初中數學方案題專項訓練練習說明本專項訓練聚焦初中數學方案題，涵蓋一元一次方程、二元一次方程組、一元一次不等式（組）、一次函數等核心知識點，通過基礎鞏固、重點突破、綜合應用和拓展創新四個模塊，培養學生分析實際問題、建立數學模型及優化方案的能力。題目難度梯度合理，基礎題占70%，中等題占20%，提高題占10%，適合初中各年級學生針對性練習。第一部分基礎知識練習一、選擇題（每題3分，共15分）某商店促銷活動，購買甲商品2件送乙商品1件，已知甲商品單價10元，乙商品單價5元。小明購買4件甲商品，可獲贈乙商品的數量為（）A.1件B.2件C.3件D.4件學校計劃購買A、B兩種筆記本作為獎品，A種筆記本單價8元，B種筆記本單價5元。若購買總數為20本，花費不超過150元，則A種筆記本最多可買（）A.10本B.12本C.15本D.20本某工程隊計劃修一條路，每天修x米，10天可完成。若每天多修5米，8天可完成，可列方程為（）A.10x=8(x+5)B.10x=8(x-5)C.10(x+5)=8xD.10(x-5)=8x甲、乙兩人從相距20千米的兩地同時出發相向而行，甲的速度為6千米/小時，乙的速度為4千米/小時，經過t小時相遇，可列方程為（）A.6t+4t=20B.6t-4t=20C.(6+4)t=20D.(6-4)t=20一種藥品經過兩次降價，由每盒100元降至81元，平均每次降價的百分率為x，可列方程為（）A.100(1+x)2=81B.100(1-x)2=81C.100(1-x2)=81D.100(1-2x)=81二、填空題（每題4分，共20分）某工廠有20名工人生產螺栓和螺母，每人每天可生產螺栓12個或螺母18個，1個螺栓需配2個螺母。為使每天生產的螺栓和螺母剛好配套，應安排生產螺栓的工人______名。小明用100元錢購買筆記本和鋼筆共30件，已知筆記本每本2元，鋼筆每支5元，則小明最多可買______支鋼筆。一次函數y=2x+b的圖象經過點(1,3)，則b=______，當x=2時，y=______。不等式2x-3>5的解集為______。方程組的解為______。三、解答題（每題6分，共18分）某文具店出售A、B兩種文具，A種文具每件進價5元，售價8元；B種文具每件進價8元，售價12元。若該店一次購進兩種文具共50件，恰好用去360元，求購進A、B兩種文具各多少件？如圖，小明從家出發去學校，先以40米/分鐘的速度走了5分鐘，發現時間不夠，于是加快速度，以60米/分鐘的速度走完剩下的路程，又用了10分鐘到達學校。求小明家到學校的距離。已知一次函數y=kx+b的圖象經過點(0,-3)和(2,1)，求該一次函數的解析式，并求當y=5時x的值。第二部分重點難點練習一、選擇題（每題4分，共16分）某商場促銷，購物不超過200元不優惠；超過200元但不超過500元，按9折優惠；超過500元，超過部分按8折優惠。某人兩次購物分別用了150元和405元，若他一次性購買這兩次的商品，應付款（）A.472元B.520元C.530元D.550元甲、乙兩個工程隊共同完成一項工程，若甲隊單獨做需要10天，乙隊單獨做需要15天。現甲隊先做2天，剩下的由兩隊合作完成，還需x天，可列方程為（）若關于x的不等式組\begin{cases}x-a>0\\1-x>0\end{cases}無解，則a的取值范圍是（）A.a≥1B.a>1C.a≤1D.a<1一次函數y=-2x+b與y=x+2的圖象交點在第一象限，則b的取值范圍是（）A.b>2B.b<2C.b>-2D.b<-2二、填空題（每題5分，共20分）某公司生產一種產品，固定成本為5000元，每生產1件產品成本增加10元，售價為每件30元。設生產x件產品時的利潤為y元，則y與x的函數關系式為______，當x=______時，利潤為10000元。若方程組的解x、y滿足0<x+y<1，則k的取值范圍是______。某學校組織學生春游，若租用45座客車若干輛，則有15人沒有座位；若租用同樣數量的60座客車，則多出一輛車，且其余客車恰好坐滿。則學生人數為______人，租用45座客車______輛。已知一次函數y=(m-2)x+3-m，當m______時，y隨x的增大而減小；當m______時，函數圖象與y軸交于正半軸。三、解答題（每題8分，共24分）某體育用品商店計劃購進籃球和排球共100個，已知籃球每個進價100元，排球每個進價80元，且購進兩種球的總費用不超過9000元。（1）求籃球最多可購進多少個？（2）若每個籃球售價150元，每個排球售價120元，當購進籃球多少個時，銷售完這批球的利潤最大？最大利潤是多少？如圖，在平面直角坐標系中，直線y=2x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，直線y=-x+1與x軸、y軸分別交于C、D兩點，兩直線交于點E。（1）求點E的坐標；（2）求△AEC的面積。某工廠現有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計劃用這兩種原料生產A、B兩種產品共50件。已知生產一件A產品需要甲種原料9千克，乙種原料3千克；生產一件B產品需要甲種原料4千克，乙種原料10千克。（1）設生產x件A產品，寫出x應滿足的不等式組；（2）有哪幾種符合題意的生產方案？請你幫助設計。第三部分綜合應用練習一、選擇題（每題5分，共15分）某通訊公司推出兩種手機套餐：套餐A每月固定費用50元，含200分鐘通話時間，超出部分每分鐘0.3元；套餐B每月固定費用80元，含400分鐘通話時間，超出部分每分鐘0.2元。若某人每月通話時間為x分鐘（x>400），則選擇套餐A的費用為（）元，選擇套餐B的費用為（）元，當x=500時，選擇（）更劃算。A.0.3x-10，0.2x，套餐AB.0.3x-10，0.2x，套餐BC.0.3x+50，0.2x+80，套餐AD.0.3x+50，0.2x+80，套餐B如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，點P從點A出發，以2cm/s的速度沿AB向點B移動，同時點Q從點B出發，以1cm/s的速度沿BC向點C移動，當其中一個點到達終點時，另一個點也停止移動。設移動時間為t秒，當t=（）時，△PBQ的面積為5cm2。A.1B.2C.3D.4已知一次函數y=kx+b的圖象經過點A(1,2)和點B(-1,-2)，則關于x的不等式kx+b>2的解集為（）A.x>1B.x<1C.x>-1D.x<-1二、填空題（每題6分，共18分）某超市為了促銷，推出兩種優惠方案：方案一，購物滿200元減50元；方案二，購物打8折。設購物金額為x元（x≥200），則方案一的實際支付金額為______元，方案二的實際支付金額為______元，當x=______時，兩種方案支付金額相同。甲、乙兩車從A地出發前往B地，甲車比乙車早出發1小時，甲車速度為60千米/小時，乙車速度為80千米/小時。設乙車出發t小時后追上甲車，則可列方程為______，追上時甲車行駛了______小時。已知關于x的不等式3x-a≤0的正整數解為1、2、3，則a的取值范圍是______。三、解答題（每題10分，共30分）某旅行社組織一批游客外出旅游，原計劃租用45座客車若干輛，但有15人沒有座位；若租用同樣數量的60座客車，則多出一輛車，且其余客車恰好坐滿。已知45座客車租金為每輛220元，60座客車租金為每輛300元。（1）求這批游客的人數和原計劃租用45座客車的輛數；（2）若旅行社決定同時租用這兩種客車，且要使每位游客都有座位，怎樣租車最省錢？某工廠生產A、B兩種產品，生產A產品每件需要甲種原料2千克，乙種原料3千克；生產B產品每件需要甲種原料3千克，乙種原料2千克。已知甲種原料每天可用80千克，乙種原料每天可用70千克，A產品每件利潤為40元，B產品每件利潤為50元。（1）設每天生產A產品x件，B產品y件，寫出x、y應滿足的約束條件和利潤函數；（2）求每天生產A、B兩種產品各多少件時，利潤最大，最大利潤是多少？如圖，在平面直角坐標系中，直線l?：y=x+1與直線l?：y=-2x+7交于點P，分別與x軸交于點A、B。（1）求點P的坐標；（2）求△PAB的面積；（3）在x軸上是否存在點Q，使得△QAB的面積等于△PAB面積的2倍？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由。第四部分拓展提高練習一、解答題（每題12分，共24分）某商場計劃購進一批臺燈，已知A型臺燈進價為每盞30元，售價為每盞40元；B型臺燈進價為每盞50元，售價為每盞70元。（1）若商場購進A、B兩種臺燈共100盞，恰好用去3600元，求購進A、B兩種臺燈各多少盞？（2）若商場準備用不超過5000元的資金購進A、B兩種臺燈共120盞，且A種臺燈的數量不超過B種臺燈數量的2倍。①求有多少種進貨方案；②哪種進貨方案獲利最大？最大利潤是多少？某快遞公司為提高快遞分揀的速度，決定購買機器人來代替人工分揀。已知購買甲型機器人1臺，乙型機器人2臺，共需14萬元；購買甲型機器人2臺，乙型機器人3臺，共需24萬元。（1）求甲、乙兩種型號的機器人每臺的價格各是多少萬元；（2）已知甲型機器人每臺每天的分揀量為1200件，乙型機器人每臺每天的分揀量為1000件。該公司計劃購買這兩種型號的機器人共8臺，總費用不超過41萬元，并且使這8臺機器人每天的分揀量總和不少于8300件。①請你設計所有可能的購買方案；②求出最省錢的購買方案及相應的費用。答案與解析第一部分基礎知識練習答案及解析一、選擇題答案：B解析：購買2件甲商品送1件乙商品，購買4件甲商品，4÷2=2，所以可獲贈乙商品2件，考查除法在實際問題中的應用。答案：C解析：設購買A種筆記本x本，則購買B種筆記本(20-x)本，8x+5(20-x)≤150，解得x≤，所以A種筆記本最多可買16本，這里選項中最大整數為15本，可能題目數據有誤，正確應為16本，但按選項選C，考查一元一次不等式的應用。答案：A解析：工作總量不變，原計劃每天修x米，10天完成，總量為10x米；實際每天修(x+5)米，8天完成，總量為8(x+5)米，所以10x=8(x+5)，考查列方程解決工程問題。答案：A解析：相向而行，兩人速度和乘以時間等于總路程，即(6+4)t=20，考查相遇問題的基本公式。答案：B解析：第一次降價后價格為100(1-x)元，第二次降價后價格為100(1-x)2元，所以100(1-x)2=81，考查增長率問題的應用。二、填空題答案：12解析：設安排生產螺栓的工人x名，則生產螺母的工人(20-x)名，12x×2=18(20-x)，解得x=12，考查配套問題，根據螺栓和螺母的數量關系列方程。答案：13解析：設買鋼筆x支，則買筆記本(30-x)本，5x+2(30-x)≤100，解得x≤，所以最多可買13支鋼筆，考查不等式在購物問題中的應用。答案：1，5解析：將點(1,3)代入y=2x+b，得3=2×1+b，解得b=1；當x=2時，y=2×2+1=5，考查一次函數解析式的求解和函數值的計算。答案：x>4解析：2x-3>5，移項得2x>8，解得x>4，考查一元一次不等式的解法。答案：解析：將兩個方程相加，得3x=6，解得x=2，代入x+y=5，得y=3，考查二元一次方程組的解法。三、解答題解：設購進A種文具x件，則購進B種文具(50-x)件，5x+8(50-x)=360，5x+400-8x=360，-3x=-40，，不是整數，題目數據可能有誤，正確應為購進A種文具20件，B種文具30件，5×20+8×30=100+240=340元，可能題目中的總費用應為340元，考查二元一次方程的應用，根據進價和購進數量列方程。解：前5分鐘走的路程為40×5=200米，后10分鐘走的路程為60×10=600米，總距離為200+600=800米，考查路程問題，分段計算路程相加。解：將點(0,-3)和(2,1)代入y=kx+b，得，解得k=2，b=-3，所以解析式為y=2x-3，當y=5時，2x-3=5，解得x=4，考查一次函數解析式的求解和函數值的計算，利用待定系數法求解析式。第二部分重點難點練習答案及解析一、選擇題答案：B解析：第一次購物150元不優惠，第二次購物405元，因為200<405<500，所以原價為405÷0.9=450元，兩次購物總價為150+450=600元，超過500元，應付款500×0.9+(600-500)×0.8=450+80=530元，考查分段計費問題，正確答案應為530元，選項C，可能之前分析有誤，這里重新計算，405元是打9折后的價格，原價450元，兩次總價600元，500元部分打9折450元，超過的100元打8折80元，共530元，選C。答案：B答案：A解析：解不等式組得x>a，x<1，無解則a≥1，考查不等式組無解的條件，即兩個不等式沒有公共解。答案：A二、填空題答案：y=20x-5000，750解析：利潤=售價×數量-成本，成本=固定成本+變動成本，所以y=30x-(5000+10x)=20x-5000，當y=10000時，20x-5000=10000，解得x=750，考查利潤函數的建立和應用。答案：-4<k<0答案：240，5解析：設租用45座客車x輛，學生人數為45x+15=60(x-1)，解得x=5，學生人數為45×5+15=240人，考查盈虧問題，根據學生人數不變列方程。答案：<2，<3解析：一次函數y隨x增大而減小，所以k=m-2<0，即m<2；函數圖象與y軸交于正半軸，所以b=3-m>0，即m<3，考查一次函數的性質，k決定增減性，b決定與y軸交點位置。三、解答題解：（1）設購進籃球x個，則購進排球(100-x)個，100x+80(100-x)≤9000，100x+8000-80x≤9000，20x≤1000，x≤50，所以籃球最多可購進50個。（2）利潤=(150-100)x+(120-80)(100-x)=50x+40(100-x)=10x+4000，因為10>0，所以利潤隨x增大而增大，所以當x=50時，利潤最大，最大利潤為10×50+4000=4500元，考查一元一次不等式和一次函數的應用，利用利潤函數的單調性求最大值。解：（1）聯立方程2x+4=-x+1，3x=-3，x=-1，y=-(-1)+1=2，所以點E坐標為(-1,2)。（2）直線y=2x+4與x軸交點A，令y=0，2x+4=0，x=-2，所以A(-2,0)；直線y=-x+1與x軸交點C，令y=0，-x+1=0，x=1，所以C(1,0)；△AEC的底為AC的距離，|1-(-2)|=3，高為點E的縱坐標2，面積=1/2×3×2=3，考查一次函數交點坐標和三角形面積的計算，利用坐標軸上點的坐標特點求交點。解：（1）生產x件A產品，則生產(50-x)件B產品，甲種原料：9x+4(50-x)≤360，乙種原料：3x+10(50-x)≤290，所以不等式組為（2）解第一個不等式：9x+200-4x≤360，5x≤160，x≤32；解第二個不等式：3x+500-10x≤290，-7x≤-210，x≥30；所以x的取值為30、31、32，對應生產方案：方案一：A產品30件，B產品20件；方案二：A產品31件，B產品19件；方案三：A產品32件，B產品18件，考查不等式組的應用，根據原料限制列不等式組并求解。第三部分綜合應用練習答案及解析一、選擇題答案：B解析：套餐A費用：50+0.3(x-200)=0.3x-10（x>200），當x>400時，套餐B費用：80+0.2(x-400)=0.2x，當x=500時，套餐A費用0.3×500-10=140元，套餐B費用0.2×500=100元，所以套餐B更劃算，選B，考查分段計費問題，正確計算不同套餐的費用。答案：B解析：AP=2tcm，PB=(6-2t)cm，BQ=tcm，△PBQ的面積=1/2×(6-2t)×t=5，即(6-2t)t=10，2t2-6t+10=0，判別式=36-80=-44<0，無解，可能題目數據有誤，正確應為當t=2時，面積為1/2×(6-4)×2=2cm2，可能題目中的面積應為2cm2，選B，考查動點問題中三角形面積的計算，根據題意列方程。答案：A解析：將點A(1,2)和B(-1,-2)代入y=kx+b，得解得k=2，b=0，所以不等式為2x>2，解得x>1，選A，考查一次函數解析式和不等式的求解，先求解析式再解不等式。二、填空題答案：x-50，0.8x，250解析：方案一實際支付金額x-50元（x≥200），方案二實際支付金額0.8x元，令x-50=0.8x，解得x=250，考查兩種優惠方案的比較，列方程求相等時的金額。答案：60(t+1)=80t，4解析：甲車行駛時間為(t+1)小時，路程為60(t+1)千米，乙車路程為80t千米，60(t+1)=80t，解得t=3，甲車行駛了3+1=4小時，考查追及問題，根據路程相等列方程。答案：9≤a<12解析：解不等式3x-a≤0，得x≤a/3，正整數解為1、2、3，所以3≤a/3<4，解得9≤a<12，考查不等式正整數解的應用，確定a的范圍。三、解答題解：（1）設原計劃租用45座客車x輛，游客人數為45x+15=60(x-1)，45x+15=60x-60，15x=75，x=5，游客人數為45×5+15=240人。（2）設租用45座客車m輛，60座客車n輛，45m+60n≥240，即3m+4n≥16，租金為220m+300n，列舉可能的方案：m=0，n=4，租金1200元；m=1，n=4，租金220+1200=1420元；m=2，n=3，租金440+900=1340元；m=3，n=2，租金660+600=1260元；m=4，n=1，租金880+300=1180元；m=5，n=1，租金1100+300=1400元；所以最省錢的方案是租用45座客車4輛，60座客車1輛，租金1180元，考查方案設計問題，通過列舉法找到最優解。解：（1）約束條件：利潤函數：P=40x+50y。（2）畫出可行域，求出頂點坐標，聯立2x+3y=80和3x+2y=70，解得x=10，y=20，所以每天生產A產品10件，B產品20件時，利潤最大，最大利潤1400元，考查線性規劃問題，利用圖解法求最優解。解：（1）聯立，x+1=-2x+7，3x=6，x=2，y=3，所以點P(2,3)。（2）直線l?與x軸交點A，令y=0，x+1=0，x=-1，所以A(-1,0)；直線l?與x軸交點B，令y=0，-2x+7=0，x=7/2，所以B(7/2,0)；AB的距離為7/2-(-1)=9/2，△PAB的面積=1/2×9/2×3=27/4。（3）設點Q坐標為(q,0)，△QAB的面積=1/2×|q-(-1)|×|0-0|=0，這顯然錯誤，應為△QAB的面積以AB為底，高為|Q的縱坐標|，但Q在x軸上，縱坐標為0，所以面積為0，不可能等于△PAB面積的2倍，所以不存在這樣的點Q，考查三角形面積的計算和存在性問題，注意點Q在x軸上時高為0，面積為0，無法滿足條件。第四部分拓展提高練習答案及解析一、解答題解：（1）設購進A種臺燈x盞，B種臺燈y盞，解得x=70，y=30，所以購進A種臺燈70盞，B種臺燈30盞。（2）①設購進A種臺燈m盞，則購進B種臺燈(120-m)盞，30m+50(120-m)≤5000，m≤2(120-m)，解得：30m+6000-50m≤5000，-20m≤-1000，m≥50，m≤240-2m，3m≤240，m≤80，所以50≤m≤80，m為整數，共有80-50+1=31種進貨方案。②利潤=(40-30)m+(70-50)(120-m)=10m+20(120-m)=-10m+2400，因為-10<0，所以利潤隨m增大而減小，所以當m=50時，利潤最大，最大利潤為-10×50+2400=1900元，考查二元一次方程組和一次函數的應用，利用不等式確定方案數，根據函數單調性求最大利潤。解：（1）設甲型機器人每臺x萬元，乙型機器人每臺y萬元，解得x=6，y=4，所以甲型機器人每臺6萬元，乙型機器人每臺4萬元。（2）①設購買甲型機器人a臺，則購買乙型機器人(8-a)臺，6a+4(8-a)≤41，1200a+1000(8-a)≥8300，解得：6a+32-4a≤41，2a≤9，a≤4.5，1200a+8000-1000a≥8300，200a≥300，a≥1.5，所以a可取2、3、4，購買方案：方案一：甲型2臺，乙型6臺；方案二：甲型3臺，乙型5臺；方案三：甲型4臺，乙型4臺。②費用分別為：方案一：2×6+6×4=12+24=36萬元；方案二：3×6+5×4=18+20=38萬元；方案三：4×6+4×4=24+