22.4矩形（第1課時）主講：冀教版八年級下冊

第二十二章

四邊形學習目標目標11..掌握矩形的定義,理解矩形與平行四邊形的關系.理解并掌握矩形的性質;會用矩形的性質進行推導證明.重點2難點32.理解并掌握矩形的性質;3.會初步運用矩形的定義、性質、判定來解決有關問題新課導入活動一

探究矩形的概念觀察下面圖形,長方形在生活中無處不在.通過圖片觀察發現，長方形與平行四邊形有什么不同？內角為直角新課導入活動：利用一個活動的平行四邊形教具演示,使平行四邊形的一個內角變化,請同學們注意觀察.矩形活動一

探究矩形的概念新課講授平行四邊形矩形有一個角是直角矩形是特殊的平行四邊形.定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.歸納總結平行四邊形不一定是矩形.活動一

探究矩形的概念新課講授活動二

探究矩形的性質定理1.如圖剪出一個矩形紙片ABCD,點AO是這個矩形的中心.矩形是中心對稱圖形嗎？矩形是軸對稱圖形嗎？你用什么方法驗證？矩形是中心對稱圖形，對角線的交點是它的對稱中心.由于矩形是平行四邊形，因此矩形是軸對稱圖形，過每一組對邊中點的直線都是矩形的對稱軸.新課講授2.四邊形具有不穩定性，即當一個四邊形的四條邊長保持不變時，它的形狀卻是可以改變的.如圖,使一個平行四邊形保持四條邊長不變，而將一個內角a由鈍角先變成直角，再變成銳角.(1)這個四邊形總是平行四邊形嗎?(2)當α=90°時，其余三個內角各是多少度的角?(3)當α=90°時，兩條對角線的長有什么關系?活動二

探究矩形的性質定理矩形的四個角都是直角矩形的兩條對角線長相等新課講授思考通過觀察，我們發現因為矩形是平行四邊形，所以它具有平行四邊形的所有性質，由于它有一個角為直角，它是否具有一般平行四邊形不具有的一些特殊性質呢？可以從邊，角，對角線等方面來考慮.活動二

探究矩形的性質定理新課講授活動二

探究矩形的性質定理證明：由定義，矩形必有一個角是直角，設∠A=90°∵AB∥DC，AD∥BC，

∴∠B=∠C=∠D=90°.（兩直線平行，同旁內角互補）即矩形ABCD的四個內角都是直角.已知,矩形ABCD.求證：

∠A=∠B=∠C=∠D=90°.ABCD做一做證明：矩形的四個角都是直角新課講授活動二

探究矩形的性質定理證明：∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°,在△ABC和△DCB中,∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB,∴△ABC≌△DCB.∴AC=DB.ABCDO如圖,四邊形ABCD是矩形,∠ABC=90°,對角線AC與DB相較于點O.求證：AC=DB.證明：矩形的兩條對角線相等新課講授活動二

探究矩形的性質定理矩形除了具有平行四邊形所有性質，還具有：矩形的四個內角都是直角.矩形的兩條對角線相等.歸納總結幾何語言描述：在矩形ABCD中，對角線AC與DB相較于點O.∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AC=DB.ABCDO新課拓展例1如圖,在矩形ABCD中,兩條對角線AC,BD相交于點O,∠AOD=120°,AB=4,求矩形對角線的長.解：∵四邊形ABCD是矩形.∴AC=BD，

OA=OC=AC,OB=OD=BD,

∴OA=OB.∵

∠AOD=120°,

∴∠AOB=60°,∴△OAB是等邊三角形，

∴OA=AB=4，

∴AC=BD=2OA=8.ABCDO矩形的對角線相等且互相平分活動三

典例精析學以致用A1.已知矩形ABCD的邊AB=4，BC=5，求對角線AC的長。A2.已知：如圖，E為矩形ABCD的邊AD的中點，連接BE，CE。求證：△EBC是等腰三角形DABCEABCDO1.解:AC==2.證明:在矩形ABCD中,AB=DC,∠A=∠D.∵E為AD的中點,∴AE=DE,∴△ABE≌△DCE(SAS),∴EB=EC,∴△EBC是等腰三角形.學以致用ABCDEFA3如圖，在矩形ABCD中，E為AD上一點，EF⊥CE，交AB于點F，DE=2，矩形的周長為16，且CE=EF，求AE的長。解:在矩形ABCD中,∠A=∠D=90°,∴∠AFE+∠AEF=90°.∵EF⊥CE,∴∠AEF+∠CED=90°,∴∠AFE=∠CED.在△AEF和△DCE中,∴△AEF≌△DCE(AAS),∴AE=DC.∵矩形ABCD的周長為16,∴AD+DC=8.∴AE+DE+DC=8,∵DE=2,∴2AE=6,∴AE=3.學以致用B1.如圖,四邊形ABCD是矩形,對角線AC,BD相交于點O,BE∥AC交DC的延長線于點E.（1）求證：BD=BE,（2）若∠DBC=30°,BO=4,求四邊形ABED的面積.ABCDOE(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形,∴AC=BD,AB∥CD.又∵BE∥AC,∴四邊形ABEC是平行四邊形,∴AC=BE,∴BD=BE.學以致用(2)解：∵在矩形ABCD中,BO=4,∴BD=2BO=2×4=8.∵∠DBC=30°,∴CD=BD=×8=4,∴AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8.在Rt△BCD中,BC=∴四邊形ABED的面積=×(4+8)×=.ABCDOE學以致用B2.如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的動點，PE⊥AC，PF⊥BD于F，求PE+PF的值.解：連接OP.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，OA=OD=OC=OB，∴S△AOD=S△DOC=S△AOB=S△BOC

=S矩形ABCD=×3×4=3.在Rt△BAD中，由勾股定理得BD=5，∴AO=OD=2.5，∵S△APO+S△DPO=S△AOD，∴AO·PE+DO·PF=3，即PE+PF=3，∴PE+PF=.學以致用B3.如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E為CD中點，連接AE并延長，交BC的延長線于點F，連接DF，求DF的長。DABCEF解:∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BF,AD=BC,∠BCD=90°,∴∠DAE=∠CFE.∵E為CD的中點,∴DE=CE.在△AED和△FEC中,∴△AED≌△FEC(AAS),∴AD=CF.又∵AD=BC,∴BC=CF.∵∠BCD=90°,∴DC是BF的垂直平分線,∴DB=DF.在Rt△ABD中,AB=3,AD=4,∴BD=5.∴DF=5.課堂小結矩形的相關概念及性質四個內角都是直角，兩條對角線互相平分且相等軸對稱圖形有兩條對稱軸有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形中心對稱圖形，對角線的交點是它的對稱中心當堂檢測1.如圖所示,在矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,若OA=2,則BD的長為 (

)A.4 B.3 C.2 D.12.如圖所示,將一個邊長分別為4和8的長方形紙片ABCD折疊,使C點與A點重合,則折痕EF的長是 (

)A. B.2 C. D.2AD當堂檢測3.如圖所示,矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,AE⊥BD于E,若∠OAE=24°,則∠BAE的度數是 (

)A.24° B.33° C.42° D.43°4.如圖所示,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,將矩形沿AC折疊,則重疊部分△AFC的面積為 (

)A.12 B.10 C.8 D.6BB當堂檢測5.為了向六十六周年校慶獻禮,某校各班都在開展各種活動,八年級(3)班開展了手工制作競賽,每個同學都在規定時間內完成一件手工作品.陳莉同學在制作手工作品的第一、二個步驟是:①先裁下一張長BC=20cm,寬AB=16cm的矩形紙片ABCD;②將紙片沿著直線AE折疊,點D恰好落在BC邊上的點F處,請你根據①②步驟解答下列問題: