第1課時(shí)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)和判定15.1.2線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)探究

線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)1.線(xiàn)段的對(duì)稱(chēng)性(1)對(duì)稱(chēng)性:線(xiàn)段是

圖形;

(2)對(duì)稱(chēng)軸:垂直并且平分線(xiàn)段的

是它的一條對(duì)稱(chēng)軸.

軸對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)2.線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的定義：

垂直于一條線(xiàn)段，并且平分這條線(xiàn)段的直線(xiàn)，叫作這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn).（簡(jiǎn)稱(chēng)”中垂線(xiàn)”）線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.幾何語(yǔ)言：∵直線(xiàn)l⊥AB，垂足為C，AC

=BC，點(diǎn)P

在l

上，∴PA

=PB.ABlPC(2)∵AB=AC,∴∠B=∠C=25°,∴∠BAC=130°.∵AD=BD,∴∠BAD=∠B=25°,∴∠CAD=130°-25°=105°.解:(1)∵DE是AB的垂直平分線(xiàn),∴AD=BD,∴C△ACD=AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=16.例1如圖,在△ABC中,AB=AC=6,AB的垂直平分線(xiàn)分別交BC,AB于點(diǎn)D,E.(1)若BC=10,求△ACD的周長(zhǎng);(2)若∠C=25°,求∠CAD的度數(shù).針對(duì)訓(xùn)練

1.下列說(shuō)法中，不正確的是()A.線(xiàn)段是軸對(duì)稱(chēng)圖形B.線(xiàn)段有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸C.線(xiàn)段的對(duì)稱(chēng)軸一定經(jīng)過(guò)這條線(xiàn)段的中點(diǎn)D.線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)是它的一條對(duì)稱(chēng)軸B2.如圖所示，CD是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，若AC=2cm，BD=4cm，則四邊形ACBD的周長(zhǎng)為（

）A.6cmB.10cmC.12cm D.14cmACDBC3.(2025·三原縣二模)如圖,在△ABC中,DE垂直平分AB.若BD=6,CD=3,則AC的長(zhǎng)是()A.12B.10C.9D.8C4.(2024秋·陽(yáng)谷縣期末)如圖,在河岸m上建一個(gè)水廠,向兩個(gè)村莊P,Q供水,若水廠到兩個(gè)村莊P,Q的距離相等，則水廠應(yīng)建在(）A.A點(diǎn)B.B點(diǎn)C.C點(diǎn)D.D點(diǎn)B5.如圖所示,直線(xiàn)

l是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn),O,P是直線(xiàn)

l上的兩點(diǎn),則線(xiàn)段PA,PB,OA,OB的關(guān)系是(

)A.PA=OA,PB=OBB.PA=PB=OA=OBC.PA=OB,PB=OAD.PA=PB,OA=OBD線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定思考把上面線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)的題設(shè)和結(jié)論反過(guò)來(lái)，得到的命題還成立嗎？即如果PA=PB，那么點(diǎn)P

是否在線(xiàn)段AB

的垂直平分線(xiàn)上呢？已知：如圖，在△ABP中PA=PB.求證：點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上.ABP證明：過(guò)點(diǎn)P作線(xiàn)段AB的垂線(xiàn)PC，垂足為C．則∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA和Rt△PCB中，∵PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB(HL)．∴AC=BC．又PC⊥AB，∴點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上．與線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上.結(jié)論針對(duì)訓(xùn)練1.如圖，在△ABC中，AB＝AC，過(guò)腰AB的中點(diǎn)D作AB的垂線(xiàn)，交另一腰AC于點(diǎn)E，連接BE。若BE＝BC，求∠A的度數(shù)；解：設(shè)∠A＝x，由題意可知ED所在直線(xiàn)為線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，所以AE＝BE，所以∠ABE＝∠A＝x，因?yàn)锽E＝BC，所以∠C＝∠BEC＝2x，因?yàn)锳B＝AC，所以∠C＝∠ABC＝2x，所以x＋2x＋2x＝180°，x＝36°，即∠A＝36°。互逆命題與互逆定理兩個(gè)命題的題設(shè)、結(jié)論正好相反，我們把具有這種關(guān)系的兩個(gè)命題叫作_________如果把其中一個(gè)叫作_______，那么另一個(gè)叫作它的_________.互逆命題.原命題逆命題1.如圖，AB=AC，MB=MC.直線(xiàn)AM

是線(xiàn)段BC

的垂直平分線(xiàn)嗎？為什么？ABMC解：直線(xiàn)AM

是線(xiàn)段BC

的垂直平分線(xiàn).理由：∵AB=AC，∴點(diǎn)A

在線(xiàn)段BC

的垂直平分線(xiàn)上.∵M(jìn)B=MC，∴點(diǎn)M

也在線(xiàn)段BC

的垂直平分線(xiàn)上，∴直線(xiàn)AM

是線(xiàn)段BC

的垂直平分線(xiàn).如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理叫作互逆定理，其中一個(gè)定理叫作另一個(gè)定理的逆定理.隨堂演練1.如圖，已知AC垂直平分BD，垂足為E，下列結(jié)論不一定成立的是()A.AB＝AD B.AC平分∠BCDC.∠ABC＝∠ADC D.∠BAD＝∠BCDD2.如圖，P

是

△ABC

內(nèi)一點(diǎn)，若PB=PC，則點(diǎn)P

在（

）∠ABC

的平分線(xiàn)上

∠ACB

的平分線(xiàn)上邊AB

的垂直平分線(xiàn)上邊BC

的垂直平分線(xiàn)上