2024—2025學年廣東省東莞市萬江中學高二下學期第一次月考數學試卷

一、單選題(★★)1.從數字1，2，3，4，5，6中取兩個數相加，所得的和共有（）個不同的偶數

A．2B．4C．6D．8(★★★)2.設是等比數列的前n項和，且a3=，S3=，則（）

A．B．6C．或6D．或(★)3.已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1，0)，離心率等于，則C的方程是（）

A．B．C．D．(★★★)4.已知、為雙曲線C：的左、右焦點，點P在C上，∠P=，則

A．2B．4C．6D．8(★★★)5.設拋物線C：y2=4x的焦點為F，過點（–2，0）且斜率為的直線與C交于M，N兩點，則=

A．5B．6C．7D．8(★★★)6.已知是兩個非零向量，其夾角為，若，且，則（）

A．B．C．D．(★★)7.曲線上的任意一點處切線的斜率的取值范圍是（）

A．B．C．D．(★★★)8.已知函數的定義域為，若在上為增函數，則稱為“一階比增函數”；若在上為增函數，則稱為“二階比增函數”．我們把所有“一階比增函數”組成的集合記為，所有“二階比增函數”組成的集合記為．若函數，且，，則實數的取值范圍是（）

A．B．C．D．二、多選題(★★)9.已知函數的導函數的圖象如圖所示，下列結論中正確的是（）

A．是函數的極小值點B．是函數的極小值點C．函數在區間上單調遞增D．函數在處切線的斜率小于零(★★★)10.已知函數，其中正確結論的是（）

A．當時，有最大值；B．對于任意的，函數是上的增函數；C．對于任意的，函數一定存在最小值；D．對于任意的，都有.(★★★)11.已知數列的前項和為，數列的前項和為，則下列選項正確的是（）

A．數列是等差數列B．數列是等比數列C．數列的通項公式為D．三、填空題(★★)12.學校二樓飯堂有牛扒飯，雞扒飯和鰻魚飯三種套餐，甲、乙、丙三位同學從中各選一種，共有________種不同的選法.(★★)13.設P是函數圖象上的動點，則P到直線的距離的最小值為________.(★★★)14.已知函數的導函數為，記，，，，若，則________.四、解答題(★★★)15.已知函數．(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)若在處取得極值，求的單調區間，以及其最大值與最小值．(★★★)16.如圖，在三棱柱中，平面ABC，，D是的中點．(1)求平面與平面ABC夾角的余弦值；(2)在直線CD上是否存在一點P，使得BP與平面所成角的正弦值為，若存在，求出CP的長；若不存在，請說明理由．(★★★)17.已知函數.(1)求函數的極值；(2)在坐標系中畫出函數的簡圖（要含有必要的說明和體現必要的圖象特征）；(3)討論方程的實數解的個數.(★★★★)18.已知函數．（1）求函數的單調區間；（2）設函數，若在上有兩個零點，求實數的取值范圍．(★★★★)19.法國著名數學家加斯帕爾·蒙日在研究圓錐曲線時發現：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以橢圓的中心為圓心，為半徑的圓（為橢圓的長半軸長，為橢圓的短半軸長），這個圓被稱為蒙日圓．已知橢圓的蒙日圓的面積為，短軸長為，作直線與橢圓交于、兩點，與橢圓的蒙日圓交