21.5一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系主講：冀教版八年級下冊

第二十一章

一次函數(shù)學習目標目標11.體會一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系.重點2難點32.認識到通過建立兩個變量的一次等式(即二元一次方程),就可得到它們之間的一次函數(shù)關(guān)系.3.通過對一次函數(shù)變量變化規(guī)律的探究,體會一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系.新課導入

十七世紀法國數(shù)學家笛卡爾有一次生病臥床,他看見屋頂上的一只蜘蛛順著左右爬行,笛卡爾看到蜘蛛的“表演”猛地靈機一動.他想,可以把蜘蛛看成一個點,它可以上、下、左、右運動,能不能把蜘蛛的位置用一組數(shù)確定下來呢?在蜘蛛爬行的啟示下,笛卡爾創(chuàng)建了直角坐標系,在坐標系下將幾何圖形(形)和方程(數(shù))建立聯(lián)系.笛卡爾坐標系起到了橋梁和紐帶的作用,而我們可以把圖形化成方程來研究,也可以用圖像來研究方程.這節(jié)課我們就來研究:一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系.新課導入活動一

從圖形角度探究關(guān)系二元一次方程x+y=1有無數(shù)組解，如：(-2,3)(-1,2)(0,1)(1,0)(2,-1)(3,-2)問題1.以這些解為點坐標描點，這些點在一條直線上嗎？問題2.如果在，它們在哪條直線上？在一條直線上.在一次函數(shù)y=1-x的圖像上.新課導入1.一次函數(shù)y=kx+b圖像與二元一次方程kx-y=-b的解為坐標的所有點組成的圖像有什么關(guān)系?(1)一次函數(shù)y=kx+b圖像上任意一點的坐標都是二元一次方程kx-y=-b的一個解。(2)以二元一次方程kx-y=-b的解為坐標的點都在一次函數(shù)y=kx+b的圖像上。總結(jié):以二元一次方程的解為坐標的點都在與它相應的一次函數(shù)的圖像上;反過來,一次函數(shù)圖像上的點的坐標都是與它相應的二元一次方程的解.思考總結(jié)2.以二元一次方程ax+by=c的解為坐標所構(gòu)成的直線,是不是一次函數(shù)

的圖像?是活動一

從圖形角度探究關(guān)系新課講授1.方程2x+3y=5有多少組解?請?zhí)顚懴卤?并把每一組對應值作為點的坐標,在直角坐標系中描出各點.2.在直角坐標系中畫出

的圖像.3.以方程2x+3y=5的解為坐標的點是否都在函數(shù)

的圖像上?是有無數(shù)組解做一做新課講授函數(shù)角度在關(guān)于x和y的二元一次方程ax+by=c中：對于每一個x值，都有唯一確定的y值與之對應。可知變量y是x的函數(shù)。可見，二元一次方程實際上是確定了兩個未知量（變量）間的一種函數(shù)關(guān)系。二元一次方程函數(shù)關(guān)系活動二

從函數(shù)角度探究關(guān)系新課拓展方程角度一次函數(shù)y=kx+b，可變形為二元一次方程的標準形式y(tǒng)-kx=-b一次函數(shù)可以變形為ax+by=c由此看來，二元一次方程與一次函數(shù)完全是等價的二元一次方程函數(shù)關(guān)系你認為二元一次方程和一次函數(shù)有什么聯(lián)系與區(qū)別?兩種形式所表達的關(guān)系是一致的，只是表達方式與觀察視角的不同，即二元一次方程組和一次函數(shù)是等價的。活動三

從方程角度探究關(guān)系學以致用1.把二元一次方程2x-3y=4改寫成一次函數(shù)y=kx+b的形式，并畫出這個一次函數(shù)的圖像。解：由2x-3y=4得3y=2x-4所以列表x020學以致用2.把二元一次方程2(x-3)+y=0改寫成一次函數(shù)y=kx+b的形式，并畫出這個一次函數(shù)的圖像。2.解：二元一次方程2x-y=1的三個解以方程的解為坐標的點都在一次函數(shù)y=2x-1的圖像上，如圖所示.學以致用1.已知一次函數(shù)y=ax+5和y=-x+b的圖像交于點P(1,2).(1)直接寫出方程組

的解(2)求a,b的值.A組解:（1）方程組的解為(2)把點P(1,2)代入兩個函數(shù)關(guān)系式,得

解得學以致用1.解方程組

并由此指出在同一直角坐標系內(nèi)，一次函數(shù)y=2x-2與y=-2x+6圖像交點的坐標.1.解:解方程組,得一次函數(shù)y=2x-2與y=-2x+6圖像交點的坐標為(2,2).學以致用2.已知關(guān)于x,y的方程組

的解為(1)寫出一次函數(shù)y=-x+1和

的圖像交點P的坐標.(2)若這兩個函數(shù)的圖像與x軸分別交于點A,B,求S△ABP.2.解:(1)P(-1,2).

(2)由一次函數(shù)

的圖像過點(-1,2),可得a=-2,化簡該函數(shù)關(guān)系式,得

的圖像交x軸于點A(-4,0),y=-x+1的圖像交x軸于點B(1,0),∴AB=1-(-4)=5.∴S△ABP=×5×2=5.學以致用3.若二元一次方程組

的解為

則直線y=-3x+a和y=2x-的交點坐標為 (

)A.(n,m) B.(m,m) C.(m,n) D.(n,n)解析:二元一次方程組的解就是兩個方程對應直線的交點坐標.故選C.C學以致用4.如圖所示的是函數(shù)y=kx+b與y=mx+n的圖像,求方程組

的解對應的點關(guān)于原點對稱的點的坐標是 (

)A.(4,3) B.(3,-4)C.(-3,4) D.(-3,-4)解析:函數(shù)y=kx+b與y=mx+n的圖像,同時經(jīng)過點(3,4),因此x=3,y=4同時滿足兩個函數(shù)的解析式,所以方程組

的解為所以點(3,4)關(guān)于原點對稱的點的坐標是(-3,-4).故選D.D課堂小結(jié)二元一次方程ax+by=c(a,b,c為常數(shù),a≠0,b≠0)的解為坐標的點一次函數(shù)（直線）

圖像上的點以二元一次方程組的解直線y1=k1x+b1和y2=k2x+b2在坐標系中的交點的橫、縱坐標當堂檢測1.如圖所示,已知函數(shù)y=ax+b和y=kx的圖像交于點P,則根據(jù)圖像可得關(guān)于x,y的二元一次方程組

的解是 (

)ABCDC當堂檢測2.已知直線y=2x與y=-x+b的交點為(-1,a),則方程組的解為 (

)ABCDD當堂檢測3.作出函數(shù)y1=2x-2與y2=-2x+6的圖像,利用圖像解答下列問題:(1)方程組

的解為

;

(2)y1>0與y2>0同時成立時x的取值范圍是

；;

(3)直線y1=2x-2與y軸交于點A,直線y2=-2x+6與y軸交于點B,兩者相交于點C,求△ABC的面積;1<x<3解：(3)∵x=0時,y1=-2,y2=6,則AB=8,故△ABC的面積為

×8×2=8.

當堂檢測(4)當點P橫坐標為-2時