高中數學圓的方程典型例題

類型一：圓的方程

例1求過兩點、且圓心在直線上的圓的標準方程并判斷點與

圓的關系.

分析：欲求圓的標準方程，需求出圓心坐標的圓的半徑的大小，而要

判斷點與圓的位置關系，只須看點與圓心的距離和圓的半徑的大小關

系，若距離大于半徑，則點在圓外；若距離等于半徑，則點在圓上；若距

離小于半徑，則點在圓內.

解法一：(待定系數法)

設圓的標準方程為.

???圓心在上，故.

???圓的方程為.

又???該圓過、兩點.

.f(l-w)2+16=r2

*((3-?)2+4=r

解之得：，.

所以所求圓的方程為.

解法二：(直接求出圓心坐標和半徑)

因為圓過、兩點，所以圓心必在線段的垂直平分線上，又因

為，故的斜率為1,又的中點為，故的垂直平分線的方程為:

即.

又知圓心在直線上，故圓心坐標為

???半徑.

故所求圓的方程為.

又點PQ,4）到圓心C（-1,O）的距離為

^=|pC|=7（2+l）2+4:=V25>r.

???點在圓外.

說明：本題利用兩種方法求解了圓的方程，都圍繞著求圓的圓心和半

徑這兩個關鍵的量，然后根據圓心與定點之間的距離和半徑的大小關系來

判定點與圓的位置關系，若將點換成直線又該如何來判定直線與圓的位置

關系呢？

例2求半徑為4,與圓相切，且和直線相切的圓的方程.

分析：根據問題的特征，宜用圓的標準方程求解.

解：則題意，設所求圓的方程為圓.

圓與直線相切，且半徑為4,則圓心的坐標為或.

又已知圓的圓心的坐標為，半徑為3.

若兩圓相切，則或.

（1）當時，，或（無解），故可得.

???所求圓方程為，或.

（2）當時，,或（無解），故.

?,?所求圓的方程為，或.

說明：對本題，易發生以下誤解：

由題意，所求圓與直線相切且半徑為4,則圓心坐標為，且方程形如

.又圓，即，其圓心為，半徑為3.若兩圓相切，則.故，

解之得.所以欲求圓的方程為，或

上述誤解只考慮了圓心在直線上方的情形，而疏漏了圓心在直線

下方的情形.另外，誤解中沒有考慮兩圓內切的情況.也是不全面的.

例3求經過點，且與直線和都相切的圓的方程.

分析：欲確定圓的方程.需確定圓心坐標與半徑，由于所求圓過定點

,故只需確定圓心坐標.又圓與兩已知直線相切，故圓心必在它們的交

角的平分線上.

解：???圓和直線與相切，

???圓心在這兩條直線的交角平分線上，

又圓心到兩直線和的距離相等.

.以一2），|卜+2），|

???兩直線交角的平分線方程是或.

又丁圓過點，

???圓心只能在直線上.

設圓心

,/到直線的距離等于，

???^^=5產+（3，一5）2.

V5

化簡整理得.

解得：或

圓心是，半徑為或圓心是，半徑為.

??.所求圓的方程為或.

說明：本題解決的關鍵是分析得到圓心在已知兩直線的交角平分線上，從

而確定圓心坐標得到圓的方程，這是過定點且與兩已知直線相切的圓的方

程的常規求法.

例4.設圓滿足：(1)截軸所得弦長為2；(2)被軸分成兩段弧，其

弧長的比為，在滿足條件(1)(2)的所有圓中，求圓心到直線的距離最

小的圓的方程.

分析：要求圓的方程，只須利用條件求出圓心坐標和半徑，便可求得

圓的標準方程.滿足兩個條件的圓有無數個，其圓心的集合可看作動點的

軌跡，若能求出這軌跡的方程，便可利用點到直線的距離公式，通過求最

小值的方法找到符合題意的圓的圓心坐標，進而確定圓的半徑，求出圓的

方程.

解法一：設圓心為，半徑為.

則到軸、軸的距離分別為和.

由題設知：圓截軸所得劣弧所對的圓心角為，故圓截軸所得弦長

又圓截軸所得弦長為2.

=?■+1.

又「P(〃,b)到直線工-2)，=()的距離為

，5d2=\a-2t\

a~+4Zr-4ab

>?2+4Z?2-2(rz2+/?2)

=lb2-a2=\

當且僅當時取“二”號，此時

這時有乩』

b=-\

又產=26=2

故所求圓的方程為(1-1)2+(y-1)2=2或(X+1)2+(y+1)2=2

解法二：同解法一，得

八叩

V5

/.a-2b=±\[5d.

??./=4/±4j%/+5/.

將代入上式得：

2從±434+5/+1=0.

上述方程有實根，故

△=8(5]-1)20,

??dN---?

5

將代入方程得.

又J.

由知、同號.

故所求圓的方程為或.

說明：本題是求點到直線距離最小時的圓的方程，若變換為求面積最

小呢？

類型二：切線方程、切點弦方程、公共弦方程

例5已知圓，求過點與圓相切的切線.

解：???點不在圓上，

???切線P7的直線方程可設為好十-2)+4

根據d=r

.??畢絲1=2

Jl+公

解得k=^-

4

所以y=1(x-2)+4

即3x-4y+10=0

因為過圓外一點作圓得切線應該有兩條，可見另一條直線的斜率不存

在.易求另一條切線為.

說明：上述解題過程容易漏解斜率不存在的情況，要注意補回漏掉的解.

本題還有其他解法，例如把所設的切線方程代入圓方程，用判別式等

于0解決(也要注意漏解).還可以運用，求出切點坐標、的值來

解決，此時沒有漏解.

例6兩圓與相交于、兩點，求它們的公共弦所在直線的方

程.

分析：首先求、兩點的坐標，再用兩點式求直線的方程，但是求

兩圓交點坐標的過程太繁.為了避免求交點，可以采用“設而不求”的技

巧.

解：設兩圓、的任一交點坐標為，則有:

飛2+）媼+〃與+6%+6=。①

X。2+為2+。2%+后2%+6=0②

①一②得：.

V、的坐標滿足方程.

，方程是過、兩點的直線方程.

又過、兩點的直線是唯一的.

???兩圓、的公共弦所在直線的方程為.

說明：上述解法中，巧妙地避開了求、兩點的坐標，雖然設出了

它們的坐標，但并沒有去求它，而是利用曲線與方程的概念達到了目

標.從解題的角度上說，這是一種“設而不求”的技巧，從知識內容的角

度上說，還體現了對曲線與方程的關系的深刻理解以與對直線方程是一次

方程的本質認識.它的應用很廣泛.

例7、過圓外一點，作這個圓的兩條切線、，切點分別是、

,求直線的方程。

練習：

1.求過點，且與圓相切的直線的方程.

解：設切線方程為，即，

??,圓心到切線的距離等于半徑，

???,解得,

???切線方程為，即，

當過點的直線的斜率不存在時，其方程為，圓心到此直線的距離等

于半徑，

故直線x=3也適合題意。

所以，所求的直線的方程是或.

2.過坐標原點且與圓相切的直線的方程為

解：設直線方程為，即.???圓方程可化為，，圓心為（2,-1）,半

徑為.依題意有，解得或，J直線方程為或.

3.已知直線與圓相切，則的值為

解：???圓的圓心為（1,0）,半徑為1,J,解得或.

類型三：弦長、弧問題

例8、求直線1:3x-y-6=0被圓0:/+/一2%-4y=0截得的弦A5的長.

例9、直線瓜-+y-26=0截圓/+y2=4得的劣弧所對的圓心角為一

解：依題意得，弦心距，故弦長，從而aoAB是等邊三角形，故截得

的劣弧所對的圓心角為.

例10、求兩圓/+），一x+y-2=0和/+=5的公共弦長

類型四：直線與圓的位置關系

例11、已知直線和圓，判斷此直線與已知圓的位置關系.

例12.若直線與曲線有且只有一個公共點，求實數的取值范圍.

解：???曲線表示半圓，，利用數形結合法，可得實數的取值范圍是

或

例13圓上到直線的距離為1的點有幾個？

分析：借助圖形直觀求解,或先求出直線、的方程，從代數計算中

尋找解答.

解法一：圓的圓心為，半徑.

設圓心到直線的距離為，則.

如圖，在圓心同側，與直線平行且距離為1的直線與圓有兩個交點,

這兩個交點符合題意.

又一〃=3-2=1.

???與直線平行的圓的切線的兩個切點中有一個切點也符合題意.

???符合題意的點共有3個.

解法二：符合題意的點是平行于直線，且與之距離為1的直線和圓的

交點.設所求直線為，則，

???，即，或，也即

,或.

設圓的圓心到直線、的距離為、，則

|3x3+4x3-6||3x3+4x3-16|

4=---/—=3,=----1---=1，

???與相切，與圓有一個公共點；與圓相交，與圓有兩個

公共點.即符合題意的點共3個.

說明：對于本題，若不留心，則易發生以下誤解：

設圓心到直線的距離為，則.

???圓到距離為1的點有兩個.

顯然，上述誤解中的是圓心到直線的距離，，只能說明此直線與圓

有兩個交點，而不能說明圓上有兩點到此直線的距離為1.

到一條直線的距離等于定值的點，在與此直線距離為這個定值的兩條平行

直線上，因此題中所求的點就是這兩條平行直線與圓的公共點.求直線與

圓的公共點個數，一般根據圓與直線的位置關系來判斷，即根據圓心與直

線的距離和半徑的大小比較來判斷.

練習1:直線與圓沒有公共點，則的取值范圍是

解：依題意有，解得.???,A.

練習2:若直線與圓有兩個不同的交點，則的取值范圍

是

解：依題意有，解得，二的取值范圍是.

3.圓上到直線的距離為的點共有（）.

（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個

分析：把化為，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以

在圓上共有三個點到直線的距離等于，所以選C.

4.過點作直線，當斜率為何值時，直線與圓有公共點，如

圖所示.

分析：觀察動畫演示，分析思路.

解：設直線的方程為

y+4=Z（x+3）

即

展一），+3左一4二0

根據d〈廠有

1"2+3"4|<2

石+/

整理得

35_4女=0

解得

4

0<k<-.

3

類型五：圓與圓的位置關系

問題導學四：圓與圓位置關系如何確定？

例14、判斷圓與圓的位置關系，

例15:圓和圓的公切線共有條。

解：??,圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑

???兩圓相交.共有2條公切線。

練習

1:若圓與圓相切，則實數的取值集合是

解：???圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，且兩圓相切,

???或，，或，解得或，或或，，實數的取值集合是

*

2:求與圓外切于點，且半徑為的圓的方程.

解：設所求圓的圓心為，則所求圓的方程為.???兩圓外切于點，

???，J,J，，所求圓的方程為.

類型六：圓中的對稱問題

例16.圓關于直線對稱的圓的方程是

例17自點發出的光線射到軸上，被軸反射，反射光線所在的直線與圓相切

（1）求光線和反射光線所在的直線方程.

（2）光線自到切點所經過的路程.

分析、略解：觀察動畫演示，分析思路.根據對稱關系，首先求出點的

對稱點的坐標為，其次設過的圓的切線方程為

y=〃（x+3）-3

根據，即求出圓的切線的斜率為

k=—^k=—

34

進一步求出反射光線所在的直線的方程為

4x-3y+3=0或3%一4），-3二0

最后根據入射光與反射光關于軸對稱，求出入射光所在直線方程為

4x+3y+3=0或3x+4y-3=（）

光路的距離為，可由勾股定理求得.

說明：本題亦可把圓對稱到軸下方，再求解.

類型七：圓中的最值問題

例18:圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是

解：:圓的圓心為（2,2）,半徑，???圓心到直線的距離，，直線

與圓相離，，圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是.

例19（1）已知圓，為圓上的動點，求的最大、最小值.

（2）已知圓，為圓上任一點.求的最大、最小值，求的最大、

最小值.

分析：（1）、（2）兩小題都涉與到圓卜.點的坐標，可考慮用圓的參數方

程或數形結合解決.

解：（1）（法1）由圓的標準方程.

可設圓的參數方程為（是參數）.

則d=x2+y2=9+6cosO+cos20+16+8sin8+sii/0

（其中）.

所以，.

（法2）圓上點到原點距離的最大值等于圓心到原點的距離加上半徑

1,圓上點到原點距離的最小值等于圓心到原點的距離減去半徑1.

所以4=v32+42+1=6.

所以

（2）（法1）由得圓的參數方程：是參數.

則.令，

得sin夕一fcos?=2-3/，J1+產sin（夕一°）=2—3f

（"娟

所以，.

即的最大值為，最小值為.

此時龍一2y=-2+cos夕一2sin6=_2+V^cos（6+4）.

所以的最大值為，最小值為.

（法2）設，則.由于是圓上點，當直線與圓有交點時，如圖所示,

兩條切線的斜率分別是最大、最小值.

由，得.

所以的最大值為，最小值為.

令，同理兩條切線在軸上的截距分別是最大、最小值.

由，得.

所以的最大值為，最小值為.

例20:已知，，點在圓上運動，則的最小值是

解：設，則,設圓心為，則，???的最小值為.

練習：

1:已知點在圓上運動.

（1）求H的最大值與最小值；（2）求2x+y的最大值與最小值.

x-2

解：（1）設，則表示點與點（2,1）連線的斜率.當該直線與圓相

切時，取得最大值與最小值.由，解得，工的最大值為，最小值

為,

（2）設，則表示直線在軸上的截距,當該直線與圓相切時，取

得最大值與最小值.由，解得，工的最大值為，最小值為.

2設點是圓是任一點，求的取值范圍.

分析一：利用圓上任一點的參數坐標代替、，轉化為三角問題來

解決.

解法一：設圓上任一點

則有，

/.〃cos6-sine=—(〃+2).

即+lsin(6-p)=u+2(tan(p=u)

?.g\(4+2)

??sin(6^~(p)=/?

J/+1

W4-2

<1

+1

解之得：.

分析二：的幾何意義是過圓上一動點和定點的連線的斜率，利用

此直線與圓有公共點，可確定出的取值范圍.

解法二：由得：，此直線與圓有公共點，故點到直線的距離.

J/+1

解得：.

另外，直線與圓的公共點還可以這樣來處理：

由消去后得：，

此方程有實根，故，

解之得：.

說明：這里將圓上的點用它的參數式表示出來，從而將求變量的范圍問

題轉化成三角函數的有關知識來求解.或者是利用其幾何意義轉化成斜率

來求解，使問題變得簡捷方便.

3.已知點，點在圓上運動，求的最大值和最小值.

類型八：軌跡問題

例21、基礎訓練：已知點與兩個定點，的距離的比為，求點的

軌跡方程.

例22.已知線段的端點的坐標是（4,3）,端點在圓上運動，求線

段的中點的軌跡方程.

例23如圖所示，已知圓與軸的正方向交于點，點在直線上運

動，過做圓的切線，切點為，求垂心的軌跡.

分析：按常規求軌跡的方法，設，找的關系非常難.由于點隨

,點運動而運動，可考慮，，三點坐標之間的關系.

解：設，，連結，，

則，，是切線，

所以，，，

所以四邊形是菱形.

所以，得

又滿足，

所以即是所求軌跡方程.

說明：題目巧妙運用了三角形垂心的性質與菱形的相關知識.采取代入法

求軌跡方程.做題時應注意分析圖形的幾何性質，求軌跡時應注意分析與

動點相關聯的點，如相關聯點軌跡方程已知，可考慮代入法.

例24已知圓的方程為，圓內有定點，圓周上有兩個動點、

使，求矩形的頂點的軌跡方程.

分析：利用幾何法求解，或利用轉移法求解，或利用參數法求解.

解法一：如圖，在矩形中，連結，交于，顯然，，

在直角三角形中，若設，則.

由|?！啊?丑時=]磔2,即

(￡^￡了+(2^)2+(y-/>)2]=/,

也即，這便是的軌跡方程.

解法二：設、、，貝U,?

又歸。2=|4耳2,即

22222

(x-a)+(y-b)=(X)-x2)+(yi-y2)=2r-2(xix2+yxy2)?①

又與的中點重合，故，，即

(x+a『+(y+〃/=2，+2(邛2+X)’2)②

①+②，有.

這就是所求的軌跡方程.

解法三：設、、，

由于為矩形，故與的中點重合，即有

,①

,②

又由卓,號有色=T③

rcosa-a/cosp-a

聯立①、②、③消去、，即可得點的軌跡方程為.

說明：本題的條件較多且較隱含，解題時，思路應清晰，且應充分利用圖

形的幾何性質，否則，將使解題陷入困境之中.

本題給出三種解法.其中的解法一是幾何方法，它充分利用了圖形中隱含

的數量關系.而解法二與解法三，從本質上是一樣的，都可以稱為參數方

法.解法二涉與到了、、、四個參數，故需列出五個方程；而解

法三中，由于借助了圓的參數方程，只涉與到兩個參數、，故只需

列出三個方程便可.上述三種解法的共同之處是，利用了圖形的兒何特征,

借助數形結合的思想方法求解.

練習：

L由動點向圓引兩條切線、，切點分別為、，二600,則動

點的軌跡方程是,

解：設.丁=600,??.=300.V,???,,化簡得，.?.動點

的軌跡方程是.

練習鞏固：設為兩定點，動點到點的距離與到點的距離的比為定

值，求點的軌跡.

解：設動點的坐標為.由，得，

化簡得（1一/）/+2（7（1+〃2）工+/（1—々2）=｛）.

當時，化簡得，整理得；

當時，化簡得.

所以當時，點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓；

當時，點的軌跡是軸.

2.已知兩定點，，如果動點滿足，則點的軌跡所包圍的面積等

于

解：設點的坐標是.由，得，化簡得，，點的軌跡是以（2,

0）為圓心，2為半徑的圓，???所求面積為.

4.已知定點，點在圓上運動，是線段上的一點，且，問點

的軌跡是什么？

解：設.???，J,

???,??..：點在圓上運動，J,J,即,???點的軌跡方

程是.

例5.已知定點，點在圓上運動，的平分線交于點，則點的

軌跡方程是

解：設.???是的平分線，???,.由變式1可得點的軌跡方程

是.

練習鞏固：已知直線與圓相交于、兩點，以、為鄰邊作平行

四邊形，求點的軌跡方程.

解：設，的中點為.丁是平行四邊形，???是的中點，，點的

坐標為，且J.,直線經過定點，???,???，化簡得.，點的

軌跡方程是.

類型九：圓的綜合應用

例25.已知圓與直線相交于、兩點，為原點，且，求實

數的值.

分析：設、兩點的坐標為、，則由，可得，再利用一元二

次方程根與系數的關系求解.或因為通過原點的直線的斜率為，由直線

與圓的方程構造以為未知數的一元二次方程，由根與系數關系得出

的值，從而使問題得以解決.

解法一：設點、的坐標為、.一方面，由，得

，即，也即：.①

另一方面，、是方程組的實數解，即、是方程②

的兩個根.

二，.③

又、在直線上，

?*,y%=5◎-F）?$（3—為）二7〔9一3（X]+x）+xXy].

■4?2}

將③代入，得.④

將③、④代入①，解得，代入方程②，檢驗成立,

/?m=3.

解法二：由直線方程可得，代入圓的方程，有

x+?+1("+2y)(x-6y)+—(x+2y)-=0,

整理，得.

由于，故可得

(4/n-27)(上尸+4(6-3)2+12+m=0?

xx

???,是上述方程兩根.故?得

,解得.

經檢驗可知為所求.

說明：求解本題時，應避免去求、兩點的坐標的具體數值,除此

之外，還應對求出的值進行必要的檢驗，這是因為在求解過程中并沒有

確保有交點、存在.

解法一顯示了一種解這類題的通法，解法二的關鍵在于依據直線方程構造

出一個關于的二次齊次方程，雖有規律可循，但需一定的變形技巧，同

時也可看出，這種方法給人以一種淋漓酣暢，一氣呵成之感.

例26.已知對于圓上任一點，不等式恒成立，求實數的取值

范圍.

分析一：為了使不等式恒成立，即使恒成立，只須使就行了.

因此只要求出的最小值，