導數(shù)專題講座內(nèi)容匯總

目錄

導數(shù)專題一、單調(diào)性問題...........................................................2

導數(shù)專題二、極值問題............................................................38

導數(shù)專題三、最值問題..........................................................52

導數(shù)專題四、零點問題............................................................76

導數(shù)專題五、恒成立問題和存在性問題...........................................118

導數(shù)專題六、漸近線和間斷點問題...............................................168

導數(shù)專題七、特殊值法判定超越函數(shù)的零點問題....................................187

導數(shù)專題八、避免分類討論的參變分離和變換主元..................................198

導數(shù)專題九、公切線解決導數(shù)中零點問題..........................................211

導數(shù)專題十、極值點偏移問題......................................................216

導數(shù)專題十一、構造函數(shù)解決導數(shù)問題.............................................224

導數(shù)專題一、單調(diào)性問題

【知識結構】

單調(diào)性問題

「四、已知函五、兩個函

一、分類討二、已知函三、已知函

數(shù)存在單調(diào)數(shù)在具有相

論求函數(shù)單

數(shù)單調(diào)求參數(shù)不單調(diào)求區(qū)間求參數(shù)同的單調(diào)性

調(diào)性

數(shù)范圍參數(shù)范圍范圍求參數(shù)范圍

【知識點】

一、導函數(shù)代數(shù)意義：利用導函數(shù)的正負來判斷原函數(shù)單調(diào)性；

二、分類討論求函數(shù)單調(diào)性：含參函數(shù)的單調(diào)性問題的求解，難點是如何對參數(shù)進行分類

討論，討論的關鍵在于導函數(shù)的零點和定義域的位置關系.

三、分類討論的思路步驟：

第一步、求函數(shù)的定義域、求導，并求導函數(shù)零點；

第二步、以導函數(shù)的零點存在性進行討論；當導函數(shù)存在多個零點的時，討論他們的大小

關系及與區(qū)間的位置關系（分類討論）；

第三步、畫出導函數(shù)的同號函數(shù)的草圖，從而判斷其導函數(shù)的符號（畫導圖、標正負、截

定義域）；

第四步、（列表）根據(jù)第五步的草圖列出/6）金）隨x變化的情況表，并寫出函數(shù)的

單調(diào)區(qū)間；

第五步、綜合上述討論的情形，完整地寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，寫出極值點，極值與區(qū)間端

點函數(shù)值比較得到函數(shù)的最值.

四、分類討論主要討論參數(shù)的不同取值求出單調(diào)性，主要討論點：

1.最高次項系數(shù)是否為0；

2.導函數(shù)是否有極值點：

3.兩根的大小關系；

4.根與定義域端點討論筆。

五、求解函數(shù)單調(diào)性問題的思路：

（1）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，轉化為/&）>0或/&）<o恒成

立；

（2）已知區(qū)間上不單調(diào)，轉化為導函數(shù)在區(qū)間上存在變號零點，通常利用分離變量法求解

參變量的范圍；

（3）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增或單調(diào)遞減區(qū)間，轉化為導函數(shù)在區(qū)間上大于零或小

于零有解.

六、原函數(shù)單調(diào)性轉化為尋函數(shù)給區(qū)間正負問題的處理方法

（1）參變分離；

（2）導函數(shù)的根與區(qū)間端點直接比較；

(3)導函數(shù)主要部分為一元二次時，轉化為二次函數(shù)根的分布問題這里討論的以一元二次

為主。

七、求解函數(shù)單調(diào)性問題方法提煉：

⑴將函數(shù)fG)單調(diào)增(減)轉化為導函數(shù)廣(外2(?)0恒成立；

⑵/(%)=g(x)//(x),由g(x)>0(或g(x)v。可將廣㈤2(?)0恒成立轉化為

h(x)>(<)0(或h(x)<(>)0)恒成立；

(3)由“分離參數(shù)法”或“分類討論”，解得參數(shù)取值范圍。

【考點分類】

考點一、分類討論求解函數(shù)單調(diào)性;

【例1-1】(2015-2016朝陽一模理18)已知函數(shù)/(#=X+alnx,aeR.

(I)求函數(shù)/㈤的單調(diào)區(qū)間；

(II)當xell,2］時，都有了㈤>0成立，求。的取值范圍；

(III)試問過點P(1,3)可作多少條直線與曲線用切？并說明理由.

【答案】⑴函數(shù)"X)的定義域為工n>。｝.廣⑺=1+a二

XX

(1)當a>。時，汽刈>0恒成立，函數(shù)制在(0,+8)上單調(diào)遞增；

(2)當av°時，令/(力二0,得x=*.

當°<*<a時，/(幻<0,函數(shù)/㈤為減函數(shù)；

f

當*”時，f(x)>0,函數(shù)/㈤為增函數(shù).

綜上所述，當。時，函數(shù)/㈤的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8).

當時，函數(shù)/任)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,■公，單調(diào)遞增區(qū)間為(/,+8).

⑴)由⑴可知，⑴當時，即a>'時，函數(shù)/㈤在區(qū)間L2］上為增函數(shù)，

所以在區(qū)間。，2］上，f(X),=f(1)=1,顯然函數(shù)/㈤在區(qū)間11,2］上恒大于

零；

(2)當?<-a<2時，即-2<aJ時，函數(shù)/㈤在11,-a)上為減函數(shù)，在念,2］

上

為增函數(shù)，所以以x).='—)=-a+am⑸

依題意有心).+a"")〉。，解得0>-e,所以-2<5<-1.

⑶當a,？時，即a時，/Q)在區(qū)間限21上為減函數(shù)，

所以f(才)幽=f(2)=2+aln2.

依題意有&).=2+a，n>°,解得。>-——，笳以-［方<aH.minln2ln2

綜上所述,當〃〉一722Ht,函數(shù)子G)在區(qū)間,上恒大于零?

(皿)設切點為(九，凡+a片X),則切線斜率k=1+一，

000X

0

x

切線方程為y_(+勺1)=(1+_)(.t_A).

00x0

0

因為切線過點~1,3),則3—(x+。Inx)=(1+-)(1一1).

00x0

0

即a(\nx+--1)—2=0............①

Ox

0

令g(x)=a(Inx+----1)—2(A>0),貝"g?x)=a(-------)=一(-----

xxx2x2

⑴當aV0時,在區(qū)間(0,1)上，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

在區(qū)間(1,+s)上,g\x)<0,g。)單調(diào)遞減,

所以函數(shù)g(x)的最大值為g(I)=—2<0.

故方程g(x)=0無解，即不存在x0滿足①式.

因此當a<0時，切線的條數(shù)為0.

⑵當a>0時,在區(qū)間(0,1)上,g'(x)<Otg(x)單調(diào)遞減,

在區(qū)間(1,+功上，g3>o,g(x)單調(diào)遞增,

所以函數(shù)g(/)的最小值為g(l)=—2<0.

21212

則g(x)=〃(I++c-!-?-1)-2=<7eJ-?>

0

故g(x)在(1,+功上存在唯一零點.

._12,2,2—2a—4=t7[e'-2—2(1+

取x=c；<_貝Ig(x)=o(—1+e\—l)—2-)].

2C=aeaa

設t=l+*~(r>1),u[t)=er—2t,則uT(t)=ez—

2.a

當/>1時，〃巧=e/—2>e-2>0恒成立.

所以〃份在(1,+s)單調(diào)遞增，〃⑷>〃(1)=e—2>0恒成立.所以g(力2)>0.

故式如在(0,1)上存在唯一零點.

因此當a>0時，過點H1,3)存在兩條切線.

(3)當。二()時，/U)=x,顯然不存在過點3)的切線

綜上所述，當。>0時，過點尸(1,3)存在兩條切線；

當。<。時，不存在過點尸d,3)的切線.

1x-1

【例1-2](2015-2016海淀一模理18)已知函數(shù)/(x)=hu+--I,g(x)=--

xInx

⑴求函數(shù)叮的最小值；

(II)求函數(shù)g⑶的單調(diào)區(qū)間;

(ni)求證：直線〉='不是曲線y=gR的切線.

【答案】(1)函數(shù)/(X)的定義域為(0,+8),

X—1

X2

當*變化時，f\x),/㈤的變化情況如下表:

X(0,1)1(1,+8)

f(x)0+

f(x)遞減極小值遞增

函數(shù)/(x)在(0,+8)上的極小值為/⑷=lnl+1—1=0,

所以的最小值為0

(H)解：函數(shù)g(x)的定義域為(0,l)U(l,+8),

Inx—(x-1)—Tnx皿

+

1ln2X

g，(x)二雇自二二

由⑴得，.)2°,所以J(x)2°

所以g(所的單調(diào)增區(qū)間是?1),(1,+8),無單調(diào)減區(qū)間.

(ni)證明：假設直線尸X是曲線g(D的切線.

1

Inx+_-1

設切點為以/，則二I,即——o_-J

oooIm*

X—1X—1

0

又)，=T--)，=X,則T0_二X

°lnX°°lnX°

0()

,x—I—1

所以］nx=二|一,得4叩=°,與"叩='矛盾

°XX°0

00

所以假設不成立，直線y二X不是曲線g(x)的切線

【練1T】(2015-2016西城一模理18)己知函數(shù)/(x),且[(l)=e.

(I)求。的值及/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若關于X的方程/(X)=ha-2(k>2)存在兩個不相等的正實數(shù)根X],X2,證明:

xx>ln4

12

【答案】(I)對求導，得f(X)=(1+X)ex-aee,

所以/,(1尸2e-〃=e,解得4=

故/(x)=xe、-ev,=xex.

令#:)=0,得x=O.

當X變化時，/(X)與f(X)的變化情況如下表所示:

X(-8,0)0(0,+8)

NX)0+

/(X)\/

所以函數(shù)/(X)的單調(diào)減區(qū)間為(-8,0),單調(diào)增區(qū)間為(0,+8).

(II)解：方程/(X)=kxz-2,即為(XT)e-履2+2=0,

設函數(shù)g(x)=(X-1函-丘+2.

求導，得g'(x)=xev-2kx-x(ev-2k).

由g\x)-0,解得x=0,或x=ln(2k).

所以當xe(0,+8)變化時，g'(x)與g(x)的變化情況如下表所示:

%(0,ln(2k))In(2k)(ln(2A),+8)

g'(%)0+

g(%)/

切9圖姒,『")仕(U"(2K))畢痢跋械,在(ln(22),+s)上單調(diào)遞增.

由4>2得ln(2k))ln4)1.

備髓懿獲A+2<0,

0.

不妨設/?%2(其中%,%2為小)=/CX2-2的兩個正實數(shù)根),

因為函數(shù)g(x)在(0]n2外單調(diào)遞減.，口雙0尸1>0,g(\)=-k+2<0,

所以0<%1<1.

同理根據(jù)函數(shù)g(%)在(In2太+劃上單調(diào)遞增，且理柩(2助<0,

可得％2>\n(2k)>ln4,

4

“所以1%—%1=%—%>ln4—I=In—,

1221C

即I%—%I*In-.12e

【練1-2](2011-2012石景山一模文18)已知函數(shù)/(%)=%2+2a\n%.

(I)若函數(shù)/(%)的圖象在(2J(2))處的切線斜率為1，求實數(shù)。的值;

(H)求函數(shù)1％)的單調(diào)區(qū)間;

2

(III)若函數(shù)雙％)=-+/'(%)在口,2]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

%

2a2%2+2a【答案】(I)f(%)=2%+

一=.............................................1

%%

由已知嚴)=],解得。=-3.......3分

(II)函數(shù)/%)的定義或為。+S).

⑴當。>0時，"%)>0,/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為((),十⑹；……5分

2(%+、J—a)(%....-a)

⑵當。<0時f(%)=-------------------.

%

、t，../I.**—t.)/、0n/\fI.L士&--T-*

(%)

XJ-a(j?a,+8)

0+

fM\極小值X

由上表可知，函數(shù)戶0）的單調(diào)遞減區(qū)間是（（），j二

a）;

單調(diào)遞增區(qū)間是Q=a+8）.8分

222a

9分

(ii)由g(x)=—'矛2+2.X得g(x)=f2一,

由已知函數(shù)g（x）為［1,2］上的單調(diào)減函

數(shù)，

則g'（x）vO在［1,2］上恒成

立，

即一,X—<U仕LI，"上但成*X

r1d啰f萬

，上怛成

業(yè).11分

x

羯夕18=-X2,在［1,2］上方(x)=-—2_￥=—(+

XX2X2

7

所核43在［1,2］為減函數(shù).方（才）=力⑵=一,.....14分

inin2

【練1-3］（2015-2016朝陽期末文19）已知函數(shù)f（x）=（2hl）lnx+-+2x,keR.

x

⑴當左=1時,求曲線y=/a）在點（1J（1））處的切線方程;

（II）當&=e時，試判斷函數(shù)/（幻是否存在零點，并說明理由；（III）求函數(shù)/（X）

的單調(diào)區(qū)間.

【答案】函數(shù)f（才）的定義域：xe（0,+8）.

2k-1+2_2x2+(2k-1)x-ACX+A)(2Y-1)

f，

XX2X2

(x)=X2

…1(I)當々=1時，八%)=ln%+

一+24％

就㈢運生n_

%2

有/(l)=lnl+1+2=3,即切點(1,3),

k=f(1)=什-+鍬2書=2

12

所以曲線)，="％)在點(1/⑴)處切線方程是y—3=2(%

—1),

(11)若k=c,/(%)=(2c-l)ln%+c+2%.%

(%+e)(2%-l)

f(八

"=——z...

%2

令/(%)=()，得%J=-c

(舍)

1

%0,(2,

1(2)2

/(%)0十

/(%)\極小值/

...11e1

則/(%)=f()=(2c-l)ln+-+2-=2(1-In2ie+In2

+1>0.

min2212