2025年河南省中考題數學試題

注意事項：

1．本試卷共6頁，三個大題，滿分120分，考試時間100分鐘．

2．本試卷上不要答題，請按答題卡上注意事項的要求，直接把答案填寫在答題卡上．答在試

卷上的答案無效．

一、選擇題（每小題3分，共30分．下列各小題均有四個選項，其中只有一個是正確的）

1.在學校足球比賽中，如果某班足球隊進4個球記作4個，那么該隊失3個球記作（）

A.3個B.3個C.4個D.4個

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查正數和負數的意義，正數和負數是一組具有相反意義的量，已知進球數記為正，則失球

數應記為負，據此求解即可．

【詳解】解：如果某班足球隊進4個球記作4個，那么該隊失3個球記作3個，

故選：B．

2.數學活動課上，小穎繪制的某立體圖形展開圖如圖所示，則該立體圖形是（）

A.B.

C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了根據幾何體的展開圖還原幾何體，熟知圓錐的展開圖是解題的關鍵．根據展開圖

可知該幾何體側面是扇形，下面是圓形，即可得到答案．

【詳解】解：根據展開圖可知該幾何體側面是扇形，下面是圓形，則該立體圖形是圓錐，

故選：D．

3.通電瞬間，導線中的電流以接近光速形成，但其中自由電子定向移動的平均速度大約只有0.000074m/s，

比蝸牛爬行的速度還慢．數據“0.000074”用科學記數法表示為（）

A.0.74104B.7.4104C.7.4105D.74106

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了科學記數法的表示方法．科學記數法表示絕對值小于1的正數的一般形式為a10n，

其中1a10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．n的值由原數左邊起第一個不為

零的數字前面的0的個數所決定．

【詳解】解：0.0000747.4105，

故選：C．

4.如圖所示，有一個六邊形零件，利用圖中的量角器可以量出該零件內角的度數，則所量內角的度數為（）

A.100B.110C.120D.130

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了量角器，對頂角，正確讀出量角器度數是解題關鍵．由量角器可知，1120，再利

用對頂角相等求解即可．

【詳解】解：由量角器可知，1120，

21120，

即所量內角的度數為120，

故選：C．

5.一元二次方程x22x0的根的情況是（）

A.有兩個不相等的實數根B.有兩個相等的實數根

C.只有一個實數根D.沒有實數根

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，掌握0，方程有兩個不相等的實數根；0，方程有

兩個相等的實數根；0，方程沒有實數根是解題關鍵．根據一元二次方程根的判別式求解即可．

【詳解】解：一元二次方程x22x0，

2

241040，

方程有兩個不相等的實數根，

故選：A．

6.如圖所示的網格中，每個小正方形的邊長均為1，VABC的三個頂點均在網格線的交點上，點D、E分

別是邊BA、CA與網格線的交點，連接DE，則DE的長為（）

1

A.B.1C.D.

223

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，三角形中位線定理，證明出DE是VABC的中位線是解題

ADAG1AEAG1

關鍵．取格點G、H，由網格的性質可知，EG∥CH，得到，，進而證明DE

ABAH2ACAH2

是VABC的中位線，即可求解．

【詳解】解：如圖，取格點G、H，

由網格的性質可知，EG∥CH，

ADAG21AEAG21

，，

ABAH42ACAH42

D、E分別是AB、AC的中點，

DE是VABC的中位線，

1

DEBC1，

2

故選：B．

x221

7.化簡的結果是（）

x11x

A.x1B.xC.x1D.x2

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了分式的減法，掌握異分母分式加減法的運算法則是解題關鍵．先將分母變為相同，再

進行減法，然后利用平方差公式約分化簡即可．

x221

【詳解】解：

x11x

x221

x1x1

x21

x1

x1x1

x1

x1，

故選：A．

8.甲骨文是我國已發現最早的成熟文字，代表了早期中華文明的輝煌成就．正面分別印有甲骨文

“美”“麗”“山”“河”的四張卡片如圖所示，它們除正面外完全相同．把這四張卡片背面朝上洗勻，

從中隨機抽取兩張，則這兩張卡片正面恰好是甲骨文“麗”和“山”的概率是（）

1111

A.B.C.D.

12642

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查列表法與樹狀圖、概率公式，畫樹狀圖得出所有等可能的結果數以及卡片正面恰好為甲

骨文“麗”和“山”的結果數，再利用概率公式可得出答案．

【詳解】解：將甲骨文“美”“麗”“山”“河”四張卡片分別記為A，B，C，D，

畫樹狀圖如下：

共有12種等可能的結果，其中卡片正面恰好為甲骨文“麗”和“山”的結果有2種，

21

∴卡片正面恰好為甲骨文“麗”和“山”的概率為．

126

故選：B．

9.如圖，在菱形ABCD中，B45,AB6，點E在邊BC上，連接AE，將ABE沿AE折疊，若

點B落在BC延長線上的點F處，則CF的長為（）

A.2B.632C.22D.626

【答案】D

【解析】

【分析】由折疊的性質可知，AEBAEF90，BEEF，再根據菱形的性質，得出AEBE，

從而求出BE32，則BF62，即可求解．

【詳解】解：由折疊的性質可知，AEBAEF90，BEEF，

在菱形ABCD中，B45,AB6，

BAEB45，BCAB6，

AEBE，

ABAE2BE22BE6，

BE32，

BF2BE62，

CFBFBC626，

故選：D．

【點睛】本題考查了折疊的性質，菱形的性質，等腰三角形的判定和性質，勾股定理，分母有理化等知識，

掌握菱形的性質是解題關鍵．

10.汽車輪胎的摩擦系數是影響行車安全的重要因素，在一定條件下，它會隨車速的變化而變化．研究發現，

某款輪胎的摩擦系數與車速vkm/h之間的函數關系如圖所示．下列說法中錯誤的是（）

A.汽車靜止時，這款輪胎的摩擦系數為0.9

B.當0v60時，這款輪胎的摩擦系數隨車速的增大而減小

C.要使這款輪胎的摩擦系數不低于0.71，車速應不低于60km/h

D.若車速從25km/h增大到60km/h，則這款輪胎的摩擦系數減小0.04

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了利用函數圖象獲取信息，正確理解函數圖象是解題關鍵．根據某款輪胎的摩擦系數與

車速vkm/h之間的函數關系圖，逐項判斷即可．

【詳解】解：A、由圖象可知，當v0時，0.9，即汽車靜止時，這款輪胎的摩擦系數為0.9，原說法

正確，不符合題意；

B、由圖象可知，當0v60時，這款輪胎的摩擦系數隨車速的增大而減小，原說法正確，不符合題意；

C、要使這款輪胎的摩擦系數不低于0.71，車速應不高于60km/h，原說法錯誤，符合題意；

D、由圖象可知，當v25時，0.75；當v60時，0.71，即車速從25km/h增大到60km/h，

則這款輪胎的摩擦系數減小0.04，原說法正確，不符合題意；

故選：C

二、填空題（每小題3分，共15分）

11.請寫出一個使5x在實數范圍內有意義的x的值：______________．

【答案】3（答案不唯一）

【解析】

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，以及解不等式，熟練掌握被開方數是非負數是解題的關鍵．根

據二次根式有意義得到5x0求解，取恰當的值即可．

【詳解】解：由題意得，5x0，

解得x5，

∴使5x在實數范圍內有意義的x的值可以為3；

故答案為：3（答案不唯一）．

12.為考察學校勞動實踐基地甲、乙兩種小麥的長勢，數學興趣小組從兩種小麥中各隨機抽取20株進行測

22

量，測得兩種小麥苗高的平均數相同，方差分別為s甲3.6,s乙5.8，則這兩種小麥長勢更整齊的是

______________（填“甲”或“乙”）．

【答案】甲

【解析】

【分析】本題考查了方差，熟練掌握方差是反映一組數據的波動大小的一個量，方差越大，則平均值的離

散程度越大，穩定性也越差；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩定性越好是解題關鍵．根據方差

越大，越不穩定，即可求解．

22

【詳解】解：兩種小麥苗高的平均數相同，方差分別為s甲3.6,s乙5.8，

22

s甲s乙，

兩種小麥長勢更整齊的是甲，

故答案為：甲．

13.觀察2x,4x2,6x3,8x4,，根據這些式子的變化規律，可得第n個式子為______________．

【答案】2nxn

【解析】

【分析】本題是單項式規律題，根據給出的單項式發現一般規律是解題關鍵．分析已知式子，得到第n個

式子為2nxn，即可得到答案．

【詳解】解：第1個式子：2x12x1，

第2個式子：4x222x2，

第3個式子：6x332x3，

第4個式子：8x442x4，

……

觀察發現，第n個式子為2nxn，

故答案為：2nxn

14.我國魏晉時期數學家劉徽在為《九章算術》作注時，創立了“割圓術”．如圖是研究“割圓術”時的一

個圖形，AB所在圓的圓心為點O，四邊形ABCD為矩形，邊CD與O相切于點E，連接BE，

ABE15，連接OE交AB于點F．若AB4，則圖中陰影部分的面積為______________．

4

【答案】23

3

【解析】

【分析】根據圓的切線的性質和矩形的性質，得到OEAB，由垂徑定理可得AFBF2，由圓周角

定理可得AOE30，進而證明VAOB是等邊三角形，得到OF23，再根據陰影部分的面積

S扇形AOESAOF求解即可．

【詳解】解：AB所在圓的圓心為點O，邊CD與O相切于點E，

OAOBOE，OECD，

四邊形ABCD為矩形，

AB∥CD，

OEAB，

AB4，

1

AFBFAB2，

2

ABE15，

AOE2ABE30，

OAOB，OFAB，

AOB2AOF60，

AOB是等邊三角形，

OAAB4，

OFOA2AF223，

2

陰影部分的面積30π414，

S扇形S232π23

AOEAOF36023

4

故答案為：π23．

3

【點睛】本題考查了求不規則圖形面積，矩形的性質，圓周角定理，垂徑定理，圓的切線的性質，等邊三

角形的判定和性質，勾股定理，扇形面積，掌握圓的相關性質是解題關鍵．

15.定義：有兩個內角的差為90的三角形叫做“反直角三角形”．如圖，在VABC中，ABAC5，

BC8，點P為邊BC上一點，若△APC為“反直角三角形”，則BP的長為___________．

2511

【答案】或

42

【解析】

【分析】題考查了等腰三角形的判定和性質，解直角三角形的應用，相似三角形的判定和性質等知識，理

解“反直角三角形”的定義，利用分類討論的思想解決問題是關鍵．分情況討論：①當APCC90時，

過點A作ADBC于點D，由等腰三角形的性質得到BDCD4，證明△ADB∽△PAB，得到

ABBD

，即可求出BP的長；②當APCCAP90時，過點P作PMBC交AC于點M，由等角

BPAB

35

對等邊得到AMPM，再證明CMP∽CAD，設CPx，進而得出PMx，CMx，根據

44

ACAMCMPMCM求出x的值，即可求出BP的長；③當CAPC90時，利用銳角三角函數，

得出C30，BAC120，即此種情況不存在；④當CAPAPC90時，同③理可證，此種情

況不存在；即可得解．

【詳解】解：ABAC5，

BC，

APCBBAP，

APCB，

APCC，

若△APC為“反直角三角形”，

①當APCC90時，過點A作ADBC于點D，

ABAC5，BC8，

1

BDCDBC4，

2

ADAB2BD23，

BC，

APCBBAP90，

BB，ADBPAB90，

ADB∽PAB，

ABBD

，

BPAB

54

，

BP5

25

BP；

4

②當APCCAP90時，過點P作PMBC交AC于點M，

APCAPMCPM90，

CAPAPM，

AMPM，

PMBC，ADBC，

PM∥AD，

CMP∽CAD，

CPPMCM

，

CDADAC

設CPx，則BP8x，

xPMCM

，

435

35

PMx，CMx，

44

35

ACAMCMPMCMxx5，

44

5

x，

2

511

BP8；

22

③當CAPC90時，

AD3131

sinC，sin30，且，

CC5252

C30，

BAC120，

若CAPC90，則CAP120，即CAPBAC，

此種情況不存在；

④當CAPAPC90時，

當點P與點B重合時，APC最小，此時APCB30，

同③理可證，此種情況不存在；

2511

綜上可知，BP的長為或，

42

2511

故答案為：或．

42

三、解答題（本大題共8個小題，共75分）

0

16.（1）計算：38π133；

2

（2）化簡：x1xx2．

【答案】（1）0；（2）1

【解析】

【分析】（1）首先計算立方根，零指數冪和二次根式的乘法，然后計算加減；

（2）首先計算完全平方公式，單項式乘以多項式，然后計算加減．

0

【詳解】解：（1）38π133

213

0；

2

（2）x1xx2

x22x1x22x

1．

【點睛】此題考查了立方根，零指數冪和二次根式的乘法，完全平方公式，單項式乘以多項式，解題的關

鍵是掌握以上運算法則．

17.為加強對青少年學生的憲法法治教育，普及憲法法治知識，教育部決定舉辦第十屆全國學生“學憲法講

憲法”活動．某學校為了解學生對憲法法治知識的掌握情況，從七、八年級各隨機抽取50名學生進行測試，

并對測試得分（10分為滿分，9分或9分以上為優秀）進行整理、描述、分析，部分信息如下．

得分統計圖

得分統計表

年級

統計

七年八年

量

級級

平均

7.867.86

數

中位

a8

數

眾數7b

優秀

38%c

率

根據以上信息，回答下列問題．

（1）表格中的a________，b________，c_________．

（2）你認為哪個年級的學生對憲法法治知識的掌握情況更好？請說明理由．

【答案】（1）7.5；8；22%

（2）見解析

【解析】

【分析】本題考查了條形統計圖，中位數，眾數，平均數等知識點，正確理解統計圖是解題的關鍵．

（1）根據中位數、眾數的定義以及優秀率的標準求解即可；

（2）可以根據眾數和中位數做決策．

【小問1詳解】

78

解：抽取50名學生，則中位數為第25，26名同學成績的平均數，由條形統計圖可得中位數a7.5；

2

八年級得分為8分的人數最多為23人，

∴眾數b8；

65

八年級的得分優秀率為：100%22%，

50

故答案為：7.5；8；22%；

【小問2詳解】

解：八年級的學生對憲法法治知識的掌握情況更好，因為八年級的學生成績的中位數和眾數都高于七年級．

18.小軍將一副三角板按如圖方式擺放在平面直角坐標系xOy中，其中含30角的三角板OAB的直角邊

k

OA落在y軸上，含45角的三角板OAC的直角頂點C的坐標為(2,2)，反比例函數y(x0)的圖象經

x

過點C．

（1）求反比例函數的表達式．

（2）將三角板OAB繞點O順時針旋轉90,AB邊上的點D恰好落在反比例函數圖象上，求旋轉前點D的

坐標．

4

【答案】（1）反比例函數的表達式為：y

x

（2）D1,4

【解析】

k

【分析】（1）把C的坐標為(2,2)代入反比例函數y(x0)即可得到答案；

x

（2）求解CO222228，證明ACCO，求解AOCO2AC24，如圖，連接OD，△OAB

4

旋轉到OEF的位置；可得OEOA4，結合D的對應點G在y的圖象上，可得EG1，進一步

x

求解即可.

【小問1詳解】

k

解：∵含45角的三角板OAC的直角頂點C的坐標為(2,2)，反比例函數y(x0)的圖象經過點C．

x

∴k224，

4

∴反比例函數的表達式為：y；

x

【小問2詳解】

解：∵C2,2，

∴CO222228，

∵含45角的三角板OAC為等腰直角三角形，ACO90，

∴ACCO，AOCO2AC24，

如圖，連接OD，△OAB旋轉到OEF的位置；

∴OEOA4，

4

∵D的對應點G在y的圖象上，

x

∴yG1，

∴EG1，

由旋轉可得：ADGE1，

∴D1,4.

【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，等腰直角三角形的性質，旋轉的性質，反比例函數的應用，理解

題意是解本題的關鍵.

19.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以BC為直徑的圓交AD于點E．

（1）請用無刻度的直尺和圓規作出圓心O（保留作圖痕跡，不寫作法）．

（2）若點E是AD的中點，連接OA,CE．求證：四邊形AOCE是平行四邊形．

【答案】（1）作圖見詳解（2）證明過程見詳解

【解析】

【分析】本題主要考查圓的基本性質，尺規作垂線，平行四邊形的判定和性質，掌握以上知識是關鍵．

（1）運用尺規作直徑BC的垂直平分線即可；

11

（2）根據平行四邊形的性質結合題意得到AEOC，AEAD,OCBC，即AEOC，由一組對

22

邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可求證．

【小問1詳解】

解：如圖所示，

∵BC是直徑，

∴運用尺規作直徑BC的垂直平分線角BC于點O，

∴點O即為所求點的位置；

【小問2詳解】

證明：如圖所示，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴ADBC,ADBC，

∵點O,E分別是BC,AD的中點，

11

∴AEOC，AEAD，OCBC，即AEOC，

22

∴四邊形AOCE是平行四邊形．

20.為助力鄉村振興，支持惠農富農，某合作社銷售我省西部山區出產的甲、乙兩種蘋果．已知2箱甲種蘋

果和3箱乙種蘋果的售價之和為440元；4箱甲種蘋果和5箱乙種蘋果的售價之和為800元．

（1）求甲、乙兩種蘋果每箱的售價．

（2）某公司計劃從該合作社購買甲、乙兩種蘋果共12箱，且乙種蘋果的箱數不超過甲種蘋果的箱數．求

該公司最少需花費多少元．

【答案】（1）甲、乙兩種蘋果每箱的售價分別為100元、80元；

（2）該公司最少需花費1080元．

【解析】

【分析】本題考查了二元一次方程的應用，一元一次不等式的應用，一次函數的應用，理解題意正確列式

是解題關鍵．

（1）設甲、乙兩種蘋果每箱的售價分別為x元、y元，根據“2箱甲種蘋果和3箱乙種蘋果的售價之和為

440元；4箱甲種蘋果和5箱乙種蘋果的售價之和為800元”，列二元一次方程組求解即可；

（2）設購買甲種蘋果a箱，根據“乙種蘋果的箱數不超過甲種蘋果的箱數”列不等式，求出a的取值范圍，

設該公司需花費w元，得到w關于a的一次函數，求出最值即可．

【小問1詳解】

解：設甲、乙兩種蘋果每箱的售價分別為x元、y元，

2x3y440

則，

4x5y800

x100

解得：，

y80

答：甲、乙兩種蘋果每箱的售價分別為100元、80元；

【小問2詳解】

解：設購買甲種蘋果a箱，則購買乙種蘋果12a箱，

則12aa，

解得：a6，

設該公司需花費w元，

則w100a8012a20a960，

200，

w隨a的增大而增大，

當a6時，w有最小值為2069601080，

即該公司最少需花費1080元．

21.焦裕祿紀念園是全國重點革命烈士紀念建筑物保護單位，革命烈士紀念碑位于紀念園南部的中心．某綜

合與實踐小組開展測量紀念碑高度的活動，記錄如下．

活動測量紀念碑的高度

主題

實物

圖和

測量

示意

圖

如圖，紀念碑AB位于有臺階的平臺BC上，太陽光下，其頂端A的影子落在點D

測量處，同一時刻，豎直放置的標桿DE頂端E的影子落在點F處，位于點M處的

說明觀測者眼睛所在位置為點N，點N,E,A在一條直線上，紀念碑底部點B在觀測

者的水平視線上．

測量

DE2.1m,DF2.1m,DM1m,MN1.2m

數據

備注點F,M,D,C在同一水平線上．

根據以上信息，解決下列問題．

（1）由標桿的影子DF的長和標桿DE的長相等，可得CDCA，請說明理由．

（2）求紀念碑AB的高度．

（3）小紅通過間接測量得到CD的長，進而求出紀念碑AB的高度約為18.5m．查閱資料得知，紀念碑的

實際高度為19.64m．請判斷小紅的結果和（2）中的結果哪個誤差較大？并分析誤差較大的可能原因（寫

出一條即可）．

【答案】（1）見解析；

（2）紀念碑AB的高度為19.8m．

（3）小紅的結果誤差較大，理由見解析

【解析】

【分析】本題考查了平行投影，矩形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的判定和

性質是解題關鍵．

ACDE

（1）根據平行投影的性質可得，即可證明結論；

CDDF

（2）令BN與DE的交點為H，則四邊形BCDH和MNHD是矩形，設ABx，證明NEH∽NAB，

EHNH

得到，求出x的值即可；

ABNB

（3）比較紀念碑的實際高度與小紅和（2）中的結果，得到誤差較大的一方，再分析可能的原因即可．

【小問1詳解】

解：太陽光下，其頂端A的影子落在點D處，同一時刻，豎直放置的標桿DE頂端E的影子落在點F處，

ACDE

，

CDDF

標桿的影子DF的長和標桿DE的長相等，即DEDF，

CDCA；

【小問2詳解】

解：如圖，令BN與DE的交點為H，

則四邊形BCDH和MNHD是矩形，

DE2.1m,DF2.1m,DM1m,MN1.2m

CDBH，BCDHMN1.2m，NHDM1m，

EHDEDH0.9m，

設ABx，則ACABBC1.2xm，

BHCD1.2xm，

NBBHNH2.2x，

EH∥AB，

NEH∽NAB，

EHNH

，

ABNB

0.91

，

x2.2x

解得：x19.8，

答：紀念碑AB的高度為19.8m．

【小問3詳解】

解：紀念碑的實際高度為19.64m，小紅求出紀念碑AB的高度約為18.5m，（2）中紀念碑AB的高度為19.8m，

則小紅的結果誤差較大，

理由是：紀念碑AB位于有臺階的平臺BC上，點C的位置無法正確定位，使得CD的長存在誤差，影響計

算結果．

22.在二次函數yax2bx2中，x與y的幾組對應值如下表所示．

x…201…

y…221…

（1）求二次函數的表達式．

（2）求二次函數圖象的頂點坐標，并在給出的平面直角坐標系中畫出二次函數的圖象．

（3）將二次函數的圖象向右平移n個單位長度后，當0x3時，若圖象對應的函數最大值與最小值的差

為5，請直接寫出n的值．

【答案】（1）yx22x2

（2）1,3；見解析

（3）15或45

【解析】

【分析】本題主要查了二次函數的圖象和性質：

（1）利用待定系數法解答，即可求解；

（2）利用配方法把解析式變形為頂點式，即可求解；

（3）分兩種情況解答，即可求解．

【小問1詳解】

解：把點2,2,1,1代入得：

ab21

，

4a2b22

a1

解得：，

b2

∴二次函數的解析式為yx22x2；

【小問2詳解】

2

解：yx22x2x13，

∴二次函數圖象的頂點坐標為1,3，對稱軸為直線x1，

∴點1,1關于直線x1的對稱點為3,1，

畫出函數圖象，如圖，

【小問3詳解】

2

解：根據題意得：平移后的拋物線解析式為yx1n3，

∴平移后的拋物線的對稱軸為直線xn1，

335

當平移后拋物線的對稱軸在直線x左側時，此時最小值為3，n1，即n，

222

2

當x3時，取得最大值，最大值為31n3n28n13，

∵圖象對應的函數最大值與最小值的差為5，

∴n28n1335，

解得：n45或45（舍去）；

335

當平移后拋物線對稱軸在直線x右側時，此時最小值為3，n1，即n，

222

2

當x0時，取得最大值，最大值為1n3n22n2，

∵圖象對應的函數最大值與最小值的差為5，

∴n22n235，

解得：n15或15（舍去），

綜上所述，n的值為15或45．

23.在AOB中，點C是AOB的平分線上一點，過點C作CDOB，垂足為點D，過點D作

DEOA，垂足為點E，直線DE,OC交于點F，過點C作CGDE，垂足為點G．

（1）觀察猜想

如圖1，當AOB為銳角時，用等式表示線段CG,OE,OD的數量關系：__________．

（2）類比探究

如圖2，當AOB為鈍角時，請依據題意補全圖形（無需尺規作圖），并判斷（1）中的結論是否仍然成立？

若成立，請證明；若不成立，請寫出正確結論，并證明．

（3）拓展應用