一、數列應用問題的常見模型(1)①________；一般地，如果增加(或減少)的量是一個固定的具體量時，該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差，其一般形式是：an＋1－an＝d(常數)．(2)②________：一般地，如果增加(或減少)的百分比是一個固定的數時，該模型是等比模型．(3)③________：在一個問題中，同時涉及等差數列和等比數列的模型．(4)④________：如果某一個量，每一期以一個固定的百分數增加(或減少)，同時又以一個固定的具體量增加(或減少)時，我們稱該模型為生長模型．如分期付款問題，樹木的生長與砍伐問題等．(5)⑤________：如果容易找到該數列任意一項an＋1與它的前一項an(或前幾項)間的遞推關系式，那么我們可以用遞推數列的知識求解問題．友情提示：一般涉及遞增率什么的，用到⑥________；涉及依次增加或者減少什么的，用到⑦________，或者有的問題是通過轉化得到⑧________的，在解決問題時要往這些方面去聯系．二、與銀行利率相關的幾類模型(1)銀行儲蓄單利公式利息按單利計算，本金為a元，每期利率為r，存期為x，那么本利和⑨________.(2)銀行儲蓄復利公式按復利計算利息的一種儲蓄，本金為a元，每期利率為r，存期為x，那么本利和⑩________.(3)產值模型原來產值的根底數為N，平均增長率為p，對于時間x的總產值?________.(4)分期付款模型a為貸款總額，r為月利率，b為月等額本息還款數，n為貸款月數，那么?________.三、數列綜合應用題的解題步驟(1)?________——弄清題意，分析涉及哪些數學內容，在每個數學內容中，各是什么問題．(2)?________——把整個大題分解成幾個小題或幾個“步驟〞，每個小題或每個小“步驟〞分別是數列問題、函數問題、解析幾何問題、不等式問題等．(3)?________——分別求解這些小題或這些小“步驟〞，從而得到整個問題的解答．(4)?________——將所求結果復原到實際問題中．具體解題步驟如下框圖：1.零存整取模型銀行有一種叫作零存整取的儲蓄業務，即每月定時存入一筆相同數目的現金，這是零存；到約定日期，可以取出全部本利和，這是整取，規定每次存入的錢不計復利．注：單利的計算是僅在原有本金上計算利息，而本金所產生的利息不再計算利息，其公式為利息＝本金×利率×存期，本利和＝本金×(1＋存期×利率)．零存整取是等差數列求和在經濟方面的應用．[例]李先生為今年上高中的兒子辦理了“教育儲蓄〞．從8月1號開始，每個月的1號都存入100元，存期三年．(1)當年“教育儲蓄〞存款的月利率是2.7‰.問到期時，李先生一次可支取本息多少元？(2)當年同檔次的“零存整取〞儲蓄的月利率是1.725‰.問李先生辦理“教育儲蓄〞比“零存整取〞多收益多少元？(注：零存整取要收20%的利息稅)2．定期自動轉存模型銀行有一種儲蓄業務為定期存款自動轉存．例如，儲戶某日存入一筆1年期定期存款，1年后，如果儲戶不取出本利和，那么銀行自動辦理轉存業務，第2年的本金就是第1年的本利和．注：復利的計算是把上期末的本利和作為下一期的本金，在計算時每一期本金的數額是不同的．復利的計算公式為：本利和＝本金×(1＋利率)n.定期自動轉存(復利)是等比數列求和在經濟方面的應用．[例]本金m＝1200元，復利率i＝7%，期數n＝4，求本利和總額S4.解析：S4＝1200×(1＋7%)4≈1572.96(元)．3．分期付款模型采用分期付款的方法，購置售價為a元的商品(或貸款a元)，每期付款數相同，購置后1個月(或1年)付款1次，過1個月(或1年)再付1次，如此下去，到第n次付款后全部付清．如果月利率(或年利率)為b，那么每期付款x元滿足以下關系：按單利計息時為a(1＋nb)＝x{1＋(1＋b)＋(1＋2b)＋…＋[1＋(n－1)b]}；按復利計息時為a(1＋b)n＝x[1＋(1＋b)＋(1＋b)2＋…＋(1＋b)n－1]．化簡得x[(1＋b)n－1]＝ab(1＋b)n.[例]某職工年初向銀行貸款2萬元用于購房，銀行為了推動住房制度改革，低息貸款年利率為2%，按復利計息(即本年的利息計入次年的本金生息)．假設這次貸款要求分10次等額還清，每年一次，從貸款次年年初開始還，問每年應還多少元？(精確到元)解析：設每年還款x元，第n年還款后余額為Mn.依題意得：M1＝20000(1＋2%)－x，M2＝M1(1＋2%)－x＝20000(1＋2%)2－x(1＋2%)－x，M3＝M2(1＋2%)－x＝20000(1＋2%)3－x(1＋2%)2－x(1＋2%)－x，…M10＝20000(1＋2%)10－x(1＋2%)9－x(1＋2%)8－…－x(1＋2%)－x.4．怎樣處理數列的應用問題數列應用問題的學習已成為高中數學學習與研究的一個重要內容，現實生活中涉及銀行利率、企業股金、產品利潤、人口增長、工作效率、圖形面積、曲線長度、堆積物品總數等實際問題，都需要用數列的知識加以解決．解答數列應用問題的核心是建立模型，其根本步驟如下表．(1)等差數列的實際應用在數列應用題中，假設an＋1與an的關系滿足an＋1－an＝d(d為常數)時，那么可以應用等差數列模型解決．說明：要通過對題意的分析，說明數列為等差數列，然后設出有關符號，如an，d等的意義，這樣才能使閱卷者迅速了解你的解答思路．5．模型法模型法就是在實際問題中，構造數列模型或其他模型，再進而構造數學模型，通過構造模型使問題順利得到解決．運用模型法來解決問題時，應廣泛搜集信息，抓住關鍵詞，準確理解題意，要善于抓主要矛盾，類比聯想，從而建立相應模型．(1)解決數列的應用問題必須準確探索問題所涉及的數列的模型(如等差數列、等比數列、或與等差、等比數列有關的數列)，或準確定義問題中的數列．(2)求出數列的通項公式或建立遞推公式：①如果問題所涉及的數列是特殊數列(如等差數列、等比數列、或與等差、等比有關的數列，等等)，應首先建立數列的通項公式；②如果問題所涉及的數列不是某種特殊數列，一般應考慮先建立數列的遞推關系(即an與an－1的關系).數學應用問題的教學已成為中學數學學習與研究的重要內容，解答數學應用問題的核心是建立數學模型．解答數列應用題的根本步驟：(1)閱讀理解實際材料且對材料作適當處理；(2)建立變量關系，將實際問題轉化為數列模型；(3)討論變量性質，挖掘題目中的條件．[例1]某人有七位朋友．第一位朋友每天晚上都去他家看他，第二位朋友每隔一個晚上到他家去，第三位朋友每隔兩個晚上去他家串門，第四位朋友每隔三個晚上去他家做客，依次類推，直至第七位朋友每隔六個晚上在他家出現．這七位朋友昨晚在主人家中碰面，他們還會同一個晚上在主人家中碰面嗎？解析：第一位朋友每天晚上在主人家；第二位朋友以后在主人家的天數為第：2,4,6,8，…，這些數構成以2為首項，公差為2的等差數列，通項公式為：an＝2n；第三位朋友以后在主人家的天數為第：3,6,9，…，這些數構成以3為首項，公差為3的等差數列，通項公式為：an＝3n；第四、五、六、七位朋友晚上在主人家的天數構成以4、5、6、7為首項，公差為4、5、6、7的等差數列，通項公式分別為an＝4n，an＝5n，an＝6n，an＝7n；他們要在同一晚上出現，這個數應為這七個數列的公共項，這一項為哪一項2,3,4,5,6,7的倍數，而2,3,4,5,6,7的最小公倍數為420，因此第420,840,1260…天晚上他們會同時在主人家出現．[變式訓練1]用分期付款方法購置電器一件，價格為1150元，購置當天先付150元，以后每月這一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率為1%，分20次付完，假設交付150元以后的第一個月開始算分期付款的第一個月，問分期付款的第十個月該交付多少錢？全部貸款付清后，買這件家電實際花多少錢？解析：購置時付150元，欠1000元，每月付50元，分20次付清，設每月付款數順次成數列{an}，那么a1＝50＋1000×1%＝60(元)，a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5＝(60－0.5×1)(元)，a3＝50＋(1000－50×2)×1%＝59＝(60－0.5×2)(元)，…，依次類推，a10＝50＋(1000－50×9)×1%＝55.5＝(60－0.5×9)(元)，an＝60－0.5(n－1)＝－0.5n＋60.5(1≤n≤20)．所以{an}組成以60為首項，－0.5為公差的等差數列，所以，總數＝S20＋150＝20a1＋ ×d＋150＝1255(元)，∴第十個月該交55.5元，全部付清實際花1255元．評析：審題，建立等差數列模型，應用等差數列的通項公式及前n項和公式求解，但需注意最后一次付款利息是50元欠款的利息，第一次付款利息是1000元的利息而不是950元，此處易出錯．解決數列在實際應用中的問題關鍵是通過仔細審題，將實際問題轉化為數列模型，運用等差數列和等比數列的知識解決問題，因此在做題過程中必須明確建立的是等差數列模型還是等比數列模型，明確是求n，還是求an，或是求Sn.[例2]陳老師購置工程集資房92m2，單價為1000元/m2，一次性國家財政補貼28800元，學校補貼14400元，余款由個人負擔．房地產開發公司對教師實行分期付款(注①)，經過一年付款一次，……共付10次，10年后付清，如果按年利率7.5%，每年按復利計算(注②)，那么每年應付款多少元？(注③)．注：①分期付款，各期所付的款以及最后一次付款時所生的利息合計，應等于個人負擔的購房余額的現價及這個房款現價到最后一次付款時所生的利息之和．②每年按復利計算，即本年利息計入次年的本金生息．③必要時參考以下數據.1.0759≈1.971,1.07510≈2.061,1.07511≈2.216.解析：設每年應付款x元，那么到最后一次付款時(即購房十年后)，第一年付款及所生利息之和為x×1.0759元，第二年付款及所生利息之和為x×1.0758元，…，第九年付款及其所生利息之和為x×1.075元，第十年付款為x元，而所購房余款的現價及其利息之和為[1000×92－(28800＋14400)]×1.07510＝48800×1.07510(元)．因此有x(1＋1.075＋1.0752＋…＋1.0759)＝48800×1.07510(元)，所以x＝48800×1.07510× ≈48800×2.061×0.071≈7141(元)．∴每年需交款7141元．[變式訓練2]為了迎接2021年北京奧運會，我國決定治理垃圾．經調查，近10年來我國城市垃圾的年平均增長率為3%，到2001年底堆存垃圾已達60億噸，侵占了約5億平方米的土地，目前我國還以年產1億噸的速度產生新的垃圾，垃圾治理已刻不容緩！(1)問1991年我國城市垃圾約有多少億噸？(2)如果從2002年起，每年處理上年堆存垃圾的，到2007年底，我國城市垃圾約有多少億噸？可節約土地多少億平方米？數列的遞推應用問題往往是以一定的實際問題作為背景進行命題的，該問題來源于生產實踐，解題時先將實際生活模型用數學公式或等量關系式列出，然后得出數列的遞推關系式．適當的時候也可以利用特殊化思想方法先求得前幾項，應用不完全歸納法得出通項后再進行進一步的論證．其最終目的是把應用問題轉化為an與an＋1之間的關系，或an與Sn間的關系，然后利用所學知識加以解決．解析：(1)由題意有，Tn＝Tn－1(1＋r)＋an(n≥2)．(2)T1＝a1，對n≥2反復使用上述關系式，得Tn＝Tn－1(1＋r)＋an＝Tn－2(1＋r)2＋an－1(1＋r)＋an＝…＝a1(1＋r)n－1＋a2(1＋r)n－2＋…＋an－1(1＋r)＋an.①在①式兩端同乘1＋r，得(1＋r)Tn＝a1(1＋r)n＋a2(1＋r)n－1＋…＋an－1(1＋r)2＋an(1＋r)，②[例4](2021·湖南卷)給出下面的數表序列：表1表2表3…1 1313544812其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n個數是1,3,5，…，2n－1，從第2行起，每行中的每個數都等于它肩上的兩數之和．解析：(Ⅰ)表4為13574812122032它的第1,2,3,4行中的數的平均數分別是4,8,16,32，它們構成首項為4，公比為2的等比數列．將這一結論推廣到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的數的平均數按從上到下的順序構成首項為n，公比為2的等比數列．由此可知，表n(n≥3)各行中的數都成等差數列，且各行中的數的平均數按從上到下的順序構成首項為n，公比為2的等比數列．(Ⅱ)表n的第1行是1,3,5，…，2n－1，其平均數是由(Ⅰ)知，它的各行中的數的平均數按從上到下的順序構