第49講數據分析——一元線性回歸模型及其應用鏈教材夯基固本激活思維1.(2024·上海卷)已知氣候溫度和海水表層溫度相關，且樣本相關系數為正數，對此描述正確的是(C)A.氣候溫度高，海水表層溫度就高B.氣候溫度高，海水表層溫度就低C.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈上升趨勢D.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈下降趨勢2.(人A選必三P103習題T1改)已知兩個變量的相關關系有①正相關，②負相關，③不相關，則下列散點圖從左到右分別反映的變量間的相關關系依次是(D)(第2題)A.①②③ B.②③①C.②①③ D.①③②【解析】第一個散點圖中的點是從左下角區域分布到右上角區域，是正相關；第三個散點圖中的點是從左上角區域分布到右下角區域，是負相關；第二個散點圖中的點的分布沒有什么規律，是不相關．3.(人A選必三P138復習參考題T2)對于變量Y和變量x的成對樣本觀測數據，用一元線性回歸模型eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Y＝bx＋a＋e，,E(e)＝0，D(e)＝σ2))得到經驗回歸模型eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，對應的殘差如圖所示，模型誤差(C)(第3題)A.滿足一元線性回歸模型的所有假設B.不滿足一元線性回歸模型的E(e)＝0的假設C.不滿足一元線性回歸模型的D(e)＝σ2的假設D.不滿足一元線性回歸模型的E(e)＝0和D(e)＝σ2的假設【解析】由一元線性回歸模型eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Y＝bx＋a＋e，,E(e)＝0，D(e)＝σ2))得到經驗回歸模型eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，根據對應的殘差圖，殘差的均值E(e)＝0可能成立，但明顯殘差的x軸上方的數據更分散，D(e)＝σ2不滿足一元線性回歸模型，正確的只有C.4.(人A選必三P113練習T2)假如女兒身高y(單位：cm)關于父親身高x(單位：cm)的經驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.81x＋25.82.已知父親身高為175cm，則估計女兒的身高是_168_cm_(結果保留整數).【解析】當x＝175時，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.81x＋25.82＝0.81×175＋25.82≈168.5.下表提供了某廠節能降耗技術改造后在生產A產品過程中記錄的產量x(單位：t)與相應的生產能耗y(單位：t)的幾組對應數據：x3456y2.5t44.5如果根據上表提供的數據，求出y關于x的經驗回歸方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7x＋0.35，那么表中t的值為_3_．【解析】由經驗回歸直線過點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，即eq\x\to(y)＝0.7eq\x\to(x)＋0.35，得eq\f(2.5＋t＋4＋4.5,4)＝0.7×eq\f(3＋4＋5＋6,4)＋0.35，解得t＝3.聚焦知識1.變量的相關關系(1)相關關系兩個變量有關系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關系稱為相關關系．(2)相關關系的分類：正相關和負相關．(3)線性相關一般地，如果兩個變量的取值呈現正相關或負相關，而且散點落在_一條直線_附近，我們就稱這兩個變量線性相關．一般地，如果兩個變量具有相關性，但不是線性相關，那么我們就稱這兩個變量非線性相關或曲線相關．2.樣本相關系數(1)樣本相關系數r的計算變量x和變量y的樣本相關系數r的計算公式如下：r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－\x\to(x))(yi－\x\to(y)),\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－\x\to(x))2\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(yi－\x\to(y))2))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\x\to(x)\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)·\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yeq\o\al(2,i)－n\x\to(y)2)).(2)樣本相關系數r的性質當r_＞_0時，稱成對樣本數據_正_相關；當r_＜_0時，稱成對樣本數據_負_相關；當r＝0時，稱成對樣本數據間沒有線性相關關系．3.一元線性回歸模型eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Y＝bx＋a＋e，,E(e)＝0，D(e)＝σ2))稱為Y關于x的一元線性回歸模型，其中，Y稱為因變量或響應變量，x稱為自變量或解釋變量，a和b為模型的未知參數，e是_Y與bx＋a之間_的隨機誤差．我們將eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))稱為Y關于x的經驗回歸方程，也稱經驗回歸函數或經驗回歸公式，其圖形稱為經驗回歸直線．這種求經驗回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))叫做b，a的最小二乘估計，其中eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))＝\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－\x\to(x))(yi－\x\to(y)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－\x\to(x))2),＝_\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)_，,\o(a,\s\up6(^))＝\x\to(y)－\o(b,\s\up6(^))\x\to(x)．))4.殘差與決定系數(1)殘差對于響應變量Y，通過觀測得到的數據稱為觀測值，通過經驗回歸方程得到的eq\o(y,\s\up6(^))稱為預測值，_觀測值減去預測值所得的差_稱為