第3章小結一.導學本章研究了解析函數的積分理論，介紹了復變函數積分的概念與積分的基本性質；給出了柯西積分定理與柯西積分公式，使得閉區域上一點的函數值與其邊界上的積分相聯系，從而揭示了解析函數的一些內在聯系；又從柯西積分公式得出一系列推論，如平均值公式、最大模原理等。學習本章的基本要求如下：（1）明確復變函數積分的意義，掌握復變函數積分的基本性質與由曲線的參數方程積分的方法。（2）掌握柯西積分定理與柯西積分公式，以及應用多種方法進行復變函數積分的方法，如牛頓-萊布尼茨公式、復合閉路原理、高階柯西積分公式等，明了解析函數的導函數也是解析函數。（3）了解最大模原理與代數基本定理等。二.內容提要基本定理（1）設是C上的連續函數，則復積分存在，且。若設曲線的參數方程為，則（2）（柯西積分定理）如果函數在單連通區域內解析，則在內沿任一條簡單閉曲線的積分。（3）(復合閉路定理)設函數f(z)在以表示的復合閉路上及以其為邊界的區域G內解析，則。（4）若函數f（z）在單連通區域D內解析，則F(z)=也在D內解析，并且（5）（柯西積分公式）設函數在簡單閉曲線C上及其內部內是解析的，而是D內的任意一點，則。（6）（高階導數公式）如果函數在簡單閉曲線C上及其所圍成的單連通區域D內是解析的，則在D內任意一點，函數有任意階導數，并且在D內下列公式成立（7）（最大模原理）若函數在區域內解析且不為常數，則在內取不到最大值。（8）（柯西不等式）設函數在圓內解析，且，則（9）（Liouville定理）如果整函數在整個平面上是有界的，即滿足不等式，則必定是一個常數。（10）（代數學基本定理）任意一個復系數多項式必有零點，亦即，方程必有根。三.疑難解析1對于復積分來說，其結果一般與積分路徑有關；而對于解析函數來說，其結果與積分路徑無關。如下面雜例中的例3.1與例3.2。2等式成立嗎？答不成立。例如，取，則，而。3證明，并說明這兩個積分的幾何意義。證.幾何意義是曲線弧的內接折線長小于（不超過）相應的弧之長。4.對什么樣的封閉曲線有解的兩個根為，僅當曲線有以下兩種情形時積分才為0。（1）全在的外部，這時由柯西積分定理知其積分為0；（2）全在的內部，則有注請讀者自己驗證另兩種積分不為0的情形。5.下面解題過程是否正確？如果不正確，指出錯誤原因并改正。答錯誤。原因為在應用柯西積分公式時沒有考慮公式的條件是否滿足。柯西積分公式要求其中的函數在的內部處處解析。現在函數為在圓周的內部的處不解析，所以不能應用柯西積分公式來解。正確的解法是四.雜例例3.1計算積分，其中積分路徑為：（1）自原點到1+i的直線段；（2）圓周。解（1）直線段的參數方程為：，即，，，所以；（2）的參數方程為：，所以。例3.2計算下列積分，積分路徑為任意曲線。（1）；（2）。解（1）由于被積函數是一個指數函數，在全平面解析，故積分與路徑無關，所以；（2）由于被積函數是一個多項式函數，在全平面解析，故積分與路徑無關，所以。例3.3下面積分是否正確？為什么？。解不正確。正確積分過程為。例3.4計算積分解積分區域內只有一個不解析點1，應用高階導數的柯西積分公式=。例3.5設n是自然數，證明；。分析觀察兩個積分的特征，可以想到應該應用歐拉公式：。解=令，則當由0變到時，的軌跡是逆時針的圓周，且，故比較等式兩端的實部與虛部，即得證明。思考題1復函數的積分與實函數的曲線積分有什么不同？2