2024～2025學(xué)年下學(xué)期佛山市普通高中教學(xué)質(zhì)量檢測高二數(shù)學(xué)本試卷共4頁，19小題.滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生要務(wù)必填涂答題卷上的有關(guān)項目.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答案涂在答題卷相應(yīng)的位置上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無效.4.請考生保持答題卷的整潔.考試結(jié)束后，將答題卷交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【詳解】集合，，所以.故選：D2.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【詳解】因為，因此復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是.故選：A.3.已知正方形的邊長為，，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【詳解】因為，則，因此，.故選：B.4.已知為等差數(shù)列的前n項和，，，則（）A. B. C.3 D.6【答案】B【詳解】由題意得，解得，則.故選：B.5.學(xué)校組織學(xué)生參加勞動基地實踐活動，將名學(xué)生分配到整地做畦、作物移栽和藤架搭建個項目進(jìn)行勞動技能訓(xùn)練，每名學(xué)生只分配到個項目，每個項目至少分配名學(xué)生，則不同的分配方案共有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】B【詳解】將四名學(xué)生分為三組，每組人數(shù)分別為、、，再將這三組學(xué)生分配給三個項目即可，所以，不同的分配方案種數(shù)為種.故選：B.6.某車間為規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進(jìn)行了次實驗，收集數(shù)據(jù)如表所示：零件個數(shù)/個加工時間根據(jù)計算可知加工時間關(guān)于零件數(shù)的一元線性回歸方程為，則（）A. B. C. D.【答案】C【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可得，，將樣本點中心代入回歸直線方程可得，解得.故選：C.7.某海灣一固定點處大海水深d與時間t之間的關(guān)系為，則該處水位變化速度的最大值是（）A. B. C. D.4【答案】C【詳解】由，得，則該處水位變化速度的最大值是.故選：C.8.某工廠近兩年投產(chǎn)高新電子產(chǎn)品，第一個月產(chǎn)量為1000臺，合格品率為80%，以后每月的產(chǎn)量在前一個月的基礎(chǔ)上提高20%，合格品率比前一個月增加1%.已知第n個月（，且）生產(chǎn)合格品首次突破5000臺，則n的值為（參考數(shù)據(jù)：）（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】D【詳解】由題可得第n個月生產(chǎn)合格品數(shù)量為.則由題可得.當(dāng)，，不滿足題意；，，不滿足題意；，，不滿足題意；，滿足題意.令，則，從而在上單調(diào)遞增，由以上分析可得.則當(dāng)?shù)趎個月生產(chǎn)合格品首次突破5000臺時，.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.9.設(shè)隨機變量，隨機變量，其正態(tài)密度曲線如圖所示，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【詳解】，，兩曲線分別關(guān)于直線對稱，由圖可知，故A正確；又，所以，故B正確；又的正態(tài)密度曲線比的正態(tài)密度曲線更“高瘦”，所以，故C錯誤；又，所以，故D正確；故選：ABD.10.已知數(shù)列的前n項和為，，則（）A.數(shù)列是遞減數(shù)列 B.當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值C.數(shù)列是遞減數(shù)列 D.當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值【答案】BD【詳解】對于A選項，因為，，，則，故數(shù)列不單調(diào)，A錯；對于B選項，，當(dāng)且時，且數(shù)列單調(diào)遞減，當(dāng)且時，且數(shù)列單調(diào)遞減，故當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，B對；對于C選項，由可得或，故當(dāng)時，，故數(shù)列單調(diào)遞增，C錯；對于D選項，由可得，故當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，D對.故選：BD.11.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)有兩個極值點 B.函數(shù)在單調(diào)遞增C.，函數(shù)恰有兩個零點 D.，函數(shù)在上有最大值【答案】ACD【詳解】由求導(dǎo)可得，令，則，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根，設(shè)為，不妨令；對于A，則時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增，所以函數(shù)有兩個極值點，故A正確；對于B，根據(jù)韋達(dá)定理，，若，則，則，所以，時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增，故B錯誤；對于C，取時，，令，解得或，此時，函數(shù)恰有兩個零點，故C正確；對于D，因為，所以，則，所以，時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增，所以，函數(shù)處取得極大值，又，則，又因為，所以，，所以，即，則函數(shù)在處取得極大值就是在上的最大值，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，其中第14題第一空2分，第二空3分.12.展開式中的系數(shù)為__________.（用數(shù)字作答）【答案】20【詳解】展開式中含的項為，所以展開式中的系數(shù)為20.故答案為：2013.已知直線與曲線相切，則=【答案】3【詳解】設(shè)切點為（x0，y0），由題意可得：曲線的方程為y＝ln（x+），所以y＝．所以k切＝＝1，并且y0＝x0+2，y0＝ln（x0+），解得：y0＝0，x0＝﹣2，＝3．故答案為3．14.在棱長為1個單位的正方體中，一個質(zhì)點在隨機外力的作用下從頂點出發(fā)，每隔1秒等可能地沿著棱移動1個單位，移動的方向是隨機的.設(shè)第n秒（）后，質(zhì)點位于平面ABCD的概率為，則__________，__________.【答案】①.②.【詳解】正方體的8個頂點分居在兩層：上底面和下底面內(nèi)，每個頂點有3條棱連接到相鄰頂點，移動方向等可能，概率為，因此質(zhì)點在同層內(nèi)移動到另一頂點的概率為，質(zhì)點移動到另一層頂點的概率為，第秒后，質(zhì)點位于平面ABCD的概率為，位于平面的概率為，，；則，即，而，于是數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，即，故答案為：；四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.一袋子中有大小相同的10個小球，其中有3個白球，7個黑球.現(xiàn)從中依次摸出2個球，記摸到白球的個數(shù)為X.（1）若采用不放回摸球，求X分布列；（2）若采用有放回摸球，求X的數(shù)學(xué)期望與方差.【答案】（1）分布列見解析；（2）期望，方差.【小問1詳解】依題意，的所有可能取值為，，，所以的分布為：012【小問2詳解】依題意，的所有可能取值為，每次摸到白球的概率為，則，所以的期望，方差.16.如圖，在長方體中，，，.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）【小問1詳解】以D為原點，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得，，，，，∴，，∴，∴.【小問2詳解】設(shè)平面的法向量為，，，，又，，則，∴，取，則，∴平面的一個法向量為，設(shè)直線與平面所成角為∴，即直線與平面所成角的正弦值為.17.已知數(shù)列的前n項和為，且（）.（1）若為等比數(shù)列，求公比q的值；（2）若，（?。┳C明：數(shù)列為等比數(shù)列；（ⅱ）求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）；（2）（?。┳C明見解析；（ⅱ）.【小問1詳解】數(shù)列中，，由，得，則，解得或，當(dāng)時，，，，而，顯然不恒成立，因此，當(dāng)時，，，，符合題意，所以.【小問2詳解】（?。┯?，得，兩式相減得，則，當(dāng)時，，而，，則，即，，所以數(shù)列為等比數(shù)列.（ⅱ）由（ⅰ）知等比數(shù)列的首項為3，公比為2，則，，兩式相減得，當(dāng)時，，于是，，則；當(dāng)時，，于是，，則，因此，，，則，，兩式相減得，所以.18.已知函數(shù)（，）.（1）當(dāng)時，求證：；（2）討論的單調(diào)性；（3）當(dāng)時，，求a的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；（3）【小問1詳解】當(dāng)時，設(shè)，所以單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；所以，所以，所以；【小問2詳解】函數(shù)定義域為，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，令，解得，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，令，解得，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，令，解得，當(dāng)時，單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增；【小問3詳解】當(dāng)時，符合題意；當(dāng)時，，則等價于恒成立，令，，由（1）知，所以，，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；則，因為恒成立，所以，所以，實數(shù)的取值范圍為.19.甲乙兩人進(jìn)行投籃，拋硬幣決定誰先投籃，并約定：一人先投籃，若未命中，則換為對方投籃；若后投籃者還沒命中，則由先投籃者再投籃，如此往復(fù)下去直到有人命中為止，先命中者勝，比賽結(jié)束.已知甲的命中率為，乙的命中率為，且甲乙是否命中相互獨立.（1）假設(shè)，，求第2次投籃后比賽結(jié)束的概率；（2）已知甲先投籃，求甲獲勝的概率；（3）從最終獲勝的角度出發(fā)，根據(jù)與的大小關(guān)系，判斷先投籃者的優(yōu)勢是否更大？說明理