2025年5月夏季世界少年奧林匹克數(shù)學(xué)競賽（中國區(qū)）選拔賽省級選拔模擬卷（三）八年級試題一、填空題（每題8分，共計(jì)64分）1．請你自己畫圖：畫一個(gè)△ABC，三個(gè)頂點(diǎn)分別標(biāo)上A，B，C，在BC邊上任意取三個(gè)點(diǎn)(都不是B，C)，記為P，Q，R，在CA邊上任意取兩個(gè)點(diǎn)(都不是C，A)，記為M，N。連結(jié)線段AP，AQ，AR和BM，BN，這時(shí)你畫的圖中一共有個(gè)三角形。2．設(shè)a+b=1，a2+b2=2，那么a7+b7的值是。3．在等邊△ABC的邊BC上任取一點(diǎn)D，作∠DAE=60°，AE交∠C的外角平分線于點(diǎn)E，那么△ADE是三角形。4．設(shè)正整數(shù)a，b，c，d滿足條件ab=bc=5．已知n是正整數(shù)，且n4-16n2+100是質(zhì)數(shù)，那么n=。6．有一個(gè)正在向上勻速移動(dòng)的自動(dòng)扶梯，旅客A從其頂端往下勻速行至其底端，共走了60級，B從其底端往上勻速行至其頂端，共走了30級(扶梯行駛，兩人也在梯上行走，且每次只跨1級)，且A的速度(即單位時(shí)間所走的級數(shù))是B的速度的3倍，那么自動(dòng)扶梯露在外面的級數(shù)是。7．已知一個(gè)矩形的長、寬分別為正整數(shù)a，b，其面積的數(shù)值等于它周長數(shù)值的2倍，則a+b=。8．已知實(shí)數(shù)x，y滿足(2x+1)2+y二、計(jì)算題（每題10分，共計(jì)20分）9．先化簡，再求值：(a+310．先化簡，再求值：x2?2x+1三、解答題（第11-13題各12分，第14-15題各15分，共計(jì)66分）11．已知a>0，b>0，且a+b=2，求a212．在抗擊“SARS”的過程中，某廠甲、乙兩工人按上級指示同時(shí)做一批等數(shù)量的防護(hù)服。開始時(shí)，乙比甲每天少做3件，到甲、乙兩人都剩下80件時(shí)，乙比甲多做了2天，這時(shí)，甲保持工作效率不變，乙提高了工作效率后比原來每天多做5件，這樣甲、乙兩人同時(shí)完成了任務(wù)。求甲、乙兩人原來每天各做多少件防護(hù)服？13．某班有學(xué)生36人，現(xiàn)從中選出2人去完成一項(xiàng)任務(wù)，設(shè)每人當(dāng)選的可能性都相等。若選出的2人性別相同的概率是1214．如圖，四邊形ABCD是梯形，點(diǎn)E是上底邊AD上一點(diǎn)，CE的延長線與BA的延長線交于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作BA的平行線交CD的延長線于點(diǎn)M，BM與AD交于點(diǎn)N。證明：∠AFN=∠DME。15．小明和哥哥在環(huán)形跑道上練習(xí)長跑，他們從同一起點(diǎn)沿相反方向同時(shí)出發(fā)，每隔25s鐘相遇一次。現(xiàn)在，他們從同-起跑點(diǎn)沿相同方向同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過25min哥哥追上了小明，并且比小明多跑了20圈，求：（1）哥哥速度是小明速度的多少倍？（2）哥哥追上小明時(shí)，小明跑了多少圈？

答案解析部分1．【答案】42【知識(shí)點(diǎn)】三角形相關(guān)概念【解析】【解答】解：如圖，

可以數(shù)得出的三角形有兩類，

第一類：有一個(gè)頂點(diǎn)為A，個(gè)數(shù)=3×10=30(個(gè))(從AB，AP，AQ，AR，AC中任意取兩條，再從BN，BM，BC中任意取一條)；

第二類：不以A為頂點(diǎn)的三角形，個(gè)數(shù)=3×4=12(個(gè))(從BN，BM，BC中任意取兩條，從AP，AQ，AR，AC中，任意取一條)；

共30+12=42(個(gè))故答案為：42.【分析】如圖，可以數(shù)得出的三角形有兩類，第一類：有一個(gè)頂點(diǎn)為A；第二類：不以A為頂點(diǎn)的三角形，分別求解即可.2．【答案】718【知識(shí)點(diǎn)】完全平方式【解析】【解答】解：∵a+b=1，a2+b2=2，

∴ab=12[(a+b)2?(a2+b2)]=12(1?2)=?1故答案為：718【分析】a7+b7可由a3+b3，a4+b4，ab變換得到，應(yīng)尋找、嘗試通過變換得到a7+b7.3．【答案】等邊【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的判定；三角形全等的判定-ASA【解析】【解答】解：過D作AC的平行線交AB于P，

∴△BDP為等邊三角形，BD=BP

∴AP=CD，

∵∠BPD為△ADP的外角，

∴∠ADP+∠DAP=∠BPD=60°，

而∠ADP+∠EDC=180°-∠BDP-∠ADE=60°，

∴∠ADP+∠DAP=∠ADP+∠EDC=60°，

∴∠DAP=∠EDC，

在△ADP和△DEC中，

∠DAP=∠EDCAP=DC∠APD=∠DCE

∴△ADP≌△DEC(ASA)，

∴AD=DE

∵∠ADE=60°

∴△ADE是等邊三角形故答案為：等邊.【分析】由題意知△ADP≌△DEC，可得AD=AE，即可證明△ADE是等邊三角形.4．【答案】1157【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算（含開方）【解析】【解答】解：∵a、b、c、d為正整數(shù)，

∴a+b+c+d是正整數(shù)，

由已知b=85a，c=6425a，故答案為：1157.【分析】由已知b=85a，c=5．【答案】3【知識(shí)點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算；質(zhì)數(shù)與合數(shù)【解析】【解答】解：n4-16n2+100=n4+20n2+100-36n2=(n2+10)2-36n2=(n2+6n+10)(n2-6n+10)

∵n2+6n+10≠1而n4-16n2+100為質(zhì)數(shù)，且n為正整數(shù)，

∴n2-6n+10=1，即n2-6n+9=0，

∴(n-3)2=0，

∴n=3故答案為：3.【分析】從因數(shù)分解的角度看，質(zhì)數(shù)只能分解成1和本身的乘積(也可從整除的角度看)，故對原式進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆纸庾冃渭纯汕蠼?6．【答案】48【知識(shí)點(diǎn)】二元一次方程組的其他應(yīng)用【解析】【解答】解：設(shè)扶梯的速度為x級/分，旅客B的速度為y級/分，扶梯外面的級數(shù)為n，

則603y=60?nx30y=故答案為：48.【分析】設(shè)扶梯的速度為x級/分，旅客B的速度為y級/分，扶梯外面的級數(shù)為n，從而根據(jù)題意可得出兩個(gè)分式方程，相除即可得出答案.7．【答案】25或18或16【知識(shí)點(diǎn)】二元一次方程組的應(yīng)用-幾何問題【解析】【解答】解：依題意得ab=2(2a+2b)，

∴ab-4a-4b=0，

∴(a-4)(b-4)=16.

不妨設(shè)a≥b，又a，b為正整數(shù)，

則a-4≥b-4≥-3，

∴a?4=16b?4=1或a?4=8b?4=2或a?4=4b?4=4，故答案為：25或18或16.【分析】設(shè)長方形的長和寬為未知數(shù)，根據(jù)周長與面積相等列出方程，求正整數(shù)解后，相乘即為長方形的面積.8．【答案】?【知識(shí)點(diǎn)】利用整式的混合運(yùn)算化簡求值【解析】【解答】解：由(2x+1)2+y2+(y?2x)2=13，

得(3x+1)2+3(x-y)故答案為：?2【分析】利用配方法把已知方程轉(zhuǎn)化為兩平方數(shù)的和的形式，然后由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得x、y的值，從而求得x+y的值.9．【答案】解：原式=a當(dāng)a=1原式=4×【知識(shí)點(diǎn)】利用整式的混合運(yùn)算化簡求值【解析】【分析】利用平方差公式和單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的分配律將表達(dá)式展開，再合并同類項(xiàng)化簡，最后代入a值進(jìn)行求值.10．【答案】解：原式=(=x(x-1)+x=x當(dāng)x=2原式=(=2-22+1=3-22【知識(shí)點(diǎn)】分式的化簡求值-直接代入【解析】【分析】根據(jù)分式的除法和加法可以化簡題目中的式子，然后將x的值代入化簡后的式子即可解答本題.11．【答案】解：設(shè)a=1+t，b=1?t，1<t<1，則a2令m=t+1∈(則t+1t當(dāng)且僅當(dāng)m=2所以a2當(dāng)且僅當(dāng)a=2【知識(shí)點(diǎn)】分式的化簡求值-整體代入【解析】【分析】可以通過將b用2-a表示，轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù)求極值問題，再利用導(dǎo)數(shù)法確定最大值的位置.12．【答案】解：設(shè)甲原來每天做x件，則乙原來每天做(x-3)件，提高效率后每天做(x-3)+5=(x+2)件，根據(jù)題意，得80去分母，整理，得x解這個(gè)方程，得x1=8經(jīng)檢驗(yàn)x1=8，所以只取x=8，所以x?3=5答：甲原來每天做8件防護(hù)服，乙原來每天做5件防護(hù)服【知識(shí)點(diǎn)】分式方程的實(shí)際應(yīng)用-工程問題【解析】【分析】根據(jù)工作時(shí)間來列等量關(guān)系，甲、乙兩人同時(shí)完成了任務(wù)等量關(guān)系為：甲做80件用的時(shí)間-2=乙做80件用的時(shí)間，即可求解.13．【答案】解：設(shè)該班男生有n人，則女生有(36?n)人（n為自然數(shù)，因?yàn)閺娜?6人中選出2人共有C362種不同的結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，則事件A“選出的2人性別相同”包含的結(jié)果有所以P(A)=Cn2所以該班有男生15人，女生21人，或男生21人，女生15人【知識(shí)點(diǎn)】概率的簡單應(yīng)用；排列組合【解析】【分析】由于每人當(dāng)選的可能性都相等，且從全班36人中選出2人去完成一項(xiàng)任務(wù)的選法有C3614．【答案】證明：設(shè)MN與EF交于點(diǎn)P，∵NE∥BC，∴△PNE~∴PNPB∴PB?PE=PN?PC又∵M(jìn)E∥BF，∴△PME∴PMPB∴PB?PE=PM?PF∴PN?PC=PM?PF故PM又∠FPN=∠MPE∴△PNF~△PMC∴∠PNF=∠PMC∴NF∥MC∴∠ANF=∠EDM又ME∥BF∴∠FAN=∠MED∴∠ANF+∠FAN=∠EDM+∠MED∴∠AFN=∠DME【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定-AA【解析】【分析】通過證明△PNE~△PBC，15．【答案】（1）解：由題意，有25整理得，4v所以，V答：哥哥速度是小明速度的2倍.（2）解：設(shè)小明跑了x圈，那么哥哥跑了2x圈根據(jù)題意，得2x-x=20，解得，x=20，故經(jīng)過了25分