試題試題2024北京清華附中初三10月月考數學（清華附中初22級）一、選擇題（本題共24分，每小題3分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1.下面四個標志中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.2.用配方法解方程，變形后結果正確的是（）A. B. C. D.3.如果兩個相似三角形的面積之比為，那么這兩個三角形的周長之比為（）A. B. C. D.4.在平面直角坐標系中，將拋物線先向右平移4個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到的拋物線是（）A. B. C. D.5.如果，是正比例函數的圖象上的兩點，且．那么符合題意的的值可能是()A. B.1 C.3 D.6.如圖，在菱形中，，對角線交于點O，E為的中點，連接，則的度數為（）A. B. C. D.7.已知時，二次函數的圖象如下列四個圖之一所示．根據圖分析，a的值等于（）A. B. C.1 D.28.如圖，在中，，D、E是斜邊上兩點，將繞點A順時針旋轉90°，得到，連接，若，下列結論：①；②；③；④．其中正確的是（）A.①②③ B.②③④ C.①② D.①②④二、填空題（本題共24分，每小題3分）9.在平面直角坐標系中，點關于原點對稱的點的坐標是______．10.二次函數的最大值是______．11.如圖，中，延長至，使得．若，則的長為_______．12.2022至2024年，某城市居民人均可支配年收入由6.58萬元增長至7.96萬元．設人均可支配年收入的平均增長率為x，根據題意列出方程得____________________．13.已知點，在一次函數的圖象上，且，則的值可以是______．（寫出一個即可）．14.如圖，在矩形中，對角線與相交于點O，過點O作，垂足為E，若，則的長為______．15.如圖，小明同學用自制的直角三角形紙板測量樹的高度，他調整自己的位置，設法使斜邊保持水平，并且邊與點在同一直線上.已知紙板的兩條直角邊，，測得邊離地面的高度，，則樹高是______．16.某酒店在客人退房后清潔客房需打掃衛生、整理床鋪、更換客用物品、檢查設備共四個步驟．某清潔小組有甲、乙、丙三名工作人員，工作要求如下：①“打掃衛生”只能由甲完成；每間客房“打掃衛生”完成后，才能進行該客房的其他三個步驟，這三個步驟可由任意工作人員完成并可同時進行；②一個步驟只能由一名工作人員完成，此步驟完成后該工作人員才能進行其他步驟；③每個步驟所需時間如表所示：步驟打掃衛生整理床鋪更換客用物品檢查設備所需時間/分鐘10865在不考慮其他因素的前提下，若由甲單獨完成一間客房的清潔工作，需要_________分鐘；若由甲、乙、丙合作完成四間客房的清潔工作，則最少需要_________分鐘．三、解答題（本題共72分，其中17、18、19、21、22、23題每小題5分，20、26題每小題6分，25、26題每小題7分，27、28題每小題8分）17.解方程：．18.如圖，已知△ABC頂點的坐標分別為A（1，－1），B（4，－1），C（3，－4）．（1）將△ABC繞點A逆時針旋轉90°后，得到△AB1C1．在所給的直角坐標系中畫出旋轉后的,并寫出點的坐標：；（2）以坐標原點O為位似中心，在第二象限內再畫一個放大的，使得它與△ABC的位似比等于2：1.19.二次函數（a，b，c是常數，）的自變量x與函數值y的部分對應值如下表：x…01……44m…根據以上列表，回答下列問題：（1）直接寫出c，m的值；（2）求此二次函數的解析式．20.已知關于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2=0．（1）求證：無論實數m取何值，方程總有兩個實數根；（2）若方程兩個根均為正整數，求負整數m的值．21.如圖，矩形中，點為邊上任意一點，連接，點為的中點，過點作，與、分別相交于點、，連接、．（1）求證：四邊形為菱形；（2）若，，當時，求的長．22.如圖，某班級門口有一塊長為20厘米、寬為15厘米的小型長方形優秀事跡展板，展板上粘貼上下左右對齊兩排的6個長方形且面積都為18平方厘米的班級學生主要事跡貼紙，若要求學生的主要事跡貼紙之間以及到上下左右的寬度都相等（設為x厘米），如圖所示，求寬度x．23.某高校要選派一位同學去參加首都高校校園文化演講，為了選出綜合素質最高的一名同學進行演講，先對所有報名的同學進行了筆試，再對筆試90分以上（含90分）的同學進行面試．小強、小亮、小旭三位同學脫穎而出，他們的筆試成績（滿分100）分別是98，94，90．之后組織了十位評委對小強、小亮、小旭三位同學面試表現進行打分，每位評委最高打10分，面試成績等于各位評委打分之和．之后對這三位同學的面試的數據進行整理、描述和分析，下面給出了部分信息．a．評委給小強同學打分如下：10，10，9，8，8，8，7，7，6，6b．評委給小亮、小旭兩位同學打分的折線圖如下圖：c．小強、小亮、小旭三位同學面試情況統計表：同學評委打分中位數面試成績小強8m小亮n85小旭8.587根據以上信息，回答下列問題：（1）直接寫出表中m，n的值；（2）在面試中，如果評委給某個同學的打分的方差越小，則認為評委對該同學面試的評價越一致．據此推斷：小強、小亮、小旭三位同學中，評委對_________的評價更一致（填“小強”、“小亮”或“小旭”）；（3）在筆試和面試兩項成績中，按筆試成績占40%，面試成績占60%，計算小強、小亮、小旭的綜合成績，綜合成績最高的是_________（填“小強”、“小亮”或“小旭”）．24.如圖，在中，，點D為中點，作點D關于線段的對稱點F，連接交于E，過點F作交、于H、G．（1）求證：；（2）若，，求的長．25.“夏至”是二十四節氣的第十個節氣，《烙遵憲度》中解釋道：“日北至，日長之至，日影短至，故曰夏至，至者，極也．”夏至入節的時間為每年公歷的6月21日或6月22日．某小組通過學習、查找文獻，得到了夏至日正午中午12時，在北半球不同緯度的地方，高的物體的影長和緯度的相關數據，記緯度為x（單位：度），影長為y（單位：），x與y的部分數據如下表：x05152535455565y0（1）通過分析上表數據，發現可以用函數刻畫緯度x和影長y之間的關系，在平面直角坐標系中，畫出此函數的圖象；（2）北京地區位于大約北緯40度，在夏至日正午，高的物體的影長約為______（精確到）；（3）小紅與小明是好朋友，他們生活在北半球不同緯度的地區，在夏至日正午，他們測量了高的物體的影長均為，那么他們生活的地區緯度差約是______度．26.在平面直角坐標系中，拋物線經過點，（1）求a的值；（2）己知點，在此拋物線上，當時，比較，，的大小，并說明理由．27.如圖，在中，，，P為線段上的動點（不與點C重合），將線段繞點A順時針旋轉得到線段．（1）如圖1，當P是中點時，連接，求證：；（2）過點Q作直線，交直線于點M，在射線上取一點N，使得，連接．請補全圖2，直接寫出的大小并證明．28.在平面直角坐標系中，Q是x軸正半軸上一點，對于四邊形邊上的點P和圖形W（點P不在x軸上），給出如下定義：若，將圖形W繞點P逆時針旋轉得到圖形M，則稱圖形M是圖形和點P的“關聯圖”．如圖，點，，，．（1）點，，，中，在四邊形和點的“關聯圖”上的點是__________；（2）已知點，．①若線段關于點P的“關聯圖”在四邊形的內部（包含邊界），設點P的橫坐標的最小值為m，縱坐標的最大值為n，直接寫出的值__________；②當關于點P的“關聯圖”和都在四邊形的內部（包含邊界）時，銳角的最大值是，請直接寫出t的取值范圍__________．

參考答案一、選擇題（本題共24分，每小題3分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1.【答案】D【分析】本題考查了軸對稱、中心對稱圖形的定義，掌握相關定義是解題的關鍵．“如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸”，據此找出圖中的軸對稱圖形；“

把一個圖形繞某一點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心”，據此找出圖中的中心對稱圖形即可解答題目．【詳解】A、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，不符合題意；B、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意；C、不是中心對稱圖形，但是軸對稱圖形，不符合題意；D、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，符合題意．故選：D．2.【答案】A【分析】將常數項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數一半的平方配成完全平方式，即可得出答案．【詳解】解：即，∴，∴，故選：A．【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵．3.【答案】D【分析】本題考查了相似三角形的性質，直接根據相似三角形的性質即可得出答案，熟練掌握相似三角形的面積的比等于相似比的平方是解此題的關鍵．【詳解】解：∵兩個相似三角形的面積之比為，∴兩個相似三角形的相似比為，∵相似三角形的周長比等于相似比，∴這兩個三角形的周長之比為，故選：D．4.【答案】D【分析】本題主要考查了二次函數圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規律：左加右減，上加下減，并用規律求函數解析式．【詳解】將拋物線先向右平移4個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到的拋物線是．故選：D．5.【答案】D【分析】本題考查了正比例函數的性質，由時，，根據正比例函數的增減性，得到，即可得到答案．【詳解】解：∵，是正比例函數的圖象上的兩點，且．∴，故選：D．6.【答案】C【分析】本題考查了菱形的性質，三角形中位線定理．由菱形的性質求得，，根據三角形中位線定理得到，求得，據此求解即可．【詳解】解：∵在菱形中，，∴，，O為的中點，∵E為的中點，∴是的中位線，∴，∴，∴，故選：C．7.【答案】B【分析】本題難度中等，考查根據二次函數的圖象確定二次函數的字母系數的取值范圍，先根據所給條件和圖象特征，判斷出正確圖形，再根據圖形特征求出的值．【詳解】解：因為前兩個圖象的對稱軸是軸，所以，又因為，所以，與矛盾；第三個圖的對稱軸，，則，與矛盾；故第四個圖正確．由于第四個圖過原點，所以將代入解析式，得：，解得，由于開口向下，．故選：B．8.【答案】D【分析】先求出，再根據旋轉和全等的性質得到，即可判斷①；，，即可判斷②；根據旋轉和全等三角形的性質得到，，再根據三角形三邊關系即可判斷③；證明，在中，利用勾股定理和等量代換即可判斷④．【詳解】解：在中，，∴，∵將繞點A順時針旋轉90°，得到，∴，∵，∴，故①正確；∵，∴，又∵，∴，故②正確；∵將繞點A順時針旋轉90°，得到，∴，∵，∴，在中，，∴，故結論③錯誤；∵將繞點A順時針旋轉90°，得到，∴，，∴，∴在中，，∴，故結論④正確，綜上可知，正確的是①②④，故選：D【點睛】此題考查了旋轉的性質、全等三角形的性質、相似三角形的判定、勾股定理、三角形三邊關系、等腰三角形的性質等知識，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵．二、填空題（本題共24分，每小題3分）9.【答案】3,?4【分析】本題考查求關于原點對稱的點的坐標，根據點關于原點對稱的點的坐標為求解即可．【詳解】解：在平面直角坐標系中，點關于原點對稱的點的坐標是，故答案為：．10.【答案】【分析】先求出對稱軸，再求出最大值即可．【詳解】∵∴二次函數開口向下，在頂點處有最大值，∵二次函數對稱軸為直線，∴當時，，即最大值為：，故答案為：．【點睛】本題考查二次函數的性質和最值，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質解答．11.【答案】【分析】本題考查了平行四邊形的性質，相似三角形的判定和性質，根據平行四邊形的性質和相似三角形的判定和性質定理即可得到結論．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，故答案為：．12.【答案】【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，根據“2022至2024年，某城市居民人均可支配年收入由6.58萬元增長至7.96萬元”列方程求解．【詳解】解：由題意得：，故答案為：．13.【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查了一次函數的性質，由時，，得隨的增大而增大，則，然后取值即可，根據正確掌握一次函數的增減性是解題的關鍵．【詳解】解：∵點，在一次函數的圖象上，∴當時，，∴隨的增大而增大，∴，∴取，故答案為：（答案不唯一）．14.【答案】3【分析】首先根據矩形的性質得到，然后利用等腰三角形三線合一性質得到，然后證明出是的中位線，進而求解即可．【詳解】∵四邊形是矩形∴∵∴∵∴是的中位線∴．故答案為：3．【點睛】此題考查了矩形的性質，等腰三角形三線合一性質，三角形中位線的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．15.【答案】【分析】根據相似三角形的判定及性質可得（），進而可求解．【詳解】解：，且，，，即：，解得：（），（），樹高是，故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定及性質，熟練掌握其判定及性質是解題的關鍵．16.【答案】①.29②.48【分析】本題主要考查統計的知識，理解題意是解題的關鍵；在不考慮其他因素的前提下，若甲單獨完成一間客房的清潔工作，所需時間為四個步驟所需時間的和，若由甲、乙、丙合作完成四間客房的清潔工作，所需時間為“打掃衛生”和“整理床鋪”2個步驟所需時間的和．【詳解】解：在不考慮其他因素的前提下，若甲單獨完成一間客房的清潔工作，所需時間為（分）；若由甲、乙、丙合作完成四間客房的清潔工作，甲完成四間客房“打掃衛生”需40分鐘，甲完成一間客房“打掃衛生”需10分鐘，隨后乙、丙進行其他三個步驟，可完成四間客房整理床鋪、更換客用物品的工作，其中一人完成四間客房整理床鋪需32分鐘，可再完成兩間客房檢查設備的工作，一人完成四間客房更換客用物品需24分鐘，也可再完成兩間客房檢查設備的工作，所以若由甲、乙、丙合作完成四間客房的清潔工作，則最少需要（分）；故答案為29；48．三、解答題（本題共72分，其中17、18、19、21、22、23題每小題5分，20、26題每小題6分，25、26題每小題7分，27、28題每小題8分）17.【答案】，【詳解】首先找出方程中得a、b、c，再根據公式法求出b2﹣4ac的值，計算x=，即可得到答案．∵a=1，b=－5，c=2∴代入求根公式得，∴，“點睛”當一元二次方程方程ax2+bx+c=0（a≠0，且a，b，c都是常數）的二次項的系數不為1或是無理數時，優先考慮公式法.18.【答案】（1）作圖見解析；B（1，2）；（2）作圖見解析.【詳解】分析：（1）由題意得，將△ABC繞點A逆時針旋轉90°后，得到△AB1C1．則AB1⊥AB，AC1⊥AC，畫出圖形寫出坐標．（2）根據以坐標原點O為位似中心，在第二象限內再畫一個放大的△A2B2C2，可以得出A1，B1，C1的坐標擴大2倍，且橫縱坐標改變符號，得出即可．詳解：（1）如圖：B1（1，2），（2）如圖點睛：此題主要考查了圖形的旋轉與位似，利用位似圖形的性質得出A1，B1，C1的坐標是解決問題的關鍵．19.【答案】（1），；（2）或【分析】（1）根據表格中對應值可知對稱軸的值和拋物線與y軸的交點，即可求得c的值，根據拋物線的對稱性即可求得m的值；（2）直接利用待定系數法求出二次函數解析式即可．【詳解】解：（1）根據圖表可知：二次函數y=ax2+bx+c的圖象過點（0，4），（-2，4），∴對稱軸為直線，c=4，∵（-3，）的對稱點為（1，），∴m=；（2）∵對稱軸是直線x=-1，∴頂點為（-1，），設y=a（x+1）2+，將（0，4）代入y=a（x+1）2+得，a+=4，解得a=-，∴這個二次函數的解析式為y=-（x+1）2+．【點睛】本題考查的是二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，待定系數法求二次函數的解析式，能熟練求解函數對稱軸是解題的關鍵．20.【答案】(1)見解析；(2)m=-1.【分析】（1）根據方程的系數結合根的判別式，即可得出△=1>0，由此即可證出：無論實數m取什么值，方程總有兩個不相等的實數根；（2）利用分解因式法解原方程，可得x1=m，x2=m+1，在根據已知條件即可得出結論．【詳解】（1）∵△=（m+3）2﹣4（m+2）=（m+1）2∴無論m取何值，（m+1）2恒大于等于0∴原方程總有兩個實數根（2）原方程可化為:(x-1)(x-m-2)=0∴x1=1,x2=m+2∵方程兩個根均為正整數,且m為負整數∴m=-1.【點睛】本題考查了一元二次方程與根的判別式，解題的關鍵是熟練的掌握根的判別式與根據因式分解法解一元二次方程.21.【答案】（1）證明見解析（2）5【分析】本題考查了矩形的性質以及勾股定理，熟記矩形的性質并靈活運用是解題的關鍵．矩形的性質：①平行四邊形的性質矩形都具有；②角：矩形的四個角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線相等．（1）根據已知證明，證得，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證得四邊形是平行四邊形，然后證明，即可證得結論；（2），，則，設，則，利用勾股定理求出即可解答．【小問1詳解】證明：矩形中，，，，點為的中點，，，，四邊形為平行四邊形，于點，，，四邊形為菱形；【小問2詳解】解：四邊形是菱形，，四邊形是矩形，，，，，，設，則，在中，，即，解得，的長為5．22.【答案】2【分析】本題考查了一元二次方程的應用，利用平移的觀點，把6個長方形平移在一起，成為一個一個新的長方形，則長和寬分別是米和米，根據面積公式即可列方程求解．【詳解】解：根據題意，得，整理得，解得，（不符合題意，舍去）故寬度x為2．23.【答案】（1），（2）小旭（3）小亮【分析】本題考查了求中位數、求方差、求加權平均數，熟練掌握求法是解此題的關鍵．（1）將小強的成績全部相加即可得出的值，根據中位數的定義即可得出的值；（2）分別求出三人面試成績的方差，比較即可得出答案；（3）分別求出三人數為最終成績，進行比較即可得出答案．【小問1詳解】解：由題意可得：，將小亮的面試成績按從小到大排列如下：6，7，7，，9，，，10，10，10，故；故答案為：，【小問2詳解】解：，，，，，，，故評委對小旭的評價更一致；故答案為：小旭【小問3詳解】解：小強的成績為：（分），小亮的成績為：（分），小旭的成績為：（分），，綜合成績最高的是小亮．故答案為：小亮24.【答案】（1）見詳解（2）【分析】本題主要考查等腰三角形的性質、全等三角形的性質與判定及相似三角形的性質與判定，熟練掌握等腰三角形的性質、全等三角形的性質與判定及相似三角形的性質與判定是解題的關鍵；（1）由軸對稱可知，則有，然后問題可求證；（2）連接，交于點M，由題意易得，，由（1）可得，然后根據相似三角形的性質可進行求解．【小問1詳解】證明：∵點D關于線段的對稱點F，∴，，∵，∴，∵，∴，∴；【小問2詳解】解：連接，交于點M，如圖所述：∵點D為中點，，∴，，∵，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．25.【答案】（1）見解析（2）（3）44【分析】本題考查了函數圖象，根據數據描繪函數圖象、從函數圖象獲取信息是解題的關鍵；（1）根據表格中數據描點連線即可做出函數圖象；（2）結合函數圖象找到時，的值即可；（3）結合函數圖象找到時，的值，再作差即可；【小問1詳解】解：函數的圖象如下：【小問2詳解】解：根據（1）中圖象可得：當時，，故答案為：（答案不唯一）；【小問3詳解】解：根據（1）中圖象可得：當時，或，，故答案為：（答案不唯一）；26.【答案】（1）（2），理由見解析【分析】此題考查了二次函數的圖象和性質，數形結合是解題的關鍵．（1）把代入，即可得到答案；（2）由（1）得到，當時，，當時，，則，根據二次函數的性質得到當時，，則當時，由得到，即可得到答案．【小問1詳解】解：∵拋物線經過點，∴把點代入得到，，解得，；【小問2詳解】由（1）得到拋物線為，當時，，當時，，∴當時，解得或，即拋物線與x軸交于點和，如圖，∵拋物線開口向下，∴當時，，∴當時，，即，∵∴，∴∴∴27.【答案】（1）見詳解（2）圖見詳解，，過程見詳解【分析】本題主要考查等腰三角形的性質、（1）由題意易得，然后可證，然后問題可求證；（2）按題意畫出圖形，連接，作，交于點D，由題意易得，則有，，然后可得，進而問題可求解．【小問1詳解】證明：由旋轉可知：，∵，點P是中點，∴，∴，∵，∴，∴；【小問2詳解】解：由題意可得如圖：連接，作，交于點D，∵，∴，即，∵，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴點D是的中點，∴，∴，由三角形內角和可知，∴，即．28.【答案】（1）（2）①；②【分析】（1）由題意得：，此時正方形繞點逆時針旋轉得到的關聯圖形仍為正方形，的對應點為，的對應點為，點的對應點，點的對應點，即可確定；（2）①分類討論，分別討論點在正方形的四條邊上，畫出示意圖進行分析，找出臨界狀態，多動點，固定變量，一個一個分析即可；②由①可知，只有P落在或邊上，關于點P的“關聯圖”才在正方形內部，要使關于點