第21課時專題強化：圓周運動的臨界問題目標要求1.會分析水平面內、豎直面內及傾斜面內物體做圓周運動的向心力來源及動力學問題。2.掌握分析判斷臨界問題的方法。考點一水平面內圓周運動的臨界問題1.與摩擦力有關的臨界極值問題物體間恰好不發生相對滑動的臨界條件是物體間恰好達到最大靜摩擦力。(1)如果只是摩擦力提供向心力，則最大靜摩擦力Ffm＝mv(2)如果除摩擦力以外還有其他力，如繩兩端連接物體隨水平面轉動，其中一個物體存在一個恰不向內滑動的臨界條件和一個恰不向外滑動的臨界條件，分別為靜摩擦力達到最大且靜摩擦力的方向沿半徑背離圓心和沿半徑指向圓心。2.與彈力有關的臨界極值問題(1)兩個接觸物體分離的臨界條件是物體間的彈力恰好為零。(2)繩上拉力的臨界條件是繩恰好拉直且無彈力或繩上拉力恰好為最大承受力。例1(2024·江蘇卷·8)生產陶瓷的工作臺勻速轉動，臺面上掉有陶屑，陶屑與臺面間的動摩擦因數處處相同(臺面足夠大)，則()A.越靠近臺面邊緣的陶屑質量越大B.越靠近臺面邊緣的陶屑質量越小C.陶屑只能分布在圓臺邊緣D.陶屑只能分布在某一半徑的圓內例2(多選)(2025·寧夏銀川市模擬)如圖所示，兩個質量均為m的小木塊a和b(可視為質點)放在水平圓盤上，a與轉軸OO'的距離為l，b與轉軸的距離為2l。木塊與圓盤間的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍，重力加速度大小為g。若圓盤從靜止開始繞轉軸緩慢地加速轉動，用ω表示圓盤轉動的角速度，且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，下列說法正確的是()A.b一定比a先開始滑動B.a、b所受的摩擦力始終相等C.ω＝kg2l是D.當ω＝2kg3l時，例3(多選)(2024·黑龍江哈爾濱市第二中學期中)質量為m的小球(視為質點)由輕繩a和b分別系于一輕質細桿的A點和B點，如圖所示，當輕桿繞軸以角速度ω勻速轉動時，a繩與水平方向成θ角，b繩在水平方向上且長為l。重力加速度為g，下列說法正確的是()A.a繩的彈力隨角速度的增大而增大B.當角速度ω>gltanθC.當b繩中產生彈力后，角速度再增大時a繩的彈力不變D.當b繩突然被剪斷時，a繩的彈力一定發生變化物體做圓周運動時，若物體的速度、角速度發生變化，會引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)發生變化，進而出現某些物理量或運動狀態的突變，即出現臨界狀態，分析圓周運動臨界問題的方法是讓角速度或線速度從小逐漸增大，分析各物理量的變化，找出臨界狀態。考點二豎直面內圓周運動的臨界問題1.豎直面內圓周運動一般為變速圓周運動，故除最高點和最低點(或等效最高點和等效最低點)合外力指向圓心，其他位置合外力不指向圓心。2.在變速圓周運動中，只需要把合外力沿圓心方向和速度方向正交分解，指向圓心的分力提供向心力，只改變速度的方向，沿切線方向的合力改變速度的大小。3.只有重力做功的豎直面內的變速圓周運動機械能守恒，有其他力參與做功的可用動能定理或能量守恒解題。4.豎直面內圓周運動的兩類模型輕繩模型輕桿模型常見類型小球最高點沒有支撐小球最高點有支撐最高點受力特征除重力外，物體受到的彈力方向：向下或等于零除重力外，物體受到的彈力方向：向下、等于零或向上最高點受力示意圖動力學方程mg+F彈＝mvmg±F彈＝mv臨界特征F彈＝0mg＝mv即vmin＝gR①恰好過最高點，v＝0，F彈＝mg②恰好無彈力，F彈＝0，v＝gR過最高點的條件在最高點的速度v≥gRv≥0例4(多選)(2024·陜西西安市期末)如圖所示，一質量為m＝0.5kg的小球(可視為質點)，用長為0.4m的輕繩拴著在豎直平面內做圓周運動，重力加速度g取10m/s2，下列說法正確的是()A.小球要做完整的圓周運動，在最高點的速度至少為2m/sB.當小球在最高點的速度為4m/s時，輕繩拉力大小為15NC.若輕繩能承受的最大張力為45N，小球的最大速度不能超過42m/sD.若輕繩能承受的最大張力為45N，小球的最大速度不能超過4m/s例5(多選)如圖所示，小球在豎直放置的光滑圓形管道內做圓周運動，小球直徑略小于管道的尺寸，內側壁半徑為R，小球半徑為r，重力加速度為g，則下列說法正確的是()A.小球通過最高點時的最小速度vmin＝gB.小球通過最高點時的最小速度vmin＝0C.小球在水平線ab以下的管道中運動時，內側管壁對小球一定無作用力D.小球在水平線ab以上的管道中運動時，外側管壁對小球一定有作用力分析豎直平面內圓周運動臨界問題的思路思考如圖，固定在水平面上的光滑半圓柱體(截面為半圓)頂端A處，小滑塊從靜止開始沿半圓面下滑至P點(圖中未畫出)離開圓面，已知圓半徑為R，求P點距水平面的高度。考點三斜面上圓周運動的臨界問題物體在斜面上做圓周運動時，設斜面的傾角為θ，重力垂直斜面的分力與物體受到的支持力大小相等。物體在轉動過程中，最容易滑動的位置是最低點，恰好滑動時：μmgcosθ－mgsinθ＝mω2R。例6(2024·山東青島市期中)如圖所示，一傾斜圓盤可繞通過圓心、垂直于盤面的固定軸以不同的角速度勻速轉動，盤面上距離轉軸l＝5cm處有一可視為質點的物塊在圓盤上且始終與圓盤保持相對靜止。已知物塊與盤面間的動摩擦因數為32，盤面與水平面間的夾角θ＝30°，重力加速度大小g取10m/s2，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，下列說法正確的是()A.若圓盤角速度逐漸增大，物塊會在最高點發生相對滑動B.圓盤轉動時角速度可能為53rad/sC.物塊運動到最高點時所受摩擦力方向一定背離圓心D.物塊運動到與圓盤圓心等高點時，摩擦力的方向垂直于物體和圓盤圓心的連線

答案精析例1D[與臺面相對靜止的陶屑做勻速圓周運動，靜摩擦力提供向心力，當靜摩擦力為最大靜摩擦力時，半徑最大，設為r，根據牛頓第二定律可得μmg＝mω2r，解得r＝μgω2，μ與ω均一定，故r與陶屑質量無關且為定值，即陶屑只能分布在某一半徑的圓內，故A、B、C錯誤，D例2AC[小木塊a、b做圓周運動時，由靜摩擦力提供向心力，即Ff＝mω2R。當角速度增大時，靜摩擦力增大，當增大到最大靜摩擦力時，發生相對滑動，對木塊a有Ffa＝mωa2l，當Ffa＝kmg時，kmg＝mωa2l，ωa＝kgl；對木塊b有Ffb＝mωb2·2l，當Ffb＝kmg時，kmg＝mωb2·2l，ωb＝kg2l，則ω＝kg2l是b開始滑動的臨界角速度，即b比a先開始滑動，選項A、C正確；兩木塊滑動前轉動的角速度相同，則Ffa＝mω2l，Ffb＝mω2·2l，Ffa<Ffb，選項B錯誤；ω＝2kg3l<ωa＝kgl例3BC[當b繩的彈力剛好為零時，小球受重力和a繩的彈力，合力提供向心力，有mgtanθ＝mlω2，解得ω＝gltanθ，可知當角速度ω>gltanθ時，b繩出現彈力，故B正確；根據豎直方向上受力平衡得Fasinθ＝mg，解得Fa＝mgsin由于b繩可能沒有彈力，故b繩突然被剪斷時，a繩的彈力可能不變，故D錯誤。]例4ABC[設小球通過最高點時的最小速度為v0，則根據牛頓第二定律有mg＝mv02R，解得v0＝2m/s，故A正確；當小球在最高點的速度為v1＝4m/s時，設輕繩拉力大小為FT，根據牛頓第二定律有FT+mg＝mv12R，解得FT＝15N，故B正確；小球在軌跡最低點處速度最大，此時輕繩的拉力最大，根據牛頓第二定律有FTm－mg＝mvm2R，解得vm＝4例5BC[小球沿管道上升到最高點的速度可以為零，故A錯誤，B正確；小球在水平線ab以下的管道中運動時，由外側管壁對小球的作用力FN與小球重力在背離圓心方向的分力Fmg的合力提供向心力，即FN－Fmg＝mv2R+r，因此，外側管壁一定對小球有作用力，而內側管壁無作用力，C正確；小球在水平線ab思考設P點與圓心的連線OP與水平面間夾角為θ，小滑塊恰好離開圓面，FN＝0在P點mgsinθ＝mv2R從最高點A至P點的過程中mgR(1－sinθ)＝12mv2②由①②得：sinθ＝2又sinθ＝h故P點距水平面的高度h＝23R例6C[物塊在最低點即將滑動時，此時圓盤角速度最大，由牛頓第二定律有μmgcos30°－mgsin30°＝mω12l，解得ω1＝52rad/s，故B錯誤