初等數論考試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.若a，b為整數，且(a,b)=1，則（）。A.(a+b,a-b)=1B.(2a,b)=1C.(a+b,ab)=1D.以上都不對答案：A2.設n是正整數，以下關于同余方程ax≡b(modn)的說法正確的是（）。A.一定有解B.當(a,n)=1時一定有解C.當a,n為偶數時一定有解D.無解答案：B3.整數50!的末尾有（）個0。A.10B.11C.12D.13答案：C4.若p是質數，a是整數，且p∣a2，則（）。A.p∣aB.p2∣a2C.p∣a或者p2∣a2D.以上都不對答案：A5.對于任意整數n，n(n+1)(2n+1)（）。A.能被2整除B.能被3整除C.能被6整除D.以上都不對答案：C6.模7的完全剩余系是（）。A.{0,1,2,3,4,5,6}B.{1,2,3,4,5,6,7}C.{-3,-2,-1,0,1,2,3}D.以上都不對答案：A7.若m，n是互質的正整數，則φ(mn)=（）。A.φ(m)+φ(n)B.φ(m)φ(n)C.φ(m)/φ(n)D.以上都不對答案：B8.設a，b是整數，a≠0，如果存在整數q，r使得b=aq+r，0≤r<|a|，則q和r是（）。A.唯一的B.不唯一的C.q唯一，r不唯一D.q不唯一，r唯一答案：A9.100以內的質數個數是（）。A.25B.26C.27D.28答案：A10.若a≡b(modm)，c≡d(modm)，則（）。A.ac≡bd(modm)B.a+c≡b+d(modm)C.a-c≡b-d(modm)D.以上都對答案：D二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列數中是合數的有（）。A.49B.51C.53D.55E.57答案：A、B、D、E2.設m是正整數，以下關于模m同余關系的性質正確的有（）。A.自反性：a≡a(modm)B.對稱性：若a≡b(modm)，則b≡a(modm)C.傳遞性：若a≡b(modm)，b≡c(modm)，則a≡c(modm)D.若a≡b(modm)，c≡d(modm)，則ac≡bd(modm)E.若a≡b(modm)，則a+c≡b+c(modm)答案：A、B、C、D、E3.下面關于最大公因數的說法正確的有（）。A.(a,b)=(b,a)B.(a,b)=(-a,b)C.(a,0)=|a|D.若a=bq+r，則(a,b)=(b,r)E.(a,a)=a答案：A、B、C、D4.對于整數n，以下關于n2的說法正確的有（）。A.n2≡0或1(mod3)B.n2≡0或1(mod4)C.n2≡0或1(mod5)D.n2≡0或1(mod8)E.n2≡0或1(mod10)答案：A、B5.以下關于歐拉函數φ(n)的說法正確的有（）。A.若n是質數，則φ(n)=n-1B.若n=pq，p,q是不同質數，則φ(n)=(p-1)(q-1)C.若n=p2，p是質數，則φ(n)=p(p-1)D.若n=2k，k是正整數，則φ(n)=kE.φ(1)=1答案：A、B、C、E6.下列同余方程中無解的有（）。A.2x≡3(mod4)B.3x≡2(mod6)C.4x≡3(mod5)D.5x≡2(mod7)E.6x≡3(mod9)答案：A、B7.設a，b，c是整數，m是正整數，若(a,m)=1，以下關于一次同余方程ax≡b(modm)的說法正確的有（）。A.方程有解B.解是唯一的C.若x0是方程的一個解，則所有解為x=x0+km/(a,m)，k∈ZD.方程的解在模m意義下唯一E.方程的解的個數為(a,m)答案：A、D8.以下關于整數整除的說法正確的有（）。A.若a∣b，b∣c，則a∣cB.若a∣b，a∣c，則a∣(b+c)C.若a∣b，a∣c，則a∣(b-c)D.若a∣b，則-a∣bE.若a∣b，則a∣kb，k∈Z答案：A、B、C、D、E9.以下關于完全數的說法正確的有（）。A.6是完全數B.28是完全數C.若2p-1是質數，則2p?1(2p-1)是完全數D.完全數一定是偶數E.所有完全數都可以寫成2的冪次乘以一個奇數的形式答案：A、B、C10.設p是質數，a是整數，以下關于費馬小定理的說法正確的有（）。A.若(a,p)=1，則ap-1≡1(modp)B.若p∣a，則ap≡a(modp)C.對任意整數a，ap≡a(modp)D.若(a,p)=1，則a,p互質E.若ap≡a(modp)，則(a,p)=1或者p∣a答案：A、B、C三、判斷題（每題2分，共10題）1.若a∣b且b∣a，則a=b。（×）2.任意兩個連續整數一定互質。（√）3.若a≡b(modm)，則a2≡b2(modm2)。（×）4.所有偶數都是合數。（×）5.若(a,b)=1，(a,c)=1，則(a,bc)=1。（√）6.對于同余方程ax≡b(modn)，當a,n不互質時一定無解。（×）7.1是最小的正整數。（√）8.若p是質數，a是整數，則(p,a)=1或者p∣a。（√）9.若m是正整數，則模m的剩余類有m個。（√）10.對于任意整數n，n3-n能被6整除。（√）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求100以內的所有質數。答案：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。2.簡述歐幾里得算法求最大公因數的基本步驟。答案：設a,b是兩個整數，a>b。用a除以b得到商q和余數r，即a=bq+r，0≤r<b。則(a,b)=(b,r)，然后對b和r重復上述步驟，直到余數為0，此時除數就是最大公因數。3.說明什么是同余關系，并給出同余關系的基本性質。答案：設m是正整數，若整數a和b滿足m∣(a-b)，則稱a和b對模m同余，記作a≡b(modm)。基本性質有自反性、對稱性、傳遞性、若a≡b(modm)，c≡d(modm)則a+c≡b+d(modm)，ac≡bd(modm)等。4.解釋什么是歐拉函數，如何計算φ(n)。答案：歐拉函數φ(n)表示小于等于n且與n互質的正整數的個數。若n=p1k1p2k2…pmkm，pi是質數，則φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)…(1-1/pm)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論質數在數論中的重要性。答案：質數是數論的核心內容。許多數論定理都與質數有關，如費馬小定理、歐拉定理等。質數可用于構建密碼系統，是因式分解等算法的關鍵因素，在判斷整除性等問題中也起重要作用。2.如何判斷一個數是否為合數？答案：可以嘗試用小于該數平方根的數去整除它，如果能被整除則為合數。也可以根據數的性質，如偶