直線與圓的方程專題復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)?題型+技巧教師版

2.1.1直線的傾斜角與斜率

【考點(diǎn)梳理】

考點(diǎn)一直線的傾斜角

1.傾斜角的定義

⑴當(dāng)直線/與％軸相交時(shí)，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正回與直線/向上的方向之間所成的角a

叫做直線/的傾斜角.

⑵當(dāng)直線/與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0。.

2.直線的傾斜角a的取值范圍為（TWa<180。.

考點(diǎn)二：直線的斜率

1.直線的斜率

把一條直線的傾斜角a的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母女表示，即k=tana.

考點(diǎn)三：斜奉公式

V2-VI

1.過兩點(diǎn)Pl（xi，yi）,尸2（X2,丁2）（?Wx2）的直線的斜率公式為k=~二一.

X2X\

2.傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率3即女=1@「。

A

3.直線的一般式At+8y+C=O則A=--

4.直線的方向向量為坐標(biāo)為（x,y）則4=占

x

考點(diǎn)四：斜率與傾斜角的關(guān)系：在第一象限和第二象限，A=tana是增函數(shù)。

【題型歸納】

題型一：直線的傾斜角

1.直線/過原點(diǎn)（0,0）,且不過第三象限，那么/的傾斜角。的取值范圍是（)

A.0°Sz<90°B.90°<a<180°C.90°Sz<180°nga=0°D.90°<?<135°

2.已知直線），=等工的傾斜角為"，則cos2a=（）

A.yB.-yC.yD.

3.直線2.r-），+1=。的傾斜角為8,則一五的值為（）

sin'6^-cos0

325

A.4B.-C.7D.2

433

題型二：直線的斜率

4.經(jīng)過點(diǎn)P（0,T）作直線/,若直線/與連接A（1L2）I（2,I）的線段總有公共點(diǎn)，則直線/的傾斜

角a的取值范圍為（）

A.0效卜45,或135領(lǐng)k180B.45,效卜135°

C.450<6/<135D.。娶b4S或13S：斤<1*0'

5.若直線經(jīng)過兩點(diǎn)42,T〃），8（-且傾斜角為135。，則〃?的值為（）

33

A.2B.-C.1D.——

22

6.下列命題正確的是（）

①直線傾斜角的范圍是［。°』80。）；

②斜率相等的兩條直線的傾斜角一定相等；

③任何一條直線都有斜率，但不一定有傾斜角；

④（壬何一條直線都有傾斜角和斜率.

A.①②B.①@C.①②④D.①②③

題型三：傾斜角和斜率的變化關(guān)系

7.已知直線4,4,4的斜率分別是3Q%,如圖所示，則（）

C.&<%<k?D.%vk、<k?

8.己知直線/經(jīng)過點(diǎn)P(i,1),且與線段MN相交，又M(2,—3),N(—3,—2),

求直線/的斜率k的取值范圍.

9.經(jīng)過點(diǎn)尸(。,-1)作直線/,若直線/與連接A(L-2),"(2,1)的線段總有公共點(diǎn)，則直線/的傾

斜角的取值范圍為()

A.0°<<z<45°?￡135°<^<180°B.45°<tz<135°

C.45°<?<135°D.0°<a<45°n￡l350<?<18()°

題型四：與斜率公式有關(guān)的問題

1().若直線/:盧值-6與直線x+y-3=o的交點(diǎn)位于第二象限，則直線/的傾斜角的取值范圍

是()

11.已知直線人過點(diǎn)A(?l,1)和伏?2,?1),直線/2過點(diǎn)C(l,0)和。(0,a),若兩條直線的斜

率相等，則。的值為()

A.-2B.2

?C--25D-2

12.已知直線/過第一象限的點(diǎn)(〃?,，?)和(1,5),直線/的傾斜角為135。，則，+：的最小值為()

?3

A.4B.9C.D.；

32

答案：

1.C

【詳解】?/直線/過原點(diǎn)(0,0),且不過第三象限，，/的傾斜角。的范圍為a=O"或

90Ka<180°,

故選：C.

2.A【詳解】

解：因?yàn)橹本€產(chǎn)由x的傾斜角為a,所以tana=^.又cos2a=cos2a-sin2a=笆牝曄，

分子分母同時(shí)除以cos?。，得cos2aJTan%,將tana二正代入可得cos2a=(，故選：A.

1+larva27

3.C【詳解】因?yàn)?x-y+l=0的傾斜角為所以tan6=2,

sin2。+cos?。_tan?。+1

所以."=1|>故選：C

sm6^-cos8sin26^-cos2^tan26^-1

4.D【詳解】解：由圖可知，經(jīng)過點(diǎn)P(0,-l)作直線/,當(dāng)直線/過點(diǎn)A時(shí)斜率最小，過點(diǎn)B時(shí)

斜率最大，

因?yàn)槭?0,-1),A(1,-2),B(2,1),所以3=一：—尸)=-1%==^=1,所以

-1<tana<1,

因?yàn)?。$。<180°,所以0效打45,或135”a<180%故選：D

5.B【詳解】由題意，可知直線AB的斜率存在，且L=21W?htanl350,

-m-2

所以-"=7,解得〃?=［故選：B.

tn+22

6.A【詳解】對(duì)于①中，根據(jù)直線傾斜角的定義，可知直線傾斜角的范圍是［0。,180。)，所以

是正確的；

對(duì)于②中，根據(jù)直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，可得&=tana,

當(dāng)年=與時(shí).，可得tana=tan〃，則a=Q,所以是正確的；

對(duì)于③中，由任何一條直線一定有傾斜角，但不都有斜率，所以不正確;

對(duì)于④中，任何一條直線都有傾斜角，但不一定都有斜率，所以不正確.

故選:A.

7.c【詳解】設(shè)直線4,上。的傾斜角分別為aac,

根據(jù)直線的傾斜角概念，可得。<4<%<90°<。3<180,

再由直線的斜率與傾斜角關(guān)系左=tane,可得tanqvtanqvtana,故用故選：C.

8.已知直線/經(jīng)過點(diǎn)P(1,1),且與線段MN相交，又M(2,—3),N(—3,—2),

求直線/的斜率k的取值范圍.

【解析】如圖，直線/相當(dāng)于繞著點(diǎn)P在直線PM與PN間旋轉(zhuǎn),

，是過P點(diǎn)且與x軸垂直的直線.

當(dāng)/從PN位置轉(zhuǎn)到「位置時(shí)，傾斜角增大到9()。，而％吶=(,

又當(dāng)/從/'位置轉(zhuǎn)到PM位置時(shí)，傾斜角大于90。,

3

由正切函數(shù)的性質(zhì)知，k<kpM=—4,k<—4.綜上所述，kG(―—4]U—,+8

4

9.D【詳解】解：設(shè)直線/的傾斜角為。(0°<a<180°),

由圖可知，要使直線/與連接入(1，-2),A(2,l)的線段總有公共點(diǎn)，只要

kp\--kpB，

-2-(-1)^^1-(-1)

所以-------<tana<------,BP-l<tana<l,所以0。Wa445°或

1-02-0

故選：D

二J解得x二警「分

10.D【詳解】聯(lián)立方程組

工+y-3=0Z+1k+\

因?yàn)閮芍本€的交點(diǎn)位于第二象限，可得苧更<0且上正>0,解得AY-1,

設(shè)直線/的傾斜角為。，其中。10,幻，即tanOc-l,解得￡<。<與，

24

即直線/的傾斜角的取值范圍是弓，[).故選：D.

24

H.A【詳解】砥8=：)?\=2,38=%,〃=一2.故選：A.

一1一(一，)0-1

〃一5

12.D【詳解】由題得——-=tan135=-1,m+n=6(m>0,n>0),

m-i

*i、i1411、1“〃4/〃、、1"-Iii4m.3

所以—i—=—(z—i—)(，〃+〃)=—(5^---1----)>—(5+2.------)=—.

inn6inn6mn6Vmn2

當(dāng)?shù)﹥H當(dāng)〃2=2,〃=4時(shí)取等.所以■!■+’的最小值為故選：D

mn2

2.1.2兩條直線平行和垂直的判定

【考點(diǎn)梳理】

考點(diǎn)一：兩條直線(不重合)平行的判定

類型斜率存在斜率不存在

前提條件儀1=儀2工9()°次|=。2=90°

八〃/2。兩直線的斜率都不存

對(duì)應(yīng)關(guān)系l\〃h0k\=ki

在

圖示2j1n

力111

考點(diǎn)二：兩條直線垂直的判定

圖示

v;二二

對(duì)應(yīng)/1_L/2（兩直線的斜率都存在）0包上

/I的斜率不存在,/2的斜率為（）=互”

關(guān)系=一1

考點(diǎn)三：直線4：Ax+q），+C|=0與直線A：=0的位置關(guān)系:

1.平行<=>-4片=o（斜率）且Bc-Bgwo（在），軸上截距）；

2.相交<=>4與一424。0；

3.重合=4&-44=0且環(huán)7-約G=0。

4.垂直=44+4&=0。

提醒：⑴今稿*'去最令啜會(huì)僅是兩直線平行、相交、重合的充分不

必要條件！為什么？（2）在解析幾何中，研究兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，有可能這兩條直線重

合，而在立體兒何中提到的兩條直線都是指不重合的兩條直線；

【題型歸納】

題型一：由斜率判斷兩條直線平行

1.下列直線中，與直線x+2y+l=0平行的是（）

A.2x+y+l=0B.2x+4y+l=0

C.2x-y+l=OD.2x-4y+\=（j

2.設(shè)aeR,則“〃=-2”是“直線4s+2y-l=0與直線:x+（a+l）），-1=0平行”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知直線4：%+少-1=。，12：(。+2K+3)，-3。=0,則、2=7”是“/J%”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

題型二：由斜率判斷兩條直線垂直

4.已知兩條直線小4的斜率是方程3N+皿-3=0(/n￡R)的兩個(gè)根,則八與6的位置關(guān)系

是()

A.平行B.垂直

C.可能重合D.無法確定

5.直線4：5+(a+l)y-l=O,4：(〃+l)x-2y+3=O,則“。=2”是的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知直線4：y=-^-x-\,l2：y-k-x-2,貝『味-2”是“/口4”的()

4

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

題型三：已知直線平行求參數(shù)

7.直線4：X+沖+6=0與小(。一2八+3)，+2。=。平行，則。的值等于().

A.-I或3B.1或3C.3D.-1

8.已知/i：(a?—l)x+oy—1=0,，2：(a—l)x+(〃2+a)y+2=0,若h〃h,則a的值為()

A.0B.1C.。或-2D.0或1或-2

9.若方程(6/-a-2n+(3〃2_5〃+2))，+〃-1=0表示平行于工軸的直線，貝心的值是()

A.|B.C.D.1

3232

題型四：已知直線垂直求參數(shù)

10.若兩條直線4：2x+a)，-l=O與小④+化〃-1))，+3=。相互垂直，則。=()

A.B.0

2

C.或。D.-2或0

11.直線直ax+y-\=G,/2：(a-l)x-2y+l=O,貝」“a=2”是“…”的()條件

A.必要不充分B.充分不必要C.充要D.既不充分也不必要

12.已知直線4："—y+3=o與直線，2關(guān)于直線/：x+yT=o對(duì)稱,直線4與直線4：%+3)，-i=o

垂直，則〃的值為()

A.——B.：C.3D.-3

題型五：直線平行、垂直在幾何中的應(yīng)用

13.已知等腰直角三角形A8C的斜邊所在的直線是版-y+2=0,直角頂點(diǎn)是。(3,-2),則兩條

直角邊AC，8c的方程是()

A.3x-y+5=0,x+2,y-7=0B.2x+y-4=0,x-2y-7=0

C.2x-y+4=0,2x+y-7=0D.3.r-2>'-2=0,2x-y+2=0

14.以A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)為頂點(diǎn)的三角形是

A.以A點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形B.以B點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形

C.銳角三角形D.鈍角三角形

15.兩條直線乎+幻葉。=0和%幻葉。2垂直的充要條件是()

B.（4力）?（生也）=0

C一處=旦

D.他=她

-2

答案：

1.B【詳解】

|7I

對(duì)于A中，可得;=；=；,根據(jù)兩直線的位置關(guān)系，可得兩直線重合，不符合題意;

171

對(duì)于B中，可得;=根據(jù)兩直線的位置關(guān)系，可得兩直線平行，符合題意；

12

對(duì)于C中，可得;，彳，根據(jù)兩直線的位置關(guān)系，可得兩直線相交，不符合題意；

2—1

12

對(duì)于C中，可得!工匕，根據(jù)兩直線的位置關(guān)系，可得兩直線相交，不符合題意；

2.C【詳解】

當(dāng)。=-2時(shí)，<:-2x+2y-l=0,/2:x-y-l=0

兩條直線的斜率都是1,截距不相等，得到兩條直線平行.

當(dāng)乙與4平行時(shí)可得：〃(a+l)-2xl=(),解得〃=-2或〃=l.

若〃=-2時(shí)，由上可得4與《平行

當(dāng)a=l時(shí)，，：x+2y-1=0,4：x+23，-1=0,此時(shí)兩直線重合.所以當(dāng)《與《平行時(shí)，。=-2

故“〃=-2”是“直線/**+2），-1=0與直線/2：X+（。+1力-1=0平行”的充要條件.故選：C

3.C【詳解】解：當(dāng)。=-3時(shí)，/.：A-3y-l=0,即W；/2；r+3y+9=0,

即），=1-3,兩直線的斜率相等，所以即“〃=-3”是的充分條件；

當(dāng)/，〃2時(shí)，a（a+2）=3,解得”=-3或1,當(dāng)。=-3時(shí)，兩直線方程不同，符合題意，

當(dāng)〃=1時(shí)，/1：x+.y-l=0,/2：3x+3y-3=0即x+y-l=0,不符合題意，

所以,當(dāng)“〃2時(shí),…3,即“。=-3”是"〃2”的必要條件，

綜上所述，“。=-3”是“4〃//的充要條件.故選:C.

4.B【詳解】解析由方程3程+/nx—3=0,知/=〃戶-4x3x（—3）=〃，+36〉0恒成立.

故方程有兩相異實(shí)根,即1與〃的斜率心，依均存在.設(shè)兩根為為，刈,則女曲=箝M=一1,

所以/」/2.

故選：B

5.A【詳解】

當(dāng)〃=2時(shí)，直線4：2x+3y-l=O,4：3x-2y+3=0,"-I,所以口上故充分；

當(dāng)乙兒時(shí)，（4+1”-2（。+1）=0,解得。=一1或。=2,故不必要；

所以7=2”是“4皿”的充分不必要條件，故選：A

6.A【詳解】當(dāng)攵=2時(shí)，直線上y=4x-2,因?yàn)椴沸?=-1,所以…，充分性成立，

當(dāng)時(shí)，因?yàn)橹本€4的斜率存在，且不為0,所以卜：卜22=_1,解得&=±2,必要性不成

立，

所以“〃=2”是“4皿”的充分不必要條件.故選：A

7.D【詳解】由題意，直線心x+a），+6=0與小（。-2卜+3y+%=0平行，

可得lx3-a（"2）=0,即片-2L3=0,解得a=T或a=3,

當(dāng)a=T時(shí),直線小x-y+6=0與直3x-3y+2=0,此時(shí)“4；

當(dāng)。=3時(shí)，直線4：x+3y+6=0與弧x+3y+6=0,此時(shí)4與］重合?故選:D.

8.D【詳解】由則（這-1）（標(biāo)+。）一（4-1）。=0,解得a=U或。=1或。=-2，

當(dāng)〃=0時(shí)，/i：x=-\；/2：x=2,兩直線平行；當(dāng)。=1時(shí)，/）：y=1；/2:兩直線平行；

當(dāng)。=-2時(shí)，Zi：3x-2y-l=0;；2；3x-2y-2=0,兩直線平行；故。的值為0或1或-2.故選:

D

9.B【詳解】???直線（6。2-〃一2?+（3〃2-54+2）），+4-1=。與大軸平行

6ci2—a—2=0

，?3/-5I+2HO,解得：〃=-；故選：B.

〃-1/02

10.C【詳解】因?yàn)樨怞2a+a（2a-l）=。（%+1）=0,解得。；或a=0.故選：C.

11.B【詳解】6，6的充要條件是a（aT）-2=0,解得。=2或〃=-1,

所以“。=2”是的充分不必要條件.故選：B.

12.B【詳解】解：直線4與直線上x+3y-l=0垂直，則號(hào)廣勺=-1,即4=3,

???直線4：公7+3=0與直線/?關(guān)于直線/：x+y-l=。對(duì)稱,

2

奴—>+3=0'_43-a、

???由得交點(diǎn)坐標(biāo)

X+y-\=()<a+\a+\?

在直線4上取點(diǎn)（。，3）,設(shè)該點(diǎn)關(guān)于/對(duì)稱的點(diǎn)為尸（M〃），貝IJ,得"7=-2,〃=故

丫乂(—1)二-1

3+。］

然一=3,解得。=),故選：B.

-—+23

4+1

13.B【詳解】因?yàn)锳C,8c所在直線互相垂直，所以其斜率朦?噎=7,經(jīng)檢驗(yàn)A,C,D

故錯(cuò)誤，

而選項(xiàng)B滿足，故選：B

_1_|24-13

14.A【詳解】因?yàn)锳（-1,1）,B2-1）,C（L4）,.小小六:一彳,廉=胃=/

2+151+12

???L?&AC=-1A5_LACNA為直角，故選A.

15.B【詳解】由題,若直線qx+〃J+q=。和出1+/丁+。2=。垂直，貝1」4叼+自仇=（）,故選:B

2.2直線的方程

【考點(diǎn)梳理】

考點(diǎn)一直線的點(diǎn)斜式方程和斜截式方程

類別點(diǎn)斜式斜截式

適用范圍斜率存在

已知條件點(diǎn)P（x。，vo）和斜率k斜率Z和在y軸上的截距〃

圖示4—

方程廠￥0=依一40）y=—+Z?

直線/與），軸交點(diǎn)（0,匕）的縱坐標(biāo)b叫做直線/在V軸

截距

上的截距

考點(diǎn)二：直線的兩點(diǎn)式方程和截距式方程

名稱兩點(diǎn)式截距式

在乂了軸上的截距分別為。，

兩點(diǎn)Pi(x”yi),P2a2,yi)

條件b

(XIr必)"吟眨)

（aWO,/#0）

\l(0.h)

示意圖V一

yKpv

y-y\x-x\

方程i+b=i

y2~y\X2~x\

適用范

斜率存在且不為0斜率存在且不為0,不過原點(diǎn)

圍

考點(diǎn)三直線的一般式方程

關(guān)于x和），的二元一次方程都表示一條直線.我們把關(guān)于％,y的二元一次方程Ax+By+C=

Q（其中A,B不同時(shí)為0）叫做直線的一般式方程,簡稱一般式.

⑴若直線的斜率左存在.直線可表示成）=奴+。，可轉(zhuǎn)化為以十（-1）），+。=0,這是關(guān)于x,

）的二元一次方程.

（2）若直線的斜率左不存在，方程可表示成/一〃=（）,它可以認(rèn)為是關(guān)于達(dá)），的二元一次方

程，此時(shí)方程中y的系數(shù)為0.

考點(diǎn)四直線的五種形式的方程

形式方程局限

點(diǎn)斜式丫一加二依一二）不能表示斜率不存在的直線

斜截式廠丘+Z?不能表示斜率不存在的直線

y—y\x—Xi

兩點(diǎn)式xiW/2,yiW\'2

yiX2-XI

不能表示自坐標(biāo)軸平行及過原點(diǎn)的

截距式a+b=l

直線

一般式4x+8v+C=0無

考點(diǎn)五直線各種形式方程的互化

題型一：與直線點(diǎn)斜式方程有關(guān)的問題

1.與直線），=5工的斜率相等，且過點(diǎn)（一4,3）的直線方程為（）

33

A.y—3=--（x+4）B.y+3=-（A—4）

33

c.y—3=]（x+4）D.），+3=-]（X-4）

2.已知A（3,l）,3（1,-2）,C（l,l）,則過點(diǎn)。且與線段AB垂直的直線方程為（

A.3x+2y-5=OB.3.r-2y-1=0

C.2x-3y+l=0D.2.r+3y-5=0

3.若直線4:2工-3），+4=0與4互相平行，且4過點(diǎn)（2,1）,則直線的方程為（）

A.3x-2y-2=0B.3x-2y+2=0

C.2x-3y-l=OD.2.r-3^+l=0

題型二：與直線的斜截式方程有關(guān)的問題

4.若直線4：工+緲+6=0與kg-2）x+3y+勿=0平行，則直線在），軸上的截距為（)

A.2或彳B.-2或彳C.2D.彳

JJJ

5.兩直線上“與￡-』=〃（其中〃為不為零的常數(shù)）的圖象可能是（）

mnnm

6.直線/過點(diǎn)P（L3）,且與X），軸正半軸圍成的三角形的面積等于6的直線方程是（）

A.3x+y-6=0B,A+3>'-10=0

C.3x-y=oD.x-3y+8=0

題型三：直線的兩點(diǎn)式方程

7.下列說法的正確的是（）

A.經(jīng)過定點(diǎn)七（廝,耳）的直線的方程都可以表示為廣兒=攵（一%）

B.經(jīng)過定點(diǎn)&0力）的直線的方程都可以表示為尸辰+》

C.不經(jīng)過原點(diǎn)的直線的方程都可以表示為二+1=1

ab

D.經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)小公y）、6（天,為）的直線的方程都可以表示

(y-x)(w—x)=(x-—x)

8.經(jīng)過兩點(diǎn)（-1,2）、（-3,-2）的直線的方程是（）

A.x-2y+5=0B.x-2y-5=0

C.2x-y-4=0D.2x_y+4=0

9.光線從4-3,4）點(diǎn)射出，至心軸上的9點(diǎn)后，被工軸反肘到軸上的C點(diǎn)，又被V軸反射，這

時(shí)反射線恰好過點(diǎn)口-1,6）,則BC所在直線的方程是（)

A.5x-2y+7=0B.3x+）：-l=。C.3x-2y+4=0D.2A-V-3=0

題型四：直線的截距式方程

10.一束光線從41,0)點(diǎn)處射到y(tǒng)軸上一點(diǎn)8(0,2)后被y軸反射，則反射光線所在直線的方程

是

A.x+2y-2=OB.2.r-y+2=O

C.x-2y+2=OD.2x+)，-2=0

11.已知直線/過點(diǎn)(L2),且在縱坐標(biāo)軸上的截距為橫2標(biāo)軸上的截距的兩倍，則直線/的方

程為()

A.2A-^=0B.2x+)，-4=0

C.2x-y=0或x+2y_2=0D.2x-y=0或2x+y-4=0

12.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，經(jīng)過點(diǎn)尸(2,3)的直線分別與x軸、y軸的正半軸交于AB兩點(diǎn),

則AOAB面積最小值為()

A.4B.8C.12D.16

題型五：直線的一般方程定點(diǎn)問題

13.不論"為何值,直線(2"-l)x+("?+2)y+5=0恒過定點(diǎn)

A.(-1,-2)B.(l,-2iC.(-1,2)D.(1,2)

14.已知直線人-V+2Z-1=0恒過定點(diǎn)A,點(diǎn)A也在直線蛆+〃)，+2=0上，其中〃?，〃均為正數(shù)，

1?

則一+一的最小值為()

mn

A.2B.4C.8D.6

15.若直線4：y=*(x-4)與直線/2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱，則直線/2過定點(diǎn)()

A.(0,4)B.(0,2)c.(-2,4)D.(4.-2)

題型六：由一般方程判斷直線的平行問題

16.若直線L的方程為2x+(5+m)y=8,匕的方程為(3+m)x+4y=5-3m,若IJ/*則m=()

A.-1或-7B.-IC.-7D.-3

17.若直線文+(1+〃。)」2=0和直線〃?x+2)，+4=0平行，則，"的值為()

9

A.1B.—2C.1或-2D.--

18.“.=3”是“直線4：(〃-1)工+2)，+1=()與直線/2：3工+4-1=0平行”的

A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分也非必要條

件

題型七：由一般方程判斷直線的垂直問題

19.己知直線4：xsina+2y-l=O,直線4：不一打。5。+3=0,1/2,則tan2a=()

A.7B.-4-C.71D.4]

JJJ■>

20."〃?=一2”是“直線("?+1)工+)，+1=0與直線21+("?+4))，+2=0互相垂直”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

21.已知直線4：A"4y+G=。和直線上AA+B2.V+C2=(),下列說明正確的是

A.若4區(qū)-&4=0,則/"AB.若/他，則今4

C.若A4+8向=0,則/D.若貝U於二T

答案：

1.C

2.D【詳解】解：因?yàn)樾?=內(nèi)-7-1=：3,所以與A8垂直的直線的斜率為-彳7，所以過點(diǎn)。且與

1—323

線段A8垂直的直線方程為即21+3)，-5=0,故選：D

*

3.C【詳解】由題意，4的斜率為:，則人的斜率為:，又6過點(diǎn)(2/)，所以4的方程為：

2,

y-l=§(x-2)=>2%-3)，-1=0.故選：C.

4.D【詳解】因?yàn)椤ā?,所以3-〃(。-2)=0且2。一63-2)。0,解得。二一1,所以：3工一3)，+2=0,

即/”尸犬+泉2

7

所以直線4在丁軸上的截距為故選：D

5.B【詳解】直線方程土-』=。可化為y=Kx-%,可得直線的斜率為吊=2,

mnmm

直線方程可化為)，=',”小%可得直線的斜率為&=',

ninnn

由此可知兩直線的斜率為同號(hào)，結(jié)合選項(xiàng)可得，只有選項(xiàng)B適合.故選：B.

3=k+b,,

由題意得&<。，〃>0,且1|,|bA解得,J；

6.A【詳解】設(shè)所求直線方程為:y=無X+6,

=6,^=6.

故），=-3x+6,即3x+y-6=0.故選：A.

7.7【詳解】

A中的方程），表示有斜率的直線，但過定點(diǎn)不一定有斜率，錯(cuò)誤;

B中的方程廣質(zhì)+）表示有斜率的直線，但過定點(diǎn)不一定有斜率，錯(cuò)誤;

C中的方程土+：=1表示橫、縱截距不為0的直線，不過原點(diǎn)但可能垂直坐標(biāo)抽，所以錯(cuò)誤;

ab

D、經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)人西，X），匕伍，K）的直線都可以用方程

（y-y）（w-％）=（工一不乂，2-）】）表示，說法正確.故選：D

8.D【詳解】經(jīng)過兩點(diǎn)（-1,2）、（一3,-2）的直線的方程為轉(zhuǎn)=%，即2x-），+4=0.

-Z—Z-J+I

故選：D.

9.A【詳解】解：根據(jù)題意，做出如圖的光線路徑，則點(diǎn)4-3,4）關(guān)于工軸的對(duì)

稱點(diǎn)八'（-3,-4）,

點(diǎn)以T6）關(guān)于＞軸的對(duì)稱點(diǎn)少（1,6）,則8c所在直線的方程即為從沙直線方程,

由兩點(diǎn)是方程得4Q'直線方程為：冷=罟，整理得：5%-23，+7=。故選：A.

6+41+3

10.B【詳解】

由題得點(diǎn)41.。）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A（-1,0）在反射光線所在的直線上，再根據(jù)點(diǎn)仇。，2）也在反射

光線所在的直線上，由截距式求得反射光線所在直線的方程為1+弓=1，即2X-），-2=。，故

一12

選B.

11.D【詳解】根據(jù)題意，直線/分2種情況討論：

①當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，又由直線經(jīng)過點(diǎn)（】，2）,所求直線方程為），=2%,整理為2x-y=0,

②當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線/的方程為二+；=1,代入點(diǎn)（1,2）的坐標(biāo)得L：=l,修得〃=2,

a2aa2a

此時(shí)直線/的方程為［+4=1,整理為2x+），-4=0.故直線/的方程為2%-），=0或2x+），-4=0.

故選D.

12.C【詳解】解:由題意設(shè)直線方程為二十；=1（。＞0*＞0）,一+1=1.由基本不等式知

abab

23

即就224（當(dāng)且僅當(dāng)，即〃=42=6時(shí)等號(hào)成立）.

ah

又S=Tahzgx24=12答案為C

13.B【詳解】

???(2m-l)x+(〃7+2)y+5=0恒過定點(diǎn)，，(2x+.y)〃?+(-x+2y+5)=0恒過定點(diǎn)，由;:；、；、：。解

得，；即直線(2"I)x+("+2)y+5=0恒過定點(diǎn)(1,-2).

14.B【詳解】已知直線船-)，+2攵-1=0整理得：,，+1=3+2),直線恒過定點(diǎn)A,即A(-2,-l).

點(diǎn)A也在直線蛆+〃y+2=o上，所以2m+〃=2,整理得："1+^=1,

由于〃?，〃均為正數(shù)，貝1」，+2=卜〃+5丫_1+2]=1+9+也+122+25巨=4,

tnnV2)\mn)2/wnv2mn

n=2mf_1

取等號(hào)時(shí)〃即吁5,故選：B.

，〃十——1.

21〃=1

15.B【詳解】

直線4：)，=/-4)恒過定點(diǎn)(4,0),其關(guān)于點(diǎn)(2』)對(duì)稱的點(diǎn)為(0,2),又由于直線4：)，=A(x-4)與直

線，2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱，故直線/2恒過定點(diǎn)(0,2).

16.C【詳解】因?yàn)?/4,故2X4=(5+〃7)(3+"7),整理得到小+8〃?+7=0,

解得tn=-1或,〃=-7.

當(dāng)〃7=-1時(shí)，/,：x+2y-4=0,/2:X+2>'-4=0,兩直線重合，舍；

當(dāng)〃?=-7時(shí)，/,:x->'-4=0,/2:x-3'+y=0,兩直線平行，符合；故〃?=-7,選C.

17.A【詳解】直線1+(1+〃?))，-2=0和直線g+2)，+4=0平行，

可得(c，得〃?=1.故選：A.

m工—2

18.C【詳解】

當(dāng)。=3時(shí)，直線4：2x+2y+l=0,直線/2：3x+3y-l=O.此時(shí)｛=&=-1,兩條直線平行.

當(dāng)1)-6=0nq=3或生=-2,當(dāng)〃=—2時(shí)兩條直線重合，舍棄.因此a=3.所以為

充要條件.故選擇C

19.B【詳解】因?yàn)閔IL,所以sina-2cosa=O,所以lan〃=2.

所以tan2a=J""，=丁_=_].故選:B.

I-tan-a1-43

20.C【詳解】若直線(〃z+l)H+y+l=0與直線2x+(〃z+4))，+2=0互相垂直，

貝IJ2(〃?+l)+("?+4)=。，解得5=-2.

所以，〃=-2”是“直線(〃z+l)x+)，+l=0與直線2X+(〃2+4))，+2=0互相垂直”的充要條件，選C.

21.C【詳解】若隹&=(),則選項(xiàng)B、D都不成立：若4與-44=0,4c2,則直線4、4

是一條直線，故選項(xiàng)A不正確；只有C正確.

2.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式

【考點(diǎn)梳理】

考點(diǎn)一：兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

1.兩直線的交點(diǎn)

已知直線/i：Aix+Biy+Ci—0；【2：42>￥+82丁+。2=0.點(diǎn)&〃，b).

⑴若點(diǎn)A在直線kAIX+8D，+G=0上，則有4〃+8Z?+C=0.

Aia+8iA+Ci=0,

⑵若點(diǎn)A是直線人與，2的交點(diǎn)，則有LA

,十820+。2=0.

2.兩直線的位置關(guān)系

Ai<+8iy+G=0,

方程組L「八的

.Azi+82），+C2=0一組無數(shù)組無解

解

直線人與72的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)一個(gè)無數(shù)個(gè)零個(gè)

直線人與12的位置關(guān)系相交重合平行

考點(diǎn)二：兩點(diǎn)間的距離公式

(1)點(diǎn)P1(x1,y?),P2(X2,yz)間的距離公式1尸1尸2|=、/(以一》1)2+仔2—,于

⑵原點(diǎn)0(0,0)與任一點(diǎn)P(x,)，)的距離|OP尸產(chǎn)亍.

考點(diǎn)三：兩條平行直線間的距離

點(diǎn)到直線的距離兩條平行直線間的距離

夾在兩條平行直線間公垂線段

定義點(diǎn)到直線的垂線段的長度

的長

P(Xn,ya)1

圖示k

*rTv^

點(diǎn)P(AO,yo)到直線/：Ar+兩條平行直線小Ar+8），+G=

公式（或求By+C=0的距離d=0與京Ar+3y+C2=0之間的

法）lAro+Bj'o+CI由加「口一02|

距A氣用了

y[A2+B2

【題型歸納】

題型一：直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

1.直線X-"+6=0和8x+），-18=0與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形的面積為（）

azB”C史D史

A,16,4C，16,8

2.三條直線x=2,A-y-l=0,x+b，=0相交于一點(diǎn)，則上的值為（）

A.—2B.——C.2D.g

3.直線/經(jīng)過直線x-2），+4=0和直線x+y-2=0的交點(diǎn)，且與直線x+3），+5=0垂直，則直線/的

方程為（）

A.3x-y+2=0B.3x+y+2=0

C.x-3y+2=0D.x+3y+2=0

題型二：由直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)

4.已知直線小心-"〃1二0與射線心x-y-2=