2024-2025學年第二學期期末數學試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）1.下列二次根式中是最簡二次根式的是（）A. B. C. D.2.下列是一元二次方程是（）A. B. C. D.3.下列各組數中，是勾股數的一組是（）A.13，14，15 B.9，40，41 C.3，4， D.1，，4.一個多邊形內角和是外角和的4倍，這個多邊形的邊數是()A.8 B.9 C.10 D.115.如圖，的對角線，交于點，若，，則的長可能是（）A. B. C. D.6.函數中自變量x的取值范圍是（）A. B. C.且 D.且7.小明在家中利用物理知識稱量某個品牌純牛奶的凈含量，稱得六盒純牛奶的含量分別為：248mL，250mL，249mL，251mL，249mL，253mL，對于這組數據，下列說法正確的是（）.A.平均數為251mL B.中位數為249mLC.眾數為250mL D.方差為8.如圖，是四邊形的對角線．點E，F分別是的中點，點M，N分別是的中點，若四邊形是菱形，則原四邊形應滿足的條件是（）A. B. C. D.9.如圖，正方形的邊長是6，的平分線交于點E，若點P、Q分別是和上的動點，則的最小值（）A.3 B.6 C. D.10.定義：已知，是關于x一元二次方程的兩個實數根，若，且，則稱這個方程為“友好方程”，如：一元二次方程的兩根為，，且，所以一元二次方程為“友好方程”．關于x的一元二次方程，有以下兩個結論：①當時，該方程是“友好方程”；②若該方程是“友好方程”，則有且僅有3個整數p滿足要求，對于這兩個結論判斷正確的是（）A.①②都錯誤 B.①②都正確C.①錯誤，②正確 D.①正確，②錯誤二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11.化簡的結果為______．12.某校6月份每天需要兩名志愿者參與校園衛生巡查，八6班學生積極參與，考慮到所有的不同組合，共有78種組隊可能．如果設八6班參加的學生有人，根據題意列方程并化為一般形式：______．13.已知樣本的平均數為3，方差是2，那么樣本的方差是______．14.如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，將線段繞點A順時針旋轉，得到線段，過點B，C作直線，交x軸于點D．（1）點C的坐標為______；（2）點為線段上一點，且橫坐標為2，若以A，B，E，P為頂點的四邊形為平行四邊形，則點P的坐標為______．三、解答題（本大題共9小題，滿分90分）15.計算：．16.解方程：．17.如圖，在網格圖中，每個小正方形的邊長為1，點A在格點上．（1）在網格圖中，以格點為頂點，畫菱形，使它的邊長為．（2）求菱形面積．18.如圖，在四邊形中，，對角線交于點O，且，過點O作，交于點E，交于點F．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）連接，，，求的度數．19.已知關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根x1，x2（1）求k的取值范圍；（2）若，求出k的值．20.如圖，在菱形中，對角線交于點O，過點A作于點E，延長到點F，使，連接．（1）求證：四邊形是矩形；（2）連接，若，，求的長．21.我校“點愛”社團倡導全校學生參加“關注特殊兒童”自愿捐款活動，并對此次活動進行抽樣調查，得到一組學生捐款情況的數據，將數據整理成如圖所示的統計圖（圖中信息不完整）．請結合以上信息解答下列問題．組別捐款額元人數AaB100C

D

E

（1）本次抽樣調查樣本的容量是______，______；（2）補全“捐教人數分組統計圖”；（3）若記A組捐款平均數為5元，B組捐款的平均數為15元，C組捐款的平均數為25元，D組捐款的平均數為35元，E組捐款的平均數為50元，全校共有2000名學生參加此次活動，請你估計此次活動可以籌得善款的金額大約為多少元．22.某企業為響應國家教育扶貧的號召，決定對某鄉鎮全體貧困初、高中學生進行資助，初中學生每人每月資助200元，高中學生每人每月資助300元．已知該鄉受資助的初中學生人數是受資助的高中學生人數的2倍，且該企業在2023年每月資助學生共支出17500元．（1）問該鄉鎮分別有多少名初中學生和高中學生獲得了資助？（2）2023年受資助的初、高中學生中，分別有和的學生被評為優秀學生，從而獲得了該鄉鎮政府的公開表揚（資助金額未變化）同時，為了激發更多受資助學生，決定對2024年被評為優秀學生的初中學生每人每月增加的資助，對被評為優秀學生的高中學生每人每月增加的資助．在此獎勵政策的鼓勵下，2024年被評為優秀學生的初、高中學生分別比2023年的人數增加了、．這樣，2024年評為優秀學生的初、高中學生所獲得的資助總金額一個月就達到了10800元．①2024年優秀初中學生每人每月的資助金額為______元，優秀高中學生每人每月的資助金額為______元；（用含a的代數式表示，不用化簡）②求a的值．23.如圖①，點E為正方形內一點，，將繞點B按順時針方向旋轉，得到（點A的對應點為點C）．延長交于點F，連接．（1）試判斷四邊形的形狀，并說明理由．（2）如圖①，若，，求的長．（3）如圖②，若，請猜想線段與的數量關系并加以證明．

2024-2025學年第二學期期末數學試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）1.下列二次根式中是最簡二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了最簡二次根式的定義，解題的關鍵是掌握最簡二次根式必須滿足兩個條件：（1）被開方數不含分母；（2）被開方數不含能開得盡方的因數或因式．據此求解即可．【詳解】解：A．，不是最簡二次根式；B．是最簡二次根式；C．，被開方數是分數，不是最簡二次根式；D．，被開方數是小數，不是最簡二次根式；故選：B．2.下列是一元二次方程的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】一元二次方程的概念：只有一個未知數且未知數最高次數為2的整式方程叫做一元二次方程，據此逐項判斷即可．【詳解】解：A中方程的未知數的最高次數是1次，故不是一元二次方程，不符合題意；B中方程含有兩個未知數，故不是一元二次方程，不符合題意；C中方程是一元二次方程，符合題意；D中方程不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查一元二次方程的概念，熟知一元二次方程滿足的條件是解答的關鍵．3.下列各組數中，是勾股數的一組是（）A.13，14，15 B.9，40，41 C.3，4， D.1，，【答案】B【解析】【分析】此題主要考查了勾股數，掌握勾股數的定義及勾股定理的逆定理是解題的關鍵．判斷是否為勾股數，必須根據勾股數是正整數，同時還需驗證較小兩數的平方和是否等于最大數的平方．【詳解】解：A、，不能構成直角三角形，故選項錯誤，不符合題意；B、，能構成直角三角形，是整數，故選項正確，符合題意；C、不是整數，故選項不符合題意；D、1，，，不是整數，故選項不符合題意；故選：B．4.一個多邊形的內角和是外角和的4倍，這個多邊形的邊數是()A.8 B.9 C.10 D.11【答案】C【解析】【分析】根據多邊形的內角和公式及外角的特征計算．【詳解】多邊形的外角和是，根據題意得：，解得．故選：C．【點睛】本題主要考查了多邊形內角和公式及外角的特征．求多邊形的邊數，可以轉化為方程的問題來解決．5.如圖，的對角線，交于點，若，，則的長可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據平行四邊形的對角線互相平分得到OA、OB的長度，再根據三角形三邊關系得到AB的取值范圍，即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=AC=3，BO=BD=4，在△AOB中，4-3<AB<4+3∴1<AB<7，結合選項可得，AB的長度可能是6，故選D．【點睛】本題考查平行四邊形的性質和三角形的三邊關系，熟練掌握平行四邊形的對角線互相平分是解題的關鍵．6.函數中自變量x的取值范圍是（）A. B. C.且 D.且【答案】D【解析】【分析】本題考查了分式有意義，二次根式有意義，求函數自變量的取值范圍需考慮分母不為零和被開方數為非負數，據此進行列式計算，即可作答．【詳解】解：∵，∴，，即且，故選：D．7.小明在家中利用物理知識稱量某個品牌純牛奶的凈含量，稱得六盒純牛奶的含量分別為：248mL，250mL，249mL，251mL，249mL，253mL，對于這組數據，下列說法正確的是（）.A.平均數為251mL B.中位數為249mLC.眾數為250mL D.方差為【答案】D【解析】【詳解】試題分析：中位數是一組數據按大小順序排列，中間一個數或兩個數的平均數，即為中位數；出現次數最多的數即為眾數；方差就是各變量值與其均值離差平方的平均數，根據方差公式計算即可，所以計算方差前要先算出平均數，然后再利用方差公式計算．A、這組數據平均數為：（248+250+249+251+249+253）÷6=250，故此選項錯誤；B、數據重新排列為：248，249，249，250，251，253，其中位數是（249+250）÷2=249.5，故此選項錯誤；C、這組數據出現次數最多的是249，則眾數為249，故此選項錯誤；D、這組數據的平均數250，根據方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，則其方差為：×[（248﹣250）2+（250﹣250）2+（249﹣250）2+（251﹣250）2+（249﹣250）2+（253﹣250）2]=，故此選項正確；故選D．考點：平均數、中位數、眾數、方差的定義.8.如圖，是四邊形的對角線．點E，F分別是的中點，點M，N分別是的中點，若四邊形是菱形，則原四邊形應滿足的條件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了三角形的中位線定理以及菱形的性質，由題意得分別是的中位線，推出且；四邊形是平行四邊形；根據四邊形是菱形，得到，推出，即可求解；【詳解】解：由題意得：分別是的中位線，∴且；且；且；且；∴且；∴四邊形是平行四邊形，∵四邊形是菱形，∴，∴，故選：A．9.如圖，正方形的邊長是6，的平分線交于點E，若點P、Q分別是和上的動點，則的最小值（）A.3 B.6 C. D.【答案】C【解析】【分析】在上取點F，使，連接，根據角平分計算，可得，得，得取得最小值為，當時，取得最小值，求出,即得，即得的最小值．【詳解】解：在上取點F，使，連接，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，當點Q在上時，，取得最小值，當時，取得最小值，∵正方形的邊長是6，∴，∴，∵，∴，∴的最小值為．故選：C．【點睛】本題考查的是勾股定理——最短路線問題．熟練掌握正方形性質，等腰直角三角形性質，勾股定理，全等三角形判定和性質，垂線段性質，根據題意作出輔助線，是解答此題的關鍵．10.定義：已知，是關于x的一元二次方程的兩個實數根，若，且，則稱這個方程為“友好方程”，如：一元二次方程的兩根為，，且，所以一元二次方程為“友好方程”．關于x的一元二次方程，有以下兩個結論：①當時，該方程是“友好方程”；②若該方程是“友好方程”，則有且僅有3個整數p滿足要求，對于這兩個結論判斷正確的是（）A.①②都錯誤 B.①②都正確C.①錯誤，②正確 D.①正確，②錯誤【答案】D【解析】【分析】本題考查了新定義方程，解一元二次方程，根的判別式，把代入方程，求出方程的根，再根據“友好方程”的定義即可判斷①；利用因式分解法解方程得，或，，分兩種情況，根據“友好方程”的定義求出的取值范圍，進而可判斷②；理解新定義方程是解題的關鍵．【詳解】解：①當時，方程為，解得，，∴，∵，且，∴該方程是“友好方程”，故①正確；②∵，∴，∴或，∴，或，，∵該方程是“友好方程”，∴該方程有兩個不相等的實數根，∴，∴，當，時，∵，∴，解得，∵有且僅有個整數滿足要求，∴此時的值不存在；當，時，，解得，又∵，∴此時滿足要求的整數的值只有，兩個，故②錯誤；綜上，結論①正確，②錯誤，故選：D．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11.化簡的結果為______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了二次根式的性質，掌握是解題的關鍵．直接運用二次根式的性質化簡即可．【詳解】解：∵，∴．故答案為：．12.某校6月份每天需要兩名志愿者參與校園衛生巡查，八6班學生積極參與，考慮到所有的不同組合，共有78種組隊可能．如果設八6班參加的學生有人，根據題意列方程并化為一般形式：______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查一元二次方程的建立，根據題目中“共有78種組隊可能”建立方程，再轉化為一般形式的一元二次方程．【詳解】解：設八6班參加的學生有人可列方程：，化為一般形式：．故答案為：13.已知樣本的平均數為3，方差是2，那么樣本的方差是______．【答案】18【解析】【分析】本題主要考查方差的計算公式及其運用，一般地設有n個數據，，若每個數據都放大或縮小相同的倍數后再同加或同減去一個數，其平均數也有相對應的變化，方差則變為這個倍數的平方倍．根據方差的變化規律即可解答．【詳解】解：∵的方差是2，∴的方差是．故答案為18．14.如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，將線段繞點A順時針旋轉，得到線段，過點B，C作直線，交x軸于點D．（1）點C的坐標為______；（2）點為線段上一點，且橫坐標為2，若以A，B，E，P為頂點的四邊形為平行四邊形，則點P的坐標為______．【答案】①②.或或【解析】【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質、求一次函數解析式、一次函數與幾何的綜合、平行四邊形的性質等知識點掌握數形結合思想是解題的關鍵．（1）先求得，即，；如圖：過點C作軸于M，再證明可得、，即可確定點C的坐標；（2）先求得直線的解析式為，易得；設時，以A，B，E，P為頂點的四邊形為平行四邊形，然后分為平行四邊形的一邊和對角線兩種情況分別運用平行四邊形的性質求解即可．【詳解】解：（1）當時，；當時，；∴，∴，，如圖：過點C作軸于M，∵將線段繞點A順時針旋轉，得到線段，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴；故答案為：；（2）設直線的解析式為，則，解得：，∴直線的解析式為，當時，，即，設時，以A，B，E，P為頂點的四邊形為平行四邊形，如圖：當為平行四邊形的一邊且點P在x軸上方時，根據平行四邊形的對角線相互平分可得：，解得：，即；如圖：當為平行四邊形的一邊且點P在x軸下方時，根據平行四邊形的對角線相互平分可得：，解得：，即；如圖：當為平行四邊形的對角線時，根據平行四邊形的對角線相互平分可得：，解得：，即．綜上，點P的坐標為或或．故答案為：或或．三、解答題（本大題共9小題，滿分90分）15.計算：．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了二次根式的性質、二次根式的混合運算等知識點，掌握二次根式的混合運算法則成為解題關鍵．先根據二次根式的性質化簡，再運用完全平方公式計算，最后合并同類二次根式即可．【詳解】解：．16.解方程：．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了解一元二次方程，掌握常見的一元二次方程的解答方法是解題的關鍵．直接運用因式分解法求解即可．【詳解】解：，，，所以該方程的解為：．17.如圖，在網格圖中，每個小正方形的邊長為1，點A在格點上．（1）在網格圖中，以格點為頂點，畫菱形，使它的邊長為．（2）求菱形的面積．【答案】（1）見解析（2）12或5【解析】【分析】本題主要考查了勾股定理、菱形的定義、菱形的面積等知識點，掌握菱形的性質成為解題的關鍵．（1）先以A為線段的一個端點，以2和3個方格確定邊，然后確定菱形的頂點C、D，然后再順次連接即可解答；（2）如圖1：可知；如圖2：，然后分別根據菱形的面積為對角線積的一半即可解答．【小問1詳解】解：如圖：菱形即為所求．或【小問2詳解】解：如圖1：可知，則菱形面積為：；如圖2：可知，則菱形的面積為：．綜上，菱形的面積為12或5．18.如圖，在四邊形中，，對角線交于點O，且，過點O作，交于點E，交于點F．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）連接，，，求的度數．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題主要考查平行線的性質、平行四邊形的判定和性質、垂直平分線的性質、等腰三角形的性質等知識點，靈活運用相關知識是解題的關鍵．（1）通過、，再證明可得，然后結合即可證明結論；（2）設，先證為的垂直平分線推出，再利用平行線性質、等腰三角形的性質證明，即可求解．【小問1詳解】證明：∵，，又∵，，∴，∴，又∵，∴四邊形為平行四邊形．【小問2詳解】解：設，則，由（1）得：四邊形為平行四邊形，∴，∵，∴為的垂直平分線，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，解得：，即．19.已知關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根x1，x2（1）求k的取值范圍；（2）若，求出k的值．【答案】（1）k＜2；（2）-8．【解析】【分析】（1）根據方程有兩個不相等的實數根，得到，即可求出k的范圍；（2）利用根與系數關系即可求出k的值．【小問1詳解】解：∵關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，∴，解得：，【小問2詳解】解：∵關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根x1，x2，∴，，∵，∴，即：整理得：，∴，解得：，，∵，∴【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式與根的個數的關系，根與系數的關系（韋達定理）．熟記當時，方程有兩個不等根；當時，方程有兩個相等的根；當時，方程無根；將做適當變形是解本題的關鍵．20.如圖，在菱形中，對角線交于點O，過點A作于點E，延長到點F，使，連接．（1）求證：四邊形是矩形；（2）連接，若，，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）由菱形的性質可得且，再證明四邊形是平行四邊形，然后結合即可證明結論；（2）由菱形的性質可得、，得，由勾股定理可得，進而得到，然后根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可解答．【小問1詳解】證明：∵四邊形是菱形，∴且，∵，∴，即，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴四邊形是矩形．【小問2詳解】解：∵四邊形是菱形，，∴，，∵，∴，，∴，∵，，∴．【點睛】本題主要考查了菱形的性質、矩形的判定、勾股定理、直角三角形的性質等知識點，靈活運用相關知識點成為解題的關鍵．21.我校“點愛”社團倡導全校學生參加“關注特殊兒童”自愿捐款活動，并對此次活動進行抽樣調查，得到一組學生捐款情況的數據，將數據整理成如圖所示的統計圖（圖中信息不完整）．請結合以上信息解答下列問題．組別捐款額元人數AaB100C

D

E

（1）本次抽樣調查樣本的容量是______，______；（2）補全“捐教人數分組統計圖”；（3）若記A組捐款的平均數為5元，B組捐款的平均數為15元，C組捐款的平均數為25元，D組捐款的平均數為35元，E組捐款的平均數為50元，全校共有2000名學生參加此次活動，請你估計此次活動可以籌得善款的金額大約為多少元．【答案】（1）500，20（2）見解析（3）元【解析】【分析】本題主要考查了條形統計圖與扇形統計圖、頻數分布表、用樣本估計整體等知識定．讀懂統計圖，從統計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．（1）先求出B組所占的百分比，再用B組人數為100除以其所占的百分比即可求得樣本容量；用樣本容量乘以A組所占的百分比即可求得a的值；（2）用樣本容量乘以C組所占的百分比即可求得C組人數，然后補全統計圖即可；（3）先求出抽查的500名學生的平均捐款數，再乘以總人數即可解答．【小問1詳解】解：B組所占的百分比為：，則本次調查樣本的容量是：；A組的人數為：．故答案為：500，20．【小問2詳解】解：∵，∴C組的人數為200，補全“捐款人數分組統計圖1”如圖所示：【小問3詳解】解：抽查的500名學生的平均捐款數為（元），則估計此次活動可以籌得善款金額大約為（元）．22.某企業為響應國家教育扶貧的號召，決定對某鄉鎮全體貧困初、高中學生進行資助，初中學生每人每月資助200元，高中學生每人每月資助300元．已知該鄉受資助的初中學生人數是受資助的高中學生人數的2倍，且該企業在2023年每月資助學生共支出17500元．（1）問該鄉鎮分別有多少名初中學生和高中學生獲得了資助？（2）2023年受資助初、高中學生中，分別有和的學生被評為優秀學生，從而獲得了該鄉鎮政府的公開表揚（資助金額未變化）同時，為了激發更多受資助學生，決定對2024年被評為優秀學生的初中學生每人每月增加的資助，對被評為優秀學生的高中學生每人每月增加的資助．在此獎勵政策的鼓勵下，2024年被評為優秀學生的初、高中學生分別比2023年的人數增加了、．這樣，2024年評為優秀學生的初、高中學生所獲得的資助總金額一個月就達到了10800元．①2024年優秀初中學