高中文科綜合數學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若函數$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$時取得極值，則必有（）

A.$a=0$，$b\neq0$，$c\neq0$

B.$b^2=4ac$

C.$a\neq0$，$b^2\neq4ac$

D.$a=0$，$b=0$，$c\neq0$

2.若$a>0$，$b>0$，$c>0$，且$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=3$，則$a+b+c$的最小值為（）

A.6

B.4

C.3

D.2

3.設$\alpha$是銳角，若$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$，則$\sin2\alpha$的值為（）

A.$\frac{1}{2}$

B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

C.$\frac{1}{\sqrt{2}}$

D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

4.下列不等式中正確的是（）

A.$2^3>3^2$

B.$\frac{1}{2}<\frac{1}{3}$

C.$\sqrt{2}<\sqrt{3}$

D.$\frac{1}{\sqrt{2}}>\frac{1}{\sqrt{3}}$

5.下列各式中，能表示圓的一般方程的是（）

A.$x^2+y^2=r^2$

B.$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$（$D^2+E^2-4F>0$）

C.$x^2+y^2=1$

D.$x^2+y^2=r$

6.設函數$f(x)=x^3-3x+2$，若$f(x)=0$的兩根之和為（）

A.$-2$

B.$2$

C.$1$

D.$-1$

7.下列各數中，有最小值的是（）

A.$a+\frac{1}{a}$（$a>0$）

B.$\sqrt{a^2+1}$（$a>0$）

C.$a^2+1$（$a>0$）

D.$\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}$（$a>0$）

8.若$\triangleABC$的邊長分別為$3$，$4$，$5$，則$\triangleABC$的面積是（）

A.$6$

B.$8$

C.$10$

D.$12$

9.設$\log_{\frac{1}{2}}(a+1)+\log_{\frac{1}{2}}(a+2)=1$，則$a$的取值范圍是（）

A.$a>0$

B.$0<a<2$

C.$-1<a<2$

D.$-1\leqa<0$或$0<a\leq2$

10.下列各式中，能表示等差數列的是（）

A.$a_n=a_1+(n-1)d$

B.$a_n=a_1+(n-1)(d_1-d_2)$

C.$a_n=a_1+(n-1)d+(n-2)d_2$

D.$a_n=a_1+(n-1)(d_1+d_2)$

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數中，哪些是奇函數？（）

A.$f(x)=x^3$

B.$f(x)=\sinx$

C.$f(x)=\cosx$

D.$f(x)=e^x$

2.下列各數中，哪些屬于有理數？（）

A.$\sqrt{4}$

B.$\frac{1}{3}$

C.$\pi$

D.$-2.5$

3.下列各式中，哪些是分式方程？（）

A.$2x+3=5$

B.$\frac{2}{x}+3=5$

C.$x^2-4=0$

D.$\frac{x^2}{x-1}=2$

4.下列各數中，哪些是等差數列的通項公式？（）

A.$a_n=2n+1$

B.$a_n=3n-2$

C.$a_n=n^2+1$

D.$a_n=\frac{n(n+1)}{2}$

5.下列各幾何圖形中，哪些是正多邊形？（）

A.正方形

B.正三角形

C.正五邊形

D.長方形

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若等差數列$\{a_n\}$的公差為$d$，且$a_1+a_2+a_3=9$，$a_4+a_5+a_6=21$，則$d=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_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四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算下列三角函數的值：

（1）若$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，且$\cos\alpha>0$，求$\tan\alpha$；

（2）若$\cos\beta=-\frac{4}{5}$，且$\sin\beta<0$，求$\tan\beta$；

（3）若$\sin\alpha=\frac{1}{2}$，求$\cos2\alpha$和$\sin2\alpha$。

2.解下列方程組：

$$\begin{cases}

2x+3y=7\\

4x-y=5

\end{cases}$$

3.求下列函數的極值：

$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$

4.已知等差數列$\{a_n\}$的首項$a_1=2$，公差$d=3$，求：

（1）前10項的和$S_{10}$；

（2）第10項$a_{10}$；

（3）第n項$a_n$。

5.求下列不等式的解集：

$2x-3<x+5$

本專業課理論基礎試卷答案及知識點總結如下：

一、選擇題答案及知識點詳解：

1.C.$a\neq0$，$b^2\neq4ac$

知識點：二次函數的極值條件，當$a\neq0$時，$b^2\neq4ac$時，函數$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$時取得極值。

2.B.4

知識點：均值不等式，當$a>0$，$b>0$，$c>0$時，$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq3$，等號成立當且僅當$a=b=c$。

3.A.$\frac{1}{2}$

知識點：三角函數的和差化積公式，$\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{2}\sin(\alpha+\frac{\pi}{4})$，所以$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=\sin(\alpha+\frac{\pi}{4})\cos(\alpha+\frac{\pi}{4})=\frac{1}{2}$。

4.C.$\sqrt{2}<\sqrt{3}$

知識點：實數的大小比較，由于$\sqrt{2}\approx1.414$，$\sqrt{3}\approx1.732$，所以$\sqrt{2}<\sqrt{3}$。

5.B.$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$（$D^2+E^2-4F>0$）

知識點：圓的一般方程，當$D^2+E^2-4F>0$時，方程$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$表示圓。

6.A.$-2$

知識點：二次方程的根與系數的關系，設$f(x)=x^3-3x+2$的兩根為$x_1$，$x_2$，則$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-3}{1}=3$。

7.B.$\sqrt{a^2+1}$（$a>0$）

知識點：實數的最小值，由于$a>0$，所以$a^2+1>a$，因此$\sqrt{a^2+1}$是$a$的最小值。

8.B.8

知識點：三角形的面積公式，$\triangleABC$的面積$S=\frac{1}{2}\times3\times4\times\sin\angleA=\frac{1}{2}\times3\times4\times\sin90^\circ=8$。

9.C.$-1<a<2$

知識點：對數方程的解法，$\log_{\frac{1}{2}}(a+1)+\log_{\frac{1}{2}}(a+2)=1$可以轉化為$\log_{\frac{1}{2}}[(a+1)(a+2)]=1$，解得$a$的取值范圍。

10.A.$a_n=2n+1$

知識點：等差數列的通項公式，等差數列的通項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$為首項，$d$為公差。

二、多項選擇題答案及知識點詳解：

1.AB

知識點：奇函數的定義，奇函數滿足$f(-x)=-f(x)$。

2.BD

知識點：有理數的定義，有理數是可以表示為兩個整數之比的數。

3.BD

知識點：分式方程的定義，分式方程是含有分式的方程。

4.AD

知識點：等差數列的通項公式，等差數列的通項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$。

5.ABC

知識點：正多邊形的定義，正多邊形是所有邊和所有角都相等的多邊形。

三、填空題答案及知識點詳解：

1.$d=4$

知識點：等差數列的性質，由等差數列的性質可得$3a_1+3d=9$，$3a_1+9d=21$，解得$d=4$。

2.$a=1$

知識點：一元二次方程的解法，將方程$\frac{2}{x}+3=5$轉化為$x$的一元二次方程，解得$x=1$。

3.$a_1=2$

知識點：等差數列的性質，由等差