高中數學導數練習題含答案

一、解答題

1.已知函數回

⑴若(3時,田恒成立,求a的取值范圍；

(2)當團團時,方程團有兩個不相等的實數根國求證:0

2.函數團，固

(1)討論函數，(x)的極值點個數；

⑵己知函數團的定義域為胤且團滿足固若團滿足不等式團且團是函數團的極值點,求

團的取值范圍.

3.已知函數瓦0.

⑴若田恒成立,求實數a的取值范圍；

(2)若團,且團，試比較團與團的大小,并說明理由.

4.已知函數胤固

⑴當團時,求函數團在區訶團的最大值和最小值；

⑵當團在團有解,求實數k的取值范圍；

⑶當函數團有兩個極值點團,團,且團時,是否存在實數m,總有團成立,若存在,求出實

數m的取值范圍,若不存在,請說明理由.

5.已知函數團為常數回且函數團的圖象在團處的切線斜率小于回

⑴求實數。的取值范圍；

⑵試判斷團與團的大小,并說明理由.

6.已知函數胤團是其導函數，其中團.

⑴若團在團上單調遞減,求a的取值范圍；

⑵若不等式國對團恒成立,求a的取值范圍.

7.設函數段其中而且&e是自然對數的底數.

⑴設團是函數團的導函數,若國在團上存在零點,求a的取值范圍；

(2)若舊證明:顯

8.已知函數團.

⑴求曲線在點0/(0))處的切線的方程；

⑵若函數團在團處取得極大值,求團的取值范圍；

⑶若函數團存在最小值,直接寫出回的取值范圍.

9.已知函數固

⑴若田在團處取得極值,求回的單調區間；

(2)若函數國有1個零點求a的取值范圍.

10.已知函數團在回處取得極值.

⑴求/(X)的單調區間;

(2)求團在團上的最小值和最大值.

【參考答案】

一、解答題

1.(1)0

⑵證明見解析

【解析】

【分析】

周區設團求導得比分團與團兩類討論，即可求得a的取值范圍；團當團時,方程因有兩

個不相等的實數根團,團,不妨設團,則團,要證團,只需證團,而團,只需證明團再構造函

數,設團通過求導分析即可證得結論成立.

(1)

團區即團

設團,團當團時,0,

團在團上單調遞增,0,滿足條件;

當何時，令團得團,當歷時曾；

當團時,團,團在區間國卜單調遞減，在區間團I-單調遞增，

國區與已知矛盾.

綜上所述,a的取值范圍是團

(2)

證明：當團時，團則團在區間團上單調遞減，

在區間團上單調遞增，由方程?有兩個不相等的實數根比

不妨設團,則團要證團只需證團，

國在區間團上單調遞增，只需證0

又團，團只需證明團,設團，

則團，回在區間團上單調遞增，

團0,即回成立，

回原不等式成立,即回成立.

【點睛】

導數是研究函數的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數是高中數學中重

要的知識點，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數的幾

何意義，往往與解析幾何、微積分相聯系.（2）利用導數求函數的單調區間，判

斷單調性；已知單調性,求參數.（3）利用導數求函數的最值（極值），解決生

活中的優化問題.（4）考查數形結合思想的應用.

2.⑴答案見解析

⑵

【解析】

【分析】

（1）求出團由團知回分離參數得回引入函數段由回的導數確定單調性與極值，可

作出函數的大致圖象,結合圖象分類討論得出零點個數,根據極值定義得極值點

個數；

（2）令團,求導后得團是增函數，不等式團，

整理得同即團由單調性得團的范I韋I,從而得出團的范I韋I,結合極值點的要求得團，然

后由（1）的函數團的性質得團的范圍.

（1）

國則團

函數的極值點為導函數的變號零點，顯然團不是團的解，

當團時,令此

則G"X）='??'.小-2'.e'=J3,

故團的單調

性如表格所

(一00)(0,2)2（2收）

示：

X

G(M>0<0=0>0

G(“單調遞增單調遞減極小值單調遞增

則極小值為團,可得函數團的大致圖象如圖,

故當團時,團有兩個解回（胤在向兩側團的符號相等,在團兩側,團不變號,團有1個極值

點；

當團時,團有三個解國,在這三個解兩側團均變號,團有3個極值點.

（2）

令團,則⑼

因為團滿足團故團

則團,故函數團是一個在定義域上單調遞增的函數；

又回,滿足不等式國

整理得胤即團,結合定義域有團

故團的取值范圍是團,又回是函數值的極值點，即函數回的變號尋點，，團

由（1）知，函數團在區間回上單調遞減,故團.

【點睛】

本題考查用導數確定函數的極值點,研究不等式恒成立問題,解題關系是問題的

轉化,極值點的個數問題轉化為方程的根的個數,再轉化為函數圖象交點個數.不

等式問題通過引入函數,利用函數單調性化簡得出參數范圍，本題屬于困難題，對

學生的邏輯思維能力,運算求解能力要求較高.

3.（1）（21

⑵團，理由見解析

【解析】

【分析】

（1）分離參變量,得到回恒成立，構造函數,將問題轉化為求函數的最值問題；

（2）由（1）可得囿從而判斷回的單調性，確定囿再通過構造函數,利用導數判斷

其單調性,最終推出回；再次構造函數囿判斷其單調性，由此推出團可得結論.

⑴

團恒成立，即向恒成立，

令團同

當團時,團,函數團遞減；

當團時,團,函數團遞增，

故〃(X)min=〃⑴=。，

所以心0.

(2)

g'(x)=12x2-\2x-\2xInA=12x(x-1-Inx),

由(1)知團,所以在回上回,

所以由在團上單調遞增，旦因所以國

設團,0,

設團,則團,團,0,

所以團在回上單調遞增,且回

所以回在回上單調遞減,在回上單調遞增，

令團0,

令回,13,回,回，

所以團在團上單調遞增,所以比

所以團在回上單調遞增,所以同

所以回0,

而團在回上單調遞增,所以回，回；

設胤0,

所以田單調遞減,且胤胤胤

所以胤即13,即13,

為一為x+x.,

所以2——L<1

Inx2-In芭2

所以團即回.

所以/(%)</(內).

【點睛】

本題考查了利用導數解決不等式恒成立時求參數范圍問題以及利用導數比較函

數值大小問題,綜合性較強,難度較大,解答的關鍵是要合理地構造函數,利用導

數判斷函數單調性以及確定極值或最值，其中要注意解答問題的思路要清晰明確.

4.(1)最大值為團,最小值為團；

⑶S叫.

【解析】

【分析】

（1）求得團，利用導數研究函數在區間上的單調性，再利用單調性求其最值即

可；

（2）分離參數并構造函數團,求其在區間上的值域即可求得參數的范圍；

（3）根據團是團的極值點,求得團的等量關系以及取值范圍,等價轉化目標不等式,

且構造函數同對參數進行分類討論,利用導數研究其值域,即可求得參數范圍.

⑴

當團時,回覆,令幽,解得回

當團時，團單調遞減，當田時，團單調遞增；

又團,且回

故團在團上的最大值為⑼最小值為固

⑵

令曲,因為囿則胤故團，

令團,則00,

故當⑼團單調遞減，當團，團單調遞增，

又團,且周

故團的值域為團,則要滿足題意，只需團

即團的取值范圍為:0.

⑶

因為⑼mt

因為國有兩個極值點助故可得嘰

也即回且團.

因為3回故團，

則團,即回

因為團，故上式等價于團,即3

又當團時,團當團時聞

令團,則00,

當回時，團團，故團在團單調遞增，又團，

故當團時,團當團時，同故不滿足題意；

當團時,令團,

若方程團對應的田時，即⑦時,00,田單調遞減，

又國故當團時,瓦當即寸曾,滿足題意；

若同即團時，又團的對稱卻1號且開口向下，

又以不妨取團，

故當團00,回單調遞增，乂團

故此時同不滿足題意,舍去；

綜上所述:團的取值范圍為團.

【點睛】

本題考察利用導數研究函數值域，有解問題，以及利用導數處理恒成立問題；其

中第三問中，合理的處理團以及團多變量問題，以及構造函數,是解決本題的關鍵，

屬綜合困難題.

5.(1)0

⑵答案見解析

【解析】

【分析】

(1)求導后根據題意解不等式

(2)化為相同形式，構造函數根據單調性判斷

(1)

由胤且函數團在團處的切線斜率小于0

知團,解得團

故Q的取值范圍為。，用)

⑵

由⑴可知(a-l)lne與(c-l)lna均為正數.

要比較國與團的大小,可轉化為比較團與團的大小.

構造函數團則以再設團則團

從而由在團上單調遞減,此時段

故團在田上恒成立,則團在團上單調遞減.

綜上可得，

當團時,0

當團時,0

當團時,團

6.(1)0

⑵ST

【解析】

【分析】

(1)求出導函數團，根據團在團上單調遞減,可得團在團上恒成立,分類參數可得國在團

上恒成立,令國利用導數求出函數團的最大值即可得解；

(2)將已知不等式轉叱為團對田恒成立,令此在對⑦分類討論,求出團的最大值小于

等于0,即可求出答案.

⑴

解：r(x)=e'+J

因為回在團上單調遞減，

所以回在團上恒成立，

即團在團上恒成立，

令g(x)=Te',(x<0),

則g'(x)二-cJe'=-(x+l)e',

當回時,0,當回時,回，

所以函數回在向上遞增,在向上遞減，

所以g(xL?=g(T)d，

所以a的取值范圍為:，*°)：

⑵

解：由團得團，

即囹對回恒成立,

令/?(x)=aln(-x)-@+l,(x〈0),

〃(“=(+/="：；D,(x<0),

當團時,團,不滿足團；

當團時,團時,0,團時,回

所以函數團在回上遞減,在回上遞增，

所以團不符合題意；

當團時,歷時,回回時,回

所以函數團在回上遞增,在向上遞減，

所以回解得外

綜上所述,a的取值范圍固

【點睛】

本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和最值,考查了不等式恒成立問題,

考查了轉化思想和分類討論思想，考查了學生的計算能力.

7.(1)0；

⑵證明見解析.

【解析】

【分析】

(1)求出函數團的導數，由團分離參數并構造函數，求解其值域作答.

(2)將不等式等價轉化，構造兩個函數，并分別探討它們的最大、最小值即可推

理作答.

⑴

依題意，團,由團得:團，

令囿&則胤即團在團上單調遞增，

當團時,回即回

由團在團上存在零點,則方程團在團上有根,因此有同解得國

所以a的取值范圍是:團.

(2)

函數出的定義域為國當團時，回

令囿同求導得:0,當團時,團,當團時,0,

即函數團在團上單調遞減,在團上單調遞增，當團時，0.

令團,0,求導得:0,當團時,團,當團時,團

即函數團在團上單調遞增,在團上單調遞減，當團時，0.

因此團,團而團的最大值與團的最小值不同時取得，

即上述不等式中不能同時取等號,于是得：0,團成立,即團成立，

所以/“)<0.

【點睛】

思路點睛：證明不等式常需構造輔助函數，將不等式證明轉化為利用導數研究函

數的單調性、求最值等解決.

8.(1)0

⑵T)

⑶■

【解析】

【分析】

(1)先求導后求出切線的斜率團，然后求出直線上該點的坐標即可寫出直線方

程；

(2)根據函數的單調性和最值分類討論；

(3)分情況討論，根據函數的單調性和極限求解.

⑴

解：由題意得：

f(x)=e'(ax2-x+\+2ax-\)=ex(ax2+lax-x)

/(0)=0,/(0)=l

故曲線y=fM在點(0,/(O))處的切線的方程y=1.

(2)

由(1)得要使得團在團處取得極大值,團在團時應該區團在團時應該回

,/f(x)=xe\ax+2a-\)

故①團且瓦解得團

②團且用解得團

當團時，回滿足題意；

當團時，團不滿足題意；

綜上:團的取值范圍為例.

(3)

可以分三種情況討論:?0②團③團

若團,團在團上單調遞減,在團單調i弟增,在團上單調遞減,無最小俏：

若歷時，當團時,團趨向團時,團趨向于0；當團,要使函數取得存在最小值比解得周故

國處取得最小值，故國的取值范圍團

若團時,團在團趨向團時,團趨向于0,又回故無最小值；

綜上所述函數團存在最小值，團的取值范圍國.

9.(1)單調減區間為段單調增區間為團

(2)〃<0或a=2e

【解析】

【分析】

(1)求導，因為函數團再回處取得極值,所以團(1)團解得團,進而可得函數團的解

析式,再求導,分析函數國的單調性.

(2)分類討論,利用導數判斷函數的單調性，根據函數的零點個數,確定函數的

最值情況,從而求得答案.

(1)

/(A)=axlnA—2x,(x>0),

fr(x)=alnx+a-2,

因為函數用在團處取得極值，

所以-1)=吊1+"2=0,

所以a=2,

所以團團

故當團時，所以團函數單調遞減，

當團時，外函數單調遞增，

所以函數團在團處取得極小值,所以實數團的值為2,

函數的單調減區間為，單調增區間為.

⑵

當團時,因而即此時函數無零點,不合題意；

當團時，團團，

函數團單調遞減，

作出函數團的大致圖象如圖：

此時在團的圖象在團內有一個交點，即團在團有一個零點;

當但時,0,

當團時,0,函數團遞增,

當國時，回函數團遞減，

故，?（.％=做島=。皿祗-電）2，

作出函數力"）=alnx-V的大致圖象如圖

此時要使函數團有1個零點,需使得國

即固解得團，

綜合上述,可知求a的取值范圍為團或團.

【點睛】

本題考查了利用導數求函數的單調區間以及