、是底面半徑，且，如圖，求直線與平面所成的角的大小.19．（2021·上海師范大學第二附屬中學高二月考）如圖，是圓柱的一條母線，過底面圓心，是圓上一點.已知，.（1）求該圓柱的表面積；（2）求點到平面的距離；（3）將四面體繞母線所在的直線旋轉一周，求的三邊在旋轉過程中所圍成的幾何體的體積.20．（2021·上海高二專題練習）如圖，在直四棱柱中，，：（1）求證：平面；（2）現將與四棱柱形狀和大小完全相同的兩個四棱柱拼成一個新的四棱柱，規定：若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同，則視為同一種拼接方案，問共有幾種不同的拼接方案？在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為，寫出的解析式；（直接寫出答案，不必說明理由）PAGE1專題08柱、錐、臺的表面積問題綜合難點專練（解析版）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、填空題1．（2021·上海高二專題練習）正四棱臺上、下底面的邊長分別為，，側棱長為，則此棱臺的側面積為________．【答案】【分析】作出正四棱臺，則正四棱臺的側面是全等的等腰梯形，過作交于點，先求出斜高，再求出等腰梯形的面積，可得出答案.【詳解】設正四棱臺,則正四棱臺的側面是全等的等腰梯形.如圖在側面中，過作交于點，因為為等腰梯形，所以,所以所以側面積為：故答案為：【點睛】本題考查求正四棱臺的側面積，考查正四棱臺的基本性質，屬于基礎題.2．（2021·上海市市西中學）在斜三棱柱中，底面是邊長為的等邊三角形，側棱長為，其中一條側棱與底面兩邊所在直線夾角為，則該斜三棱柱的側面積為___________.【答案】【分析】首先證得，然后分別求出三個側面的面積相加即可求出結果.【詳解】過點作于，因為,則，所以，即，又因為，所以平面，又因為平面，所以，又因為，所以，則該斜三棱柱的側面積為，故答案為：.3．（2021·上海師范大學第二附屬中學高二期末）已知一個正四棱錐的底面邊長為2，側面與底面所成角的大小為，則該四棱錐的側面積為______．【答案】8【分析】過V作平面ABC的垂線VO,交平面ABC于O點,過作OE⊥AB,交AB于E.連結VE,則∠VEO是二面角V-AB-C的平面角，在直角三角形VEO中，利用余弦的定義，即可求出側高，即可求出四棱錐的側面積.【詳解】如圖,在正四棱錐V-ABCD中,底面正方形ABCD邊長為2.側面VAB與底面ABCD所成二面角的大小為60°,過V作平面ABC的垂線VO,交平面ABC于O點,過作OE⊥AB,交AB于E.連結VE,則∠VEO是二面角V-AB-C的平面角,∴∠VEO=60°,OE=AE=BE=1,∴，∴cos∠VEO=,∴該四棱錐的側面積.故答案為：84．（2021·上海市西南位育中學高二期中）已知正三棱錐的底面邊長為2，側棱長為4，則其側面積為__________.【答案】【分析】分析可知正三棱錐的三個側面都是腰長為4，底邊長為2的等腰三角形，可直接求解.【詳解】因為正三棱錐的三個側面都是腰長為4，底邊長為2的等腰三角形，所以正三棱錐的斜高為，所以正三棱錐的側面積為故答案為：5．（2021·上海市建平中學高二期末）圓錐的側面積是底面積的2倍，則它的母線與軸所成角的大小為______．【答案】【分析】根據面積關系得到，再通過三角函數關系計算夾角.【詳解】設底面半徑為，母線長為，則故母線與軸所成角滿足故答案為【點睛】本題考查了圓錐的夾角關系，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.6．（2021·上海市松江二中高二月考）如圖所示，半徑的球O中有一內接圓柱，當圓柱的側面積最大時，球的表面積與圓柱的側面積之差等于___________.【答案】【分析】設出圓柱的上底面半徑為r，球的半徑與上底面夾角為，求出圓柱的側面積表達式，由正弦型函數的單調性求出圓柱側面積的最大值，求出球的表面積，即可求得兩者的差值.【詳解】設圓柱的上底面半徑為r，球的半徑與上底面夾角為（），則，圓柱的高為，圓柱的側面積為：，當，即時，取最大值1，圓柱的側面積取最大值為，所以當圓柱的側面積最大時，球的表面積與圓柱的側面積之差為.故答案為：【點睛】本題考查柱體、球體的表面積，球的內接幾何體，將面積用三角函數表示使計算過程更加簡潔，屬于中檔題.7．（2021·上海高二專題練習）若某圓錐的側面展開圖是一個半徑為1的半圓，求圓錐的表面積______．【答案】【分析】由題意，圓錐的底面周長是，求出圓錐的底面半徑是，再由圓錐的母線長為，能求出圓錐的表面積．【詳解】解：由題意可得，圓錐的底面周長是，設圓錐的底面半徑是，則，解得，圓錐的母線長為，圓錐的表面積是，故答案為：．【點睛】本題主要考查圓錐的表面積的求法，考查圓錐的表面積、側面展開圖的性質等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．8．（2021·上海市亭林中學高二期末）有兩個相同的直三棱柱，高為，底面三角形的三邊長分別為（）．用它們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情況中，全面積最小的是一個四棱柱，則的取值范圍是_______．【答案】【分析】由題意拼成一個三棱柱,分3種情況求出表面積；拼成一個四棱柱,3種情況分別求出表面積,然后求出a的范圍.【詳解】①拼成一個三棱柱時,有三種情況：將上下底面對接,其全面積為：；3a邊可以合在一起時,；4a邊合在一起時，.②拼成一個四棱柱,有三種情況：就是分別讓邊長為3a,4a,5a所在的側面重合,其上下底面積之和都是，但側面積分別為:,,，顯然，三個是四棱柱中全面積最小的值為：.由題意得：，解得：.故答案為：【點睛】（1）求解以由多個幾何體構成組合體的體積的關鍵是確定組合體的形狀以及組合體圖中線面的位置關系和數量關系，利用相應體積公式求解；（2）若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補形法等方法進行求解．9．（2021·上海市奉賢區奉城高級中學高二期中）若圓柱的底面半徑為，高為，則圓柱的全面積是______．【答案】【分析】根據題意使用圓柱的底面積、側面積公式，分別算出該圓柱的底面積和側面積，從而得出該圓柱的全面積.【詳解】∵圓柱的底面半徑為,∴圓柱的底面圓面積.又∵圓柱的高為,∴圓柱的母線長,∴圓柱的側面積.所以,該圓柱的全面積為.故答案為：.二、解答題10．（2021·上海高二專題練習）已知等邊圓柱（軸截面為正方形的圓柱）全面積為，求內接正四棱柱的全面積．【答案】【分析】先設等邊圓柱底面圓半徑為，得到內接正四棱柱的底邊長，以及高，根據圓柱的表面積公式，求得，再由正四棱柱的表面積公式，即可求出結果.【詳解】設等邊圓柱底面圓半徑為，則它的內接正四棱柱的底邊長為，高為，則，所以，∴內接正四棱柱的全面積為：.【點睛】本題主要考查求圓柱內接正四棱柱的表面積，熟記圓柱與棱柱的結構特征，以及表面積公式即可，屬于常考題型.11．（2021·上海市行知中學高二月考）如圖，在正三棱柱中，已知，正三棱柱的體積為.（1）求正三棱柱的表面積；（2）求異面直線與所成角的大小.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設該正三棱柱的底面邊長為，由三棱柱的體積求出，然后計算該正三棱柱的表面積即可；（2）說明為異面直線與所成的角，通過解三角形求解即可．【詳解】（1）設正三棱柱的底面邊長為，則底面的面積為，正三棱柱的體積為，解得，因此，正三棱柱的表面積為；（2），所以，異面直線與所成角為，在正三棱柱中，底面，底面，，在中，，，.因此，異面直線與所成角的大小為.【點睛】本題考查棱柱的體積求法，表面積的求法，異面直線所成角的求法，考查計算能力，屬于基礎題.12．（2021·上海高二專題練習）如圖，已知圓錐的頂點為，底面圓心為，高為，底面半徑為.（1）求該圓錐的側面積；（2）設?為該圓錐的底面半徑，且，為線段的中點，求直線與直線所成的角的正切值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用圓錐側面積公式即可；（2）通過中點作輔助線即可．【詳解】解：（1）底面由題意高，底面半徑，所以母線圓錐的側面積（2）取的中點為，因為為的中點所以，就是直線與直線所成的角．因為，，所以平面，平面，在Rt△PNM中，，．所以的正切值為．即直線與直線所成的角正切值為．13．（2021·上海市亭林中學高二期末）如圖，在直角三角形中，，斜邊，是中點，現將直角三角形以直角邊為軸旋轉一周得到一個圓錐，點為圓錐底面圓周上一點，且．（1）求該圓錐的側面積；（2）求異面直線與所成的角的大小．【答案】（1），（2）【分析】（1）由已知條件求出底面半徑，從而可求出圓錐的側面積，（2）設的中點為，連接，則設異面直線與所成的角即為，由∥，所以平面，然后在直角三角形中求解【詳解】（1）因為直角三角形中，，斜邊，所以，所以圓錐的體積為，（2）設的中點為，連接，因為是中點，所以∥，所以異面直線與所成的角為，平面，所以，所以，所以，所以異面直線與所成的角為，14．（2021·上海徐匯區·位育中學高二期中）某種“籠具”由內，外兩層組成，無下底面，內層和外層分別是一個圓錐和圓柱，其中圓柱與圓錐的底面周長相等，圓柱有上底面，制作時需要將圓錐的頂端剪去，剪去部分和接頭忽略不計，已知圓柱的底面周長為，高為，圓錐的母線長為.（1）求這種“籠具”的體積（結果精確到0.1）；（2）現要使用一種紗網材料制作50個“籠具”，該材料的造價為每平方米8元，共需多少元？【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據“籠具”的構造，可知其體積等于圓柱的體積減去圓錐的體積，即可求出；（2）求出“籠具”的表面積，即可求出50個“籠具”的總造價．【詳解】設圓柱的底面半徑為，高為；圓錐的母線長為，高為，根據題意可知：（1），cm，cm，所以“籠具”的體積cm．（2）圓柱的側面積cm，圓柱的底面積cm，圓錐的側面積cm，所以“籠具”的表面積為cm，故造50個“籠具”的總造價：元．答：這種“籠具”的體積約為cm，生產50個“籠具”的總造價為元.【點睛】本題主要考查簡單組合體的體積和表面積的計算，意在考查學生的數學運算能力，屬于基礎題．15．（2021·長寧區·上海市延安中學高二期中）如圖所示，圓錐的底面半徑為2，是圓周上的定點，動點在圓周上逆時針旋轉，設()，是母線的中點，已知當時，與底面所成角為.（1）求該圓錐的側面積；（2）若，求的值.【答案】（1）.（2）或.【分析】（1）作出與底面所成角，利用，由此求得，進而求得圓錐的側面積.（2）解法一：建立空間直角坐標系，利用求得的值，進而求得的值.解法二：判斷出三角形是等邊三角形，由此求得的值.解法三：通過構造直角三角形的方法，求得的值，進而求得的值.【詳解】（1），，設為中點，連接，則∥，∵平面，∴平面，∴在Rt△中，，，得：，得：，，∴，.（2）解法一：如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，，由題意，，∵，∴或.解法二：設為中點，連接，則∥，∴，又∵，可得：平面，∴，∴△是等邊三角形，∴或.解法三：設為中點，連接?，∴設為中點，連接?，∴，在△中，由余弦定理有：，∴在Rt△中，，在△中，，∴在Rt△中，，即得，∵，∴或.【點睛】本小題主要考查圓錐側面積的求法，考查根據線線垂直求角，屬于中檔題.16．（2021·上海市實驗學校高二期中）正四棱柱的底面邊長為，.（1）求該正四棱柱的表面積和體積；（2）求異面直線與所成的角的大小(結果用反三角函數值表示)【答案】（1），體積為；（2）.【分析】（1）由題意得，再由正四棱柱的表面積和體積公式可得答案.（2）連接，則，轉化為直線與所成的角就是異面直線與所成的角，根據已知得到是等腰三角形，取的中點，連接，所以，可得，【詳解】（1）由題意得，則該正四棱柱的表面積為，體積為.（2）連接，則，所以直線與所成的角就是異面直線與所成的角，在中，，所以是等腰三角形，取的中點，連接，所以，且，在中，由，則得，所以，異面直線與所成的角的大小.【點睛】求異面直線所成的角的幾何方法一般有三種類型：①利用圖中已有的平行線進行平移；②利用特殊點作平行線進行平移；③利用異面直線所在幾何體的特點，補形平移；④向量法.17．（2021·上海市中國中學高二月考）如圖，在正三棱錐中，，點A到底面的距離為2，E為棱的中點．（1）求直線與底面所成角的大小；（結果用反三角函數值表示）（2）求正三棱錐的表面積．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）作平面，垂足為，利用勾股定理和等邊三角形的性質計算底面邊長，連結，則為直線與底面所成角，再由銳角三角函數計算可得；（2）首先利用勾股定理求出三棱錐的斜高，再直接代入面積公式計算即可．【詳解】解：（1）作平面，垂足為，則為等邊三角形的中心，，連結，則，設的邊長為，則，．連結，則，因為平面，所以為直線與底面所成角，所以，直線與底面所成角為；（2）因為，，，所以三棱錐的表面積．18．（2021·上海閔行區·閔行中學高二期末）已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，半徑為1.（1）設圓錐的母線長為2，求圓錐的表面積和體積；（2）設，、是底面半徑，且，如圖，求直線與平面所成的角的大小.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）結合圓錐的表面積和體積公式直接求解即可；（2）等體積法求出點到平面的距離為，然后根據線面角的定義即可求出所成角的正弦值，進而求出結果.【詳解】（1）圓錐的表面積為，圓錐的高為，所以圓錐的體積為；（2）,因為，所以,所以，設點到平面的距離為，因為,所以，解得，設直線與平面所成的角為，則，所以.19．（2021·上海師范大學第二附屬中學高二月考）如圖，是圓柱的一條母線，過底面圓心，是圓上一點.已知，.（1）求該圓柱的表面積；（2）求點到平面的距離；（3）將四面體繞母線所在的直線旋轉一周，求的三邊在旋轉過程中所圍成的幾何體的體積.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】根據題意，結合圓的面積和圓柱的側面積公式，即可求解；（2）根據題意，證得平面，得到，求得，設點到平面的距離為，結合，即可求解；（3）根據線段繞旋轉一周所得幾何體為以為底面半徑，以為高的圓錐，線段繞旋轉一周所得的幾何體為為底面半徑，以為高的圓錐，結合圓錐的體積公式，即可求解.【詳解】由題意知是圓柱的一條母線，過底面圓心，且，可得圓柱的底面圓的半徑為，則圓柱的底面積為，圓柱的側面積為所以圓柱的表面積為.（2）由過底面圓心，是圓上一點，可得，因為，所以，所以三棱